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Theorem aomclem6 35887
Description: Lemma for dfac11 35890. Transfinite induction, close over  z. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem6.b  |-  B  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( ( c  e.  b  /\  -.  c  e.  a
)  /\  A. d  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( d ( z `  U. dom  z ) c  -> 
( d  e.  a  <-> 
d  e.  b ) ) ) }
aomclem6.c  |-  C  =  ( a  e.  _V  |->  sup ( ( y `  a ) ,  ( R1 `  dom  z
) ,  B ) )
aomclem6.d  |-  D  = recs ( ( a  e. 
_V  |->  ( C `  ( ( R1 `  dom  z )  \  ran  a ) ) ) )
aomclem6.e  |-  E  =  { <. a ,  b
>.  |  |^| ( `' D " { a } )  e.  |^| ( `' D " { b } ) }
aomclem6.f  |-  F  =  { <. a ,  b
>.  |  ( ( rank `  a )  _E  ( rank `  b
)  \/  ( (
rank `  a )  =  ( rank `  b
)  /\  a (
z `  suc  ( rank `  a ) ) b ) ) }
aomclem6.g  |-  G  =  ( if ( dom  z  =  U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  (
( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )
aomclem6.h  |-  H  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )
aomclem6.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
aomclem6.y  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  (
y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
Assertion
Ref Expression
aomclem6  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) )
Distinct variable groups:    y, z,
a, b, c, d    ph, a, b, c, d, z    C, a, b, c, d    D, a, b, c, d    A, a, b, c, d, z    H, a, b, c, d, z    G, d
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    B( y, z, a, b, c, d)    C( y, z)    D( y, z)    E( y, z, a, b, c, d)    F( y, z, a, b, c, d)    G( y, z, a, b, c)    H( y)

Proof of Theorem aomclem6
StepHypRef Expression
1 ssid 3483 . 2  |-  A  C_  A
2 aomclem6.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
32adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  On )
4 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  (
c  C_  A  <->  d  C_  A ) )
54anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( ph  /\  c  C_  A )  <->  ( ph  /\  d  C_  A )
) )
6 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( H `  c )  =  ( H `  d ) )
7 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( R1 `  c )  =  ( R1 `  d
) )
86, 7weeq12d 35868 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) ) )
95, 8imbi12d 321 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  (
( ( ph  /\  c  C_  A )  -> 
( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) ) ) )
10 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  (
c  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1110anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
( ph  /\  c  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
12 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  ( H `  c )  =  ( H `  A ) )
13 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  ( R1 `  c )  =  ( R1 `  A
) )
1412, 13weeq12d 35868 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A ) ) )
1511, 14imbi12d 321 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
( ( ph  /\  c  C_  A )  -> 
( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( ( ph  /\  A  C_  A )  -> 
( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) ) ) )
16 aomclem6.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( ( c  e.  b  /\  -.  c  e.  a
)  /\  A. d  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( d ( z `  U. dom  z ) c  -> 
( d  e.  a  <-> 
d  e.  b ) ) ) }
17 aomclem6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  ( a  e.  _V  |->  sup ( ( y `  a ) ,  ( R1 `  dom  z
) ,  B ) )
18 aomclem6.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  = recs ( ( a  e. 
_V  |->  ( C `  ( ( R1 `  dom  z )  \  ran  a ) ) ) )
19 aomclem6.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  { <. a ,  b
>.  |  |^| ( `' D " { a } )  e.  |^| ( `' D " { b } ) }
20 aomclem6.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  { <. a ,  b
>.  |  ( ( rank `  a )  _E  ( rank `  b
)  \/  ( (
rank `  a )  =  ( rank `  b
)  /\  a (
z `  suc  ( rank `  a ) ) b ) ) }
21 aomclem6.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( if ( dom  z  =  U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  (
( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )
22 dmeq 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  dom  z  =  dom  ( H  |`  c ) )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  =  dom  ( H  |`  c ) )
24 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  c  e.  On )
25 onss 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  On  ->  c  C_  On )
26 aomclem6.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  H  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )
2726tfr1 7126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  Fn  On
28 fnssres 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H  Fn  On  /\  c  C_  On )  -> 
( H  |`  c
)  Fn  c )
2927, 28mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c 
C_  On  ->  ( H  |`  c )  Fn  c
)
30 fndm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  c )  Fn  c  ->  dom  ( H  |`  c )  =  c )
3124, 25, 29, 304syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  ( H  |`  c )  =  c )
3223, 31eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  =  c )
3332, 24eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  e.  On )
3432eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( a  e.  dom  z  <->  a  e.  c ) )
3534biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  e.  c )
36 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) ) )
37 simpl3l 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ph )
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  ph )
39 onelss 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom  z  e.  On  ->  ( a  e.  dom  z  ->  a  C_  dom  z ) )
4033, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( a  e.  dom  z  ->  a  C_ 
dom  z ) )
4140imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  C_ 
dom  z )
42 simpl3r 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  c  C_  A )
4332, 42eqsstrd 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  C_  A )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  dom  z  C_  A )
4541, 44sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  C_  A )
46 sseq1 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  (
d  C_  A  <->  a  C_  A ) )
4746anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  a  ->  (
( ph  /\  d  C_  A )  <->  ( ph  /\  a  C_  A )
) )
48 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  ( H `  d )  =  ( H `  a ) )
49 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  ( R1 `  d )  =  ( R1 `  a
) )
5048, 49weeq12d 35868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  a  ->  (
( H `  d
)  We  ( R1
`  d )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
5147, 50imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  a  ->  (
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  <-> 
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( H `  a
)  We  ( R1
`  a ) ) ) )
5251rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  c  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) ) )  -> 
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( H `  a
)  We  ( R1
`  a ) ) )
5352imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  c  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) ) )  /\  ( ph  /\  a  C_  A )
)  ->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) )
5435, 36, 38, 45, 53syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a
) )
55 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  (
z `  a )  =  ( ( H  |`  c ) `  a
) )
5655ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  =  ( ( H  |`  c ) `  a
) )
57 fvres 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  c  ->  (
( H  |`  c
) `  a )  =  ( H `  a ) )
5835, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
( H  |`  c
) `  a )  =  ( H `  a ) )
5956, 58eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  =  ( H `  a ) )
60 weeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z `  a )  =  ( H `  a )  ->  (
( z `  a
)  We  ( R1
`  a )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
( z `  a
)  We  ( R1
`  a )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
6254, 61mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  We  ( R1 `  a
) )
6362ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A. a  e.  dom  z ( z `
 a )  We  ( R1 `  a
) )
6437, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A  e.  On )
65 aomclem6.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  (
y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
6637, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  ( y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
6716, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 63, 64, 43, 66aomclem5 35886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  G  We  ( R1 `  dom  z
) )
6832fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( R1 ` 
dom  z )  =  ( R1 `  c
) )
69 weeq2 4842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  dom  z
)  =  ( R1
`  c )  -> 
( G  We  ( R1 `  dom  z )  <-> 
G  We  ( R1
`  c ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( G  We  ( R1 `  dom  z )  <->  G  We  ( R1 `  c ) ) )
7167, 70mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  G  We  ( R1 `  c ) )
7271ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  (
z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1 `  c
) ) )
7372alrimiv 1767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  A. z
( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) ) )
74 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ d ( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) )
75 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  d  =  ( H  |`  c )
76 nfsbc1v 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z
[. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )
7775, 76nfim 1980 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
78 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  d  ->  (
z  =  ( H  |`  c )  <->  d  =  ( H  |`  c ) ) )
79 sbceq1a 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  d  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
8078, 79imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  d  ->  (
( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) ) )
8174, 77, 80cbval 2079 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  ( H  |`  c
)  ->  G  We  ( R1 `  c ) )  <->  A. d ( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
) ) )
8273, 81sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  A. d
( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
83 nfsbc1v 3319 . . . . . . . . . 10  |-  F/ d
[. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )
84 fnfun 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  Fn  On  ->  Fun  H )
8527, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  H
86 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
_V
87 resfunexg 6145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  H  /\  c  e.  _V )  ->  ( H  |`  c )  e. 
_V )
8885, 86, 87mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  c )  e.  _V
89 sbceq1a 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( H  |`  c )  ->  ( [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )  <->  [. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
9083, 88, 89ceqsal 3108 . . . . . . . . 9  |-  ( A. d ( d  =  ( H  |`  c
)  ->  [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )  <->  [. ( H  |`  c
)  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
9182, 90sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [. ( H  |`  c )  / 
d ]. [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
92 sbcco 3322 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
9391, 92sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [. ( H  |`  c )  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
94 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z [_ ( H  |`  c
)  /  z ]_ G
95 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( R1 `  c
)
9694, 95nfwe 4829 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
[_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c )
97 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G )
98 weeq1 4841 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
10096, 99sbciegf 3331 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  c )  e.  _V  ->  ( [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
10188, 100ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) )
10293, 101sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  We  ( R1 `  c ) )
103 recsval 7133 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  On  ->  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) ) `
 c )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) ) )
10426fveq1i 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 c )  =  (recs ( ( z  e.  _V  |->  G ) ) `  c )
105 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R1
`  dom  z )  e.  _V
106105, 105xpex 6609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  dom  z
)  X.  ( R1
`  dom  z )
)  e.  _V
107106inex2 4566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  ( ( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )  e.  _V
10821, 107eqeltri 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e. 
_V
109108csbex 4559 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  e.  _V
110 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  |->  G )  =  ( z  e. 
_V  |->  G )
111110fvmpts 5967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H  |`  c
)  e.  _V  /\  [_ ( H  |`  c
)  /  z ]_ G  e.  _V )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  =  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G )
11288, 109, 111mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  = 
[_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G
11326reseq1i 5120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  |`  c )  =  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c )
114113fveq2i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) )
115112, 114eqtr3i 2453 . . . . . . . . 9  |-  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  =  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) )
116103, 104, 1153eqtr4g 2488 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  On  ->  ( H `  c )  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G )
117 weeq1 4841 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  c )  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  ->  ( ( H `  c )  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
118116, 117syl 17 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  On  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
1191183ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
120102, 119mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  ( H `  c )  We  ( R1 `  c
) )
1211203exp 1204 . . . 4  |-  ( c  e.  On  ->  ( A. d  e.  c 
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  ->  ( ( ph  /\  c  C_  A )  ->  ( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) ) ) )
1229, 15, 121tfis3 6698 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A
) ) )
1233, 122mpcom 37 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A ) )
1241, 123mpan2 675 1  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [.wsbc 3299   [_csb 3395    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219   |^|cint 4255   class class class wbr 4423   {copab 4481    |-> cmpt 4482    _E cep 4762    We wwe 4811    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   "cima 4856   Oncon0 5442   suc csuc 5444   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  recscrecs 7100   Fincfn 7580   supcsup 7963   R1cr1 8241   rankcrnk 8242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-fin 7584  df-sup 7965  df-r1 8243  df-rank 8244
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