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Theorem aomclem6 35380
Description: Lemma for dfac11 35383. Transfinite induction, close over  z. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem6.b  |-  B  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( ( c  e.  b  /\  -.  c  e.  a
)  /\  A. d  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( d ( z `  U. dom  z ) c  -> 
( d  e.  a  <-> 
d  e.  b ) ) ) }
aomclem6.c  |-  C  =  ( a  e.  _V  |->  sup ( ( y `  a ) ,  ( R1 `  dom  z
) ,  B ) )
aomclem6.d  |-  D  = recs ( ( a  e. 
_V  |->  ( C `  ( ( R1 `  dom  z )  \  ran  a ) ) ) )
aomclem6.e  |-  E  =  { <. a ,  b
>.  |  |^| ( `' D " { a } )  e.  |^| ( `' D " { b } ) }
aomclem6.f  |-  F  =  { <. a ,  b
>.  |  ( ( rank `  a )  _E  ( rank `  b
)  \/  ( (
rank `  a )  =  ( rank `  b
)  /\  a (
z `  suc  ( rank `  a ) ) b ) ) }
aomclem6.g  |-  G  =  ( if ( dom  z  =  U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  (
( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )
aomclem6.h  |-  H  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )
aomclem6.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
aomclem6.y  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  (
y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
Assertion
Ref Expression
aomclem6  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) )
Distinct variable groups:    y, z,
a, b, c, d    ph, a, b, c, d, z    C, a, b, c, d    D, a, b, c, d    A, a, b, c, d, z    H, a, b, c, d, z    G, d
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    B( y, z, a, b, c, d)    C( y, z)    D( y, z)    E( y, z, a, b, c, d)    F( y, z, a, b, c, d)    G( y, z, a, b, c)    H( y)

Proof of Theorem aomclem6
StepHypRef Expression
1 ssid 3463 . 2  |-  A  C_  A
2 aomclem6.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
32adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  On )
4 sseq1 3465 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  (
c  C_  A  <->  d  C_  A ) )
54anbi2d 704 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( ph  /\  c  C_  A )  <->  ( ph  /\  d  C_  A )
) )
6 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( H `  c )  =  ( H `  d ) )
7 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( R1 `  c )  =  ( R1 `  d
) )
86, 7weeq12d 35360 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) ) )
95, 8imbi12d 320 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  (
( ( ph  /\  c  C_  A )  -> 
( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) ) ) )
10 sseq1 3465 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  (
c  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1110anbi2d 704 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
( ph  /\  c  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
12 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  ( H `  c )  =  ( H `  A ) )
13 fveq2 5851 . . . . . 6  |-  ( c  =  A  ->  ( R1 `  c )  =  ( R1 `  A
) )
1412, 13weeq12d 35360 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A ) ) )
1511, 14imbi12d 320 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
( ( ph  /\  c  C_  A )  -> 
( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( ( ph  /\  A  C_  A )  -> 
( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) ) ) )
16 aomclem6.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( ( c  e.  b  /\  -.  c  e.  a
)  /\  A. d  e.  ( R1 `  U. dom  z ) ( d ( z `  U. dom  z ) c  -> 
( d  e.  a  <-> 
d  e.  b ) ) ) }
17 aomclem6.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  ( a  e.  _V  |->  sup ( ( y `  a ) ,  ( R1 `  dom  z
) ,  B ) )
18 aomclem6.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  = recs ( ( a  e. 
_V  |->  ( C `  ( ( R1 `  dom  z )  \  ran  a ) ) ) )
19 aomclem6.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  { <. a ,  b
>.  |  |^| ( `' D " { a } )  e.  |^| ( `' D " { b } ) }
20 aomclem6.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  { <. a ,  b
>.  |  ( ( rank `  a )  _E  ( rank `  b
)  \/  ( (
rank `  a )  =  ( rank `  b
)  /\  a (
z `  suc  ( rank `  a ) ) b ) ) }
21 aomclem6.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( if ( dom  z  =  U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  (
( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )
22 dmeq 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  dom  z  =  dom  ( H  |`  c ) )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  =  dom  ( H  |`  c ) )
24 simpl1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  c  e.  On )
25 onss 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  On  ->  c  C_  On )
26 aomclem6.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  H  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )
2726tfr1 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  Fn  On
28 fnssres 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H  Fn  On  /\  c  C_  On )  -> 
( H  |`  c
)  Fn  c )
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c 
C_  On  ->  ( H  |`  c )  Fn  c
)
30 fndm 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  |`  c )  Fn  c  ->  dom  ( H  |`  c )  =  c )
3124, 25, 29, 304syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  ( H  |`  c )  =  c )
3223, 31eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  =  c )
3332, 24eqeltrd 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  e.  On )
3432eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( a  e.  dom  z  <->  a  e.  c ) )
3534biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  e.  c )
36 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) ) )
37 simpl3l 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ph )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  ph )
39 onelss 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom  z  e.  On  ->  ( a  e.  dom  z  ->  a  C_  dom  z ) )
4033, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( a  e.  dom  z  ->  a  C_ 
dom  z ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  C_ 
dom  z )
42 simpl3r 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  c  C_  A )
4332, 42eqsstrd 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  dom  z  C_  A )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  dom  z  C_  A )
4541, 44sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  a  C_  A )
46 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  (
d  C_  A  <->  a  C_  A ) )
4746anbi2d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  a  ->  (
( ph  /\  d  C_  A )  <->  ( ph  /\  a  C_  A )
) )
48 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  ( H `  d )  =  ( H `  a ) )
49 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  =  a  ->  ( R1 `  d )  =  ( R1 `  a
) )
5048, 49weeq12d 35360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  a  ->  (
( H `  d
)  We  ( R1
`  d )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
5147, 50imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  a  ->  (
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  <-> 
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( H `  a
)  We  ( R1
`  a ) ) ) )
5251rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  c  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) ) )  -> 
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( H `  a
)  We  ( R1
`  a ) ) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  c  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) ) )  /\  ( ph  /\  a  C_  A )
)  ->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) )
5435, 36, 38, 45, 53syl22anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a
) )
55 fveq1 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  (
z `  a )  =  ( ( H  |`  c ) `  a
) )
5655ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  =  ( ( H  |`  c ) `  a
) )
57 fvres 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  c  ->  (
( H  |`  c
) `  a )  =  ( H `  a ) )
5835, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
( H  |`  c
) `  a )  =  ( H `  a ) )
5956, 58eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  =  ( H `  a ) )
60 weeq1 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z `  a )  =  ( H `  a )  ->  (
( z `  a
)  We  ( R1
`  a )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
( z `  a
)  We  ( R1
`  a )  <->  ( H `  a )  We  ( R1 `  a ) ) )
6254, 61mpbird 234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A
)  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  /\  a  e.  dom  z )  ->  (
z `  a )  We  ( R1 `  a
) )
6362ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A. a  e.  dom  z ( z `
 a )  We  ( R1 `  a
) )
6437, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A  e.  On )
65 aomclem6.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  (
y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
6637, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  A. a  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( a  =/=  (/)  ->  ( y `  a )  e.  ( ( ~P a  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) )
6716, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 63, 64, 43, 66aomclem5 35379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  G  We  ( R1 `  dom  z
) )
6832fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( R1 ` 
dom  z )  =  ( R1 `  c
) )
69 weeq2 4814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  dom  z
)  =  ( R1
`  c )  -> 
( G  We  ( R1 `  dom  z )  <-> 
G  We  ( R1
`  c ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  ( G  We  ( R1 `  dom  z )  <->  G  We  ( R1 `  c ) ) )
7167, 70mpbid 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  e.  On  /\ 
A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A ) )  /\  z  =  ( H  |`  c )
)  ->  G  We  ( R1 `  c ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  (
z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1 `  c
) ) )
7372alrimiv 1742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  A. z
( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) ) )
74 nfv 1730 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ d ( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) )
75 nfv 1730 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  d  =  ( H  |`  c )
76 nfsbc1v 3299 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z
[. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )
7775, 76nfim 1950 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
78 eqeq1 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  d  ->  (
z  =  ( H  |`  c )  <->  d  =  ( H  |`  c ) ) )
79 sbceq1a 3290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  d  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
8078, 79imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  d  ->  (
( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  We  ( R1
`  c ) )  <-> 
( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) ) )
8174, 77, 80cbval 2050 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  ( H  |`  c
)  ->  G  We  ( R1 `  c ) )  <->  A. d ( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
) ) )
8273, 81sylib 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  A. d
( d  =  ( H  |`  c )  ->  [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
83 nfsbc1v 3299 . . . . . . . . . 10  |-  F/ d
[. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )
84 fnfun 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  Fn  On  ->  Fun  H )
8527, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  H
86 vex 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
_V
87 resfunexg 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  H  /\  c  e.  _V )  ->  ( H  |`  c )  e. 
_V )
8885, 86, 87mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  c )  e.  _V
89 sbceq1a 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( H  |`  c )  ->  ( [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c )  <->  [. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) ) )
9083, 88, 89ceqsal 3088 . . . . . . . . 9  |-  ( A. d ( d  =  ( H  |`  c
)  ->  [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )  <->  [. ( H  |`  c
)  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
9182, 90sylib 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [. ( H  |`  c )  / 
d ]. [. d  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
92 sbcco 3302 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( H  |`  c )  /  d ]. [. d  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
9391, 92sylib 198 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [. ( H  |`  c )  / 
z ]. G  We  ( R1 `  c ) )
94 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z [_ ( H  |`  c
)  /  z ]_ G
95 nfcv 2566 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( R1 `  c
)
9694, 95nfwe 4801 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
[_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c )
97 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  G  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G )
98 weeq1 4813 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( H  |`  c )  ->  ( G  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
10096, 99sbciegf 3311 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  |`  c )  e.  _V  ->  ( [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
10188, 100ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. ( H  |`  c )  /  z ]. G  We  ( R1 `  c
)  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) )
10293, 101sylib 198 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  We  ( R1 `  c ) )
103 recsval 7109 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  On  ->  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) ) `
 c )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) ) )
10426fveq1i 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 c )  =  (recs ( ( z  e.  _V  |->  G ) ) `  c )
105 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R1
`  dom  z )  e.  _V
106105, 105xpex 6588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  dom  z
)  X.  ( R1
`  dom  z )
)  e.  _V
107106inex2 4538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  F ,  E )  i^i  ( ( R1 `  dom  z )  X.  ( R1 `  dom  z ) ) )  e.  _V
10821, 107eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e. 
_V
109108csbex 4531 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  e.  _V
110 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  |->  G )  =  ( z  e. 
_V  |->  G )
111110fvmpts 5937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H  |`  c
)  e.  _V  /\  [_ ( H  |`  c
)  /  z ]_ G  e.  _V )  ->  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  =  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G )
11288, 109, 111mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  = 
[_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G
11326reseq1i 5092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  |`  c )  =  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c )
114113fveq2i 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  ( H  |`  c ) )  =  ( ( z  e. 
_V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) )
115112, 114eqtr3i 2435 . . . . . . . . 9  |-  [_ ( H  |`  c )  / 
z ]_ G  =  ( ( z  e.  _V  |->  G ) `  (recs ( ( z  e. 
_V  |->  G ) )  |`  c ) )
116103, 104, 1153eqtr4g 2470 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  On  ->  ( H `  c )  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G )
117 weeq1 4813 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  c )  =  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  ->  ( ( H `  c )  We  ( R1 `  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
118116, 117syl 17 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  On  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
1191183ad2ant1 1020 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  (
( H `  c
)  We  ( R1
`  c )  <->  [_ ( H  |`  c )  /  z ]_ G  We  ( R1 `  c ) ) )
120102, 119mpbird 234 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  On  /\  A. d  e.  c  ( ( ph  /\  d  C_  A )  ->  ( H `  d )  We  ( R1 `  d
) )  /\  ( ph  /\  c  C_  A
) )  ->  ( H `  c )  We  ( R1 `  c
) )
1211203exp 1198 . . . 4  |-  ( c  e.  On  ->  ( A. d  e.  c 
( ( ph  /\  d  C_  A )  -> 
( H `  d
)  We  ( R1
`  d ) )  ->  ( ( ph  /\  c  C_  A )  ->  ( H `  c
)  We  ( R1
`  c ) ) ) )
1229, 15, 121tfis3 6677 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A
) ) )
1233, 122mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  ( H `  A )  We  ( R1 `  A ) )
1241, 123mpan2 671 1  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  We  ( R1
`  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976   A.wal 1405    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   [.wsbc 3279   [_csb 3375    \ cdif 3413    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ifcif 3887   ~Pcpw 3957   {csn 3974   U.cuni 4193   |^|cint 4229   class class class wbr 4397   {copab 4454    |-> cmpt 4455    _E cep 4734    We wwe 4783    X. cxp 4823   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   "cima 4828   Oncon0 5412   suc csuc 5414   Fun wfun 5565    Fn wfn 5566   ` cfv 5571  recscrecs 7076   Fincfn 7556   supcsup 7936   R1cr1 8214   rankcrnk 8215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-fin 7560  df-sup 7937  df-r1 8216  df-rank 8217
This theorem is referenced by:  aomclem7  35381
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