Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ang180lem3 23819
 Description: Lemma for ang180 23822. Since ang180lem1 23817 shows that is an integer and ang180lem2 23818 shows that is strictly between and , it follows that , and these two cases correspond to the two possible values for . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1
ang180lem1.2
ang180lem1.3
Assertion
Ref Expression
ang180lem3
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ang180lem3
StepHypRef Expression
1 2cn 10702 . . . . . . . . . 10
2 picn 23493 . . . . . . . . . 10
31, 2mulcli 9666 . . . . . . . . 9
4 2ne0 10724 . . . . . . . . 9
53, 1, 4divreci 10374 . . . . . . . 8
62, 1, 4divcan3i 10375 . . . . . . . 8
75, 6eqtr3i 2495 . . . . . . 7
8 ang180lem1.3 . . . . . . . . . 10
9 ang.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 ang180lem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119, 10, 8ang180lem2 23818 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14
13 1e0p1 11102 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . 13
159, 10, 8ang180lem1 23817 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14
17 0z 10972 . . . . . . . . . . . . . 14
18 zleltp1 11011 . . . . . . . . . . . . . 14
1916, 17, 18sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
2014, 19mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12
2120adantr 472 . . . . . . . . . . 11
22 zlem1lt 11012 . . . . . . . . . . . . . 14
2317, 16, 22sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13
24 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . . 14
2524breq1i 4402 . . . . . . . . . . . . 13
2623, 25syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . 12
2726biimpar 493 . . . . . . . . . . 11
2816zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
30 0re 9661 . . . . . . . . . . . 12
31 letri3 9737 . . . . . . . . . . . 12
3229, 30, 31sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
3321, 27, 32mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10
348, 33syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9
35 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3835, 36, 37sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 subeq0 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4235, 36, 41sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4342necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4440, 43mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4538, 44reccld 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4638, 44recne0d 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46logcld 23599 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4936, 35, 48sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5149, 36, 50divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 subeq0 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5336, 35, 52sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5539, 54mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5649, 36, 55, 50divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5751, 56logcld 23599 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5847, 57addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 logcl 23597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60593adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15
6158, 60addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . 14
6210, 61syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13
63 ax-icn 9616 . . . . . . . . . . . . . 14
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
65 ine0 10075 . . . . . . . . . . . . . 14
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
6762, 64, 66divcld 10405 . . . . . . . . . . . 12
683a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
69 pire 23492 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 pipos 23494 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 70gt0ne0ii 10171 . . . . . . . . . . . . . 14
721, 2, 4, 71mulne0i 10277 . . . . . . . . . . . . 13
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7467, 68, 73divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10
76 halfcn 10852 . . . . . . . . . 10
77 subeq0 9920 . . . . . . . . . 10
7875, 76, 77sylancl 675 . . . . . . . . 9
7934, 78mpbid 215 . . . . . . . 8
8067adantr 472 . . . . . . . . 9
813a1i 11 . . . . . . . . 9
8276a1i 11 . . . . . . . . 9
8372a1i 11 . . . . . . . . 9
8480, 81, 82, 83divmuld 10427 . . . . . . . 8
8579, 84mpbid 215 . . . . . . 7
867, 85syl5reqr 2520 . . . . . 6
8762adantr 472 . . . . . . 7
8863a1i 11 . . . . . . 7
892a1i 11 . . . . . . 7
9065a1i 11 . . . . . . 7
9187, 88, 89, 90divmuld 10427 . . . . . 6
9286, 91mpbid 215 . . . . 5
9392eqcomd 2477 . . . 4
9493olcd 400 . . 3
952, 63mulneg1i 10085 . . . . . . 7
962, 63mulcomi 9667 . . . . . . . 8
9796negeqi 9888 . . . . . . 7
9895, 97eqtri 2493 . . . . . 6
9976, 3mulneg1i 10085 . . . . . . . . . 10
10035, 1, 4divcan1i 10373 . . . . . . . . . . . . 13
101100oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12
10276, 1, 2mulassi 9670 . . . . . . . . . . . 12
1032mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . 12
104101, 102, 1033eqtr3i 2501 . . . . . . . . . . 11
105104negeqi 9888 . . . . . . . . . 10
10699, 105eqtri 2493 . . . . . . . . 9
10735, 76negsubdii 9979 . . . . . . . . . . . . 13
108 1mhlfehlf 10855 . . . . . . . . . . . . . 14
109108negeqi 9888 . . . . . . . . . . . . 13
110107, 109eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . 12
111 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
112111, 8syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13
113112oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
114110, 113syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . 11
115 npcan 9904 . . . . . . . . . . . . 13
11674, 76, 115sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
117116adantr 472 . . . . . . . . . . 11
118114, 117eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
119118oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
120106, 119syl5eqr 2519 . . . . . . . 8
12167, 68, 73divcan1d 10406 . . . . . . . . 9
122121adantr 472 . . . . . . . 8
123120, 122eqtrd 2505 . . . . . . 7
124123oveq1d 6323 . . . . . 6
12598, 124syl5eqr 2519 . . . . 5
12662, 64, 66divcan1d 10406 . . . . . 6
127126adantr 472 . . . . 5
128125, 127eqtr2d 2506 . . . 4
129128orcd 399 . . 3
130 df-2 10690 . . . . . . . 8
131130negeqi 9888 . . . . . . 7
132 negdi2 9952 . . . . . . . 8
13335, 35, 132mp2an 686 . . . . . . 7
134131, 133eqtri 2493 . . . . . 6
13511simpld 466 . . . . . 6
136134, 135syl5eqbrr 4430 . . . . 5
137 neg1z 10997 . . . . . 6
138 zlem1lt 11012 . . . . . 6
139137, 16, 138sylancr 676 . . . . 5
140136, 139mpbird 240 . . . 4
141 neg1rr 10736 . . . . 5
142 leloe 9738 . . . . 5
143141, 28, 142sylancr 676 . . . 4
144140, 143mpbid 215 . . 3
14594, 129, 144mpjaodan 803 . 2
146 ovex 6336 . . . 4
14710, 146eqeltri 2545 . . 3
148147elpr 3977 . 2
149145, 148sylibr 217 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   cdif 3387  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558  ci 9559   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  c2 10681  cz 10961  cim 13238  cpi 14196  clog 23583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585 This theorem is referenced by:  ang180lem4  23820
 Copyright terms: Public domain W3C validator