MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  an33rean Structured version   Unicode version

Theorem an33rean 1340
Description: Rearrange 9-fold conjunction. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
an33rean  |-  ( ( ( ph  /\  ps  /\ 
ch )  /\  ( th  /\  ta  /\  et )  /\  ( ze  /\  si 
/\  rh ) )  <-> 
( ( ph  /\  ta  /\  rh )  /\  ( ( ps  /\  th )  /\  ( et 
/\  si )  /\  ( ch  /\  ze ) ) ) )

Proof of Theorem an33rean
StepHypRef Expression
1 3anass 975 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( ph  /\  ( ps  /\  ch ) ) )
2 3anan12 984 . . 3  |-  ( ( th  /\  ta  /\  et )  <->  ( ta  /\  ( th  /\  et ) ) )
3 3anrev 982 . . . 4  |-  ( ( ze  /\  si  /\  rh )  <->  ( rh  /\  si 
/\  ze ) )
4 3anass 975 . . . 4  |-  ( ( rh  /\  si  /\  ze )  <->  ( rh  /\  ( si  /\  ze )
) )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( ( ze  /\  si  /\  rh )  <->  ( rh  /\  ( si  /\  ze )
) )
61, 2, 53anbi123i 1183 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ps  /\ 
ch )  /\  ( th  /\  ta  /\  et )  /\  ( ze  /\  si 
/\  rh ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( ps  /\  ch )
)  /\  ( ta  /\  ( th  /\  et ) )  /\  ( rh  /\  ( si  /\  ze ) ) ) )
7 3an6 1307 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  /\  ch ) )  /\  ( ta  /\  ( th  /\  et ) )  /\  ( rh 
/\  ( si  /\  ze ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ta  /\  rh )  /\  ( ( ps 
/\  ch )  /\  ( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze )
) ) )
8 an4 822 . . . . . 6  |-  ( ( ( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze ) )  <->  ( ( th  /\  si )  /\  ( et  /\  ze )
) )
98anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( ( th 
/\  et )  /\  ( si  /\  ze )
) )  <->  ( ( ps  /\  ch )  /\  ( ( th  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) ) ) )
10 3anass 975 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze ) )  <-> 
( ( ps  /\  ch )  /\  (
( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze ) ) ) )
11 3anass 975 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) )  <->  ( ( ps  /\  ch )  /\  ( ( th  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) ) ) )
129, 10, 113bitr4i 277 . . . 4  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze ) )  <-> 
( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si )  /\  ( et  /\  ze )
) )
13 an4 822 . . . . . 6  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si ) )  <->  ( ( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si )
) )
1413anbi1i 693 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si ) )  /\  ( et  /\  ze ) )  <->  ( (
( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si ) )  /\  ( et  /\  ze ) ) )
15 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) )  <->  ( (
( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si ) )  /\  ( et  /\  ze ) ) )
16 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) )  <->  ( (
( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si ) )  /\  ( et  /\  ze ) ) )
1714, 15, 163bitr4i 277 . . . 4  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) )  <->  ( ( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si )  /\  ( et  /\  ze ) ) )
18 3ancomb 980 . . . . . 6  |-  ( ( ps  /\  ch  /\  et )  <->  ( ps  /\  et  /\  ch ) )
1918anbi1i 693 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  ch  /\  et )  /\  ( th  /\  si  /\  ze ) )  <->  ( ( ps  /\  et  /\  ch )  /\  ( th  /\  si 
/\  ze ) ) )
20 3an6 1307 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) )  <->  ( ( ps  /\  ch  /\  et )  /\  ( th  /\  si 
/\  ze ) ) )
21 3an6 1307 . . . . 5  |-  ( ( ( ps  /\  th )  /\  ( et  /\  si )  /\  ( ch 
/\  ze ) )  <->  ( ( ps  /\  et  /\  ch )  /\  ( th  /\  si 
/\  ze ) ) )
2219, 20, 213bitr4i 277 . . . 4  |-  ( ( ( ps  /\  th )  /\  ( ch  /\  si )  /\  ( et 
/\  ze ) )  <->  ( ( ps  /\  th )  /\  ( et  /\  si )  /\  ( ch  /\  ze ) ) )
2312, 17, 223bitri 271 . . 3  |-  ( ( ( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze ) )  <-> 
( ( ps  /\  th )  /\  ( et 
/\  si )  /\  ( ch  /\  ze ) ) )
2423anbi2i 692 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ta  /\  rh )  /\  (
( ps  /\  ch )  /\  ( th  /\  et )  /\  ( si  /\  ze ) ) )  <->  ( ( ph  /\ 
ta  /\  rh )  /\  ( ( ps  /\  th )  /\  ( et 
/\  si )  /\  ( ch  /\  ze ) ) ) )
256, 7, 243bitri 271 1  |-  ( ( ( ph  /\  ps  /\ 
ch )  /\  ( th  /\  ta  /\  et )  /\  ( ze  /\  si 
/\  rh ) )  <-> 
( ( ph  /\  ta  /\  rh )  /\  ( ( ps  /\  th )  /\  ( et 
/\  si )  /\  ( ch  /\  ze ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-3an 973
This theorem is referenced by:  trgcgrg  24051
  Copyright terms: Public domain W3C validator