Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm4d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem amgm4d 36663
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for  n  =  4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm4d.0  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
amgm4d.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
amgm4d.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
amgm4d.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
amgm4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) )  ^c 
( 1  /  4
) )  <_  (
( A  +  ( B  +  ( C  +  D ) ) )  /  4 ) )

Proof of Theorem amgm4d
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . 3  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2 fzofi 12194 . . . 4  |-  ( 0..^ 4 )  e.  Fin
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 4 )  e.  Fin )
4 4nn 10776 . . . . 5  |-  4  e.  NN
5 lbfzo0 11962 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 4 )  <->  4  e.  NN )
64, 5mpbir 213 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ 4 )
7 ne0i 3739 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 4 )  ->  ( 0..^ 4 )  =/=  (/) )
86, 7mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 4 )  =/=  (/) )
9 amgm4d.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
10 amgm4d.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
11 amgm4d.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
12 amgm4d.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
139, 10, 11, 12s4cld 12974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C D ">  e. Word 
RR+ )
14 wrdf 12683 . . . . 5  |-  ( <" A B C D ">  e. Word  RR+ 
->  <" A B C D "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
1513, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C D "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
16 s4len 13000 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" A B C D "> )  =  4
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  <" A B C D "> )  =  4 )
1817oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) )  =  ( 0..^ 4 ) )
1918feq2d 5720 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <" A B C D "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) ) --> RR+  <->  <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) -->
RR+ ) )
2015, 19mpbid 214 . . 3  |-  ( ph  ->  <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) -->
RR+ )
211, 3, 8, 20amgmlem 23927 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B C D "> )  ^c  ( 1  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) ) )  <_  (
(fld  gsumg  <" A B C D "> )  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) ) )
22 cnring 19002 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
231ringmgp 17798 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2422, 23mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
259rpcnd 11350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2610rpcnd 11350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2711rpcnd 11350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2812rpcnd 11350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2927, 28jca 535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )
3025, 26, 29jca32 538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) ) ) )
31 cnfldbas 18986 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
321, 31mgpbas 17741 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
33 cnfldmul 18988 . . . . . 6  |-  x.  =  ( .r ` fld )
341, 33mgpplusg 17739 . . . . 5  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3532, 34gsumws4 36660 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )  e.  Mnd  /\  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) ) ) )  -> 
( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B C D "> )  =  ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) ) )
3624, 30, 35syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B C D "> )  =  ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) ) )
37 4nn0 10895 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
38 hashfzo0 12609 . . . . 5  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ 4 ) )  =  4 )
3937, 38mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ 4 ) )  =  4 )
4039oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 ( 0..^ 4 ) ) )  =  ( 1  /  4
) )
4136, 40oveq12d 6313 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B C D "> )  ^c  ( 1  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D ) ) )  ^c  ( 1  /  4 ) ) )
42 ringmnd 17801 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
4322, 42mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. 
Mnd )
44 cnfldadd 18987 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4531, 44gsumws4 36660 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) ) ) )  ->  (fld  gsumg 
<" A B C D "> )  =  ( A  +  ( B  +  ( C  +  D )
) ) )
4643, 30, 45syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  <" A B C D "> )  =  ( A  +  ( B  +  ( C  +  D )
) ) )
4746, 39oveq12d 6313 . 2  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  <" A B C D "> )  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) )  =  ( ( A  +  ( B  +  ( C  +  D ) ) )  /  4 ) )
4821, 41, 473brtr3d 4435 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) )  ^c 
( 1  /  4
) )  <_  (
( A  +  ( B  +  ( C  +  D ) ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549    <_ cle 9681    / cdiv 10276   NNcn 10616   4c4 10668   NN0cn0 10876   RR+crp 11309  ..^cfzo 11922   #chash 12522  Word cword 12663   <"cs4 12946    gsumg cgsu 15351   Mndcmnd 16547  mulGrpcmgp 17735   Ringcrg 17792  ℂfldccnfld 18982    ^c ccxp 23517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-s2 12951  df-s3 12952  df-s4 12953  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-gim 16935  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-subrg 18018  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-refld 19185  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator