Theorem amgm4d 36722

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for n = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm4d.0	|- ( ph -> A e. RR+ )
amgm4d.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
amgm4d.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
amgm4d.3	|- ( ph -> D e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
amgm4d	|- ( ph -> ( ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) ^c ( 1 / 4 ) ) <_ ( ( A + ( B + ( C + D ) ) ) / 4 ) )

Proof of Theorem amgm4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . 3 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
2		fzofi 12225	. . . 4 |- ( 0..^ 4 ) e. Fin
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ 4 ) e. Fin )
4		4nn 10792	. . . . 5 |- 4 e. NN
5		lbfzo0 11983	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ 4 ) <-> 4 e. NN )
6	4, 5	mpbir 214	. . . 4 |- 0 e. ( 0..^ 4 )
7		ne0i 3728	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ 4 ) -> ( 0..^ 4 ) =/= (/) )
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ 4 ) =/= (/) )
9		amgm4d.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
10		amgm4d.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR+ )
11		amgm4d.2	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
12		amgm4d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
13	9, 10, 11, 12	s4cld 13027	. . . . 5 |- ( ph -> <" A B C D "> e. Word RR+ )
14		wrdf 12723	. . . . 5 |- ( <" A B C D "> e. Word RR+ -> <" A B C D "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> <" A B C D "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
16		s4len 13053	. . . . . . 7 |- ( # ` <" A B C D "> ) = 4
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` <" A B C D "> ) = 4 )
18	17	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) = ( 0..^ 4 ) )
19	18	feq2d 5725	. . . 4 |- ( ph -> ( <" A B C D "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) --> RR+ <-> <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) --> RR+ ) )
20	15, 19	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) --> RR+ )
21	1, 3, 8, 20	amgmlem 23994	. 2 |- ( ph -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) ^c ( 1 / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) )
22		cnring 19067	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
23	1	ringmgp 17864	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
25	9	rpcnd 11366	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
26	10	rpcnd 11366	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
27	11	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. CC )
28	12	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
29	27, 28	jca 541	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. CC /\ D e. CC ) )
30	25, 26, 29	jca32 544	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) ) )
31		cnfldbas 19051	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
32	1, 31	mgpbas 17807	. . . . 5 |- CC = ( Base ` (mulGrp ` ℂfld ) )
33		cnfldmul 19053	. . . . . 6 |- x. = ( .r ` ℂfld )
34	1, 33	mgpplusg 17805	. . . . 5 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
35	32, 34	gsumws4 36719	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd /\ ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) ) ) -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) = ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) )
36	24, 30, 35	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) = ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) )
37		4nn0 10912	. . . . 5 |- 4 e. NN0
38		hashfzo0 12643	. . . . 5 |- ( 4 e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ 4 ) ) = 4 )
39	37, 38	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ 4 ) ) = 4 )
40	39	oveq2d 6324	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) = ( 1 / 4 ) )
41	36, 40	oveq12d 6326	. 2 |- ( ph -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) ^c ( 1 / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) ^c ( 1 / 4 ) ) )
42		ringmnd 17867	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
43	22, 42	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
44		cnfldadd 19052	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
45	31, 44	gsumws4 36719	. . . 4 |- ( (ℂfld e. Mnd /\ ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) = ( A + ( B + ( C + D ) ) ) )
46	43, 30, 45	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) = ( A + ( B + ( C + D ) ) ) )
47	46, 39	oveq12d 6326	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) = ( ( A + ( B + ( C + D ) ) ) / 4 ) )
48	21, 41, 47	3brtr3d 4425	1 |- ( ph -> ( ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) ^c ( 1 / 4 ) ) <_ ( ( A + ( B + ( C + D ) ) ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NNcn 10631   4c4 10683   NN0cn0 10893   RR+crp 11325  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   <"cs4 12998   gsum_g cgsu 15417   Mndcmnd 16613  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858  ℂ_fldccnfld 19047   ^c ccxp 23584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-s4 13005  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-refld 19250  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586

This theorem is referenced by: (None)