Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm4d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem amgm4d 36722
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for  n  =  4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm4d.0  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
amgm4d.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
amgm4d.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
amgm4d.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
amgm4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) )  ^c 
( 1  /  4
) )  <_  (
( A  +  ( B  +  ( C  +  D ) ) )  /  4 ) )

Proof of Theorem amgm4d
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . 3  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2 fzofi 12225 . . . 4  |-  ( 0..^ 4 )  e.  Fin
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 4 )  e.  Fin )
4 4nn 10792 . . . . 5  |-  4  e.  NN
5 lbfzo0 11983 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 4 )  <->  4  e.  NN )
64, 5mpbir 214 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ 4 )
7 ne0i 3728 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 4 )  ->  ( 0..^ 4 )  =/=  (/) )
86, 7mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 4 )  =/=  (/) )
9 amgm4d.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
10 amgm4d.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
11 amgm4d.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
12 amgm4d.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
139, 10, 11, 12s4cld 13027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C D ">  e. Word 
RR+ )
14 wrdf 12723 . . . . 5  |-  ( <" A B C D ">  e. Word  RR+ 
->  <" A B C D "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
1513, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C D "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
16 s4len 13053 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" A B C D "> )  =  4
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  <" A B C D "> )  =  4 )
1817oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) )  =  ( 0..^ 4 ) )
1918feq2d 5725 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <" A B C D "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C D "> ) ) --> RR+  <->  <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) -->
RR+ ) )
2015, 19mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) -->
RR+ )
211, 3, 8, 20amgmlem 23994 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B C D "> )  ^c  ( 1  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) ) )  <_  (
(fld  gsumg  <" A B C D "> )  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) ) )
22 cnring 19067 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
231ringmgp 17864 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2422, 23mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
259rpcnd 11366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2610rpcnd 11366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2711rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2812rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2927, 28jca 541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )
3025, 26, 29jca32 544 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) ) ) )
31 cnfldbas 19051 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
321, 31mgpbas 17807 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
33 cnfldmul 19053 . . . . . 6  |-  x.  =  ( .r ` fld )
341, 33mgpplusg 17805 . . . . 5  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3532, 34gsumws4 36719 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )  e.  Mnd  /\  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) ) ) )  -> 
( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B C D "> )  =  ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) ) )
3624, 30, 35syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B C D "> )  =  ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) ) )
37 4nn0 10912 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
38 hashfzo0 12643 . . . . 5  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ 4 ) )  =  4 )
3937, 38mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ 4 ) )  =  4 )
4039oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 ( 0..^ 4 ) ) )  =  ( 1  /  4
) )
4136, 40oveq12d 6326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B C D "> )  ^c  ( 1  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D ) ) )  ^c  ( 1  /  4 ) ) )
42 ringmnd 17867 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
4322, 42mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. 
Mnd )
44 cnfldadd 19052 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4531, 44gsumws4 36719 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) ) ) )  ->  (fld  gsumg 
<" A B C D "> )  =  ( A  +  ( B  +  ( C  +  D )
) ) )
4643, 30, 45syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  <" A B C D "> )  =  ( A  +  ( B  +  ( C  +  D )
) ) )
4746, 39oveq12d 6326 . 2  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  <" A B C D "> )  /  ( # `  (
0..^ 4 ) ) )  =  ( ( A  +  ( B  +  ( C  +  D ) ) )  /  4 ) )
4821, 41, 473brtr3d 4425 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  ( C  x.  D )
) )  ^c 
( 1  /  4
) )  <_  (
( A  +  ( B  +  ( C  +  D ) ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   4c4 10683   NN0cn0 10893   RR+crp 11325  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   <"cs4 12998    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858  ℂfldccnfld 19047    ^c ccxp 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-s4 13005  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-refld 19250  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator