Theorem amgm4d 36663

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for n = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm4d.0	|- ( ph -> A e. RR+ )
amgm4d.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
amgm4d.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
amgm4d.3	|- ( ph -> D e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
amgm4d	|- ( ph -> ( ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) ^c ( 1 / 4 ) ) <_ ( ( A + ( B + ( C + D ) ) ) / 4 ) )

Proof of Theorem amgm4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2453	. . 3 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
2		fzofi 12194	. . . 4 |- ( 0..^ 4 ) e. Fin
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ 4 ) e. Fin )
4		4nn 10776	. . . . 5 |- 4 e. NN
5		lbfzo0 11962	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ 4 ) <-> 4 e. NN )
6	4, 5	mpbir 213	. . . 4 |- 0 e. ( 0..^ 4 )
7		ne0i 3739	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ 4 ) -> ( 0..^ 4 ) =/= (/) )
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ 4 ) =/= (/) )
9		amgm4d.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
10		amgm4d.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR+ )
11		amgm4d.2	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
12		amgm4d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR+ )
13	9, 10, 11, 12	s4cld 12974	. . . . 5 |- ( ph -> <" A B C D "> e. Word RR+ )
14		wrdf 12683	. . . . 5 |- ( <" A B C D "> e. Word RR+ -> <" A B C D "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> <" A B C D "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) --> RR+ )
16		s4len 13000	. . . . . . 7 |- ( # ` <" A B C D "> ) = 4
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` <" A B C D "> ) = 4 )
18	17	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) = ( 0..^ 4 ) )
19	18	feq2d 5720	. . . 4 |- ( ph -> ( <" A B C D "> : ( 0..^ ( # ` <" A B C D "> ) ) --> RR+ <-> <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) --> RR+ ) )
20	15, 19	mpbid 214	. . 3 |- ( ph -> <" A B C D "> : ( 0..^ 4 ) --> RR+ )
21	1, 3, 8, 20	amgmlem 23927	. 2 |- ( ph -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) ^c ( 1 / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) ) <_ ( (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) )
22		cnring 19002	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
23	1	ringmgp 17798	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
25	9	rpcnd 11350	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
26	10	rpcnd 11350	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
27	11	rpcnd 11350	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. CC )
28	12	rpcnd 11350	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
29	27, 28	jca 535	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. CC /\ D e. CC ) )
30	25, 26, 29	jca32 538	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) ) )
31		cnfldbas 18986	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
32	1, 31	mgpbas 17741	. . . . 5 |- CC = ( Base ` (mulGrp ` ℂfld ) )
33		cnfldmul 18988	. . . . . 6 |- x. = ( .r ` ℂfld )
34	1, 33	mgpplusg 17739	. . . . 5 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
35	32, 34	gsumws4 36660	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd /\ ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) ) ) -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) = ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) )
36	24, 30, 35	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) = ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) )
37		4nn0 10895	. . . . 5 |- 4 e. NN0
38		hashfzo0 12609	. . . . 5 |- ( 4 e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ 4 ) ) = 4 )
39	37, 38	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ 4 ) ) = 4 )
40	39	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) = ( 1 / 4 ) )
41	36, 40	oveq12d 6313	. 2 |- ( ph -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" A B C D "> ) ^c ( 1 / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) ^c ( 1 / 4 ) ) )
42		ringmnd 17801	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
43	22, 42	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
44		cnfldadd 18987	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
45	31, 44	gsumws4 36660	. . . 4 |- ( (ℂfld e. Mnd /\ ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) ) ) -> (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) = ( A + ( B + ( C + D ) ) ) )
46	43, 30, 45	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) = ( A + ( B + ( C + D ) ) ) )
47	46, 39	oveq12d 6313	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg <" A B C D "> ) / ( # ` ( 0..^ 4 ) ) ) = ( ( A + ( B + ( C + D ) ) ) / 4 ) )
48	21, 41, 47	3brtr3d 4435	1 |- ( ph -> ( ( A x. ( B x. ( C x. D ) ) ) ^c ( 1 / 4 ) ) <_ ( ( A + ( B + ( C + D ) ) ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   <_ cle 9681   / cdiv 10276   NNcn 10616   4c4 10668   NN0cn0 10876   RR+crp 11309  ..^cfzo 11922   #chash 12522  Word cword 12663   <"cs4 12946   gsum_g cgsu 15351   Mndcmnd 16547  mulGrpcmgp 17735   Ringcrg 17792  ℂ_fldccnfld 18982   ^c ccxp 23517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-s2 12951  df-s3 12952  df-s4 12953  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-gim 16935  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-drng 17989  df-subrg 18018  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-refld 19185  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519

This theorem is referenced by: (None)