Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem amgm3d 36651
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for  n  =  3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
amgm3d.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
amgm3d.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
amgm3d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  ^c 
( 1  /  3
) )  <_  (
( A  +  ( B  +  C ) )  /  3 ) )

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2 fzofi 12187 . . . 4  |-  ( 0..^ 3 )  e.  Fin
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 3 )  e.  Fin )
4 3nn 10768 . . . . 5  |-  3  e.  NN
5 lbfzo0 11955 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 3 )  <->  3  e.  NN )
64, 5mpbir 213 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ 3 )
7 ne0i 3737 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 3 )  ->  ( 0..^ 3 )  =/=  (/) )
86, 7mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 3 )  =/=  (/) )
9 amgm3d.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
10 amgm3d.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
11 amgm3d.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
129, 10, 11s3cld 12966 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e. Word  RR+ )
13 wrdf 12676 . . . . . 6  |-  ( <" A B C ">  e. Word  RR+  ->  <" A B C "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) ) --> RR+ )
14 s3len 12988 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  <" A B C "> )  =  3
15 df-3 10669 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1614, 15eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" A B C "> )  =  ( 2  +  1 )
1716oveq2i 6301 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  ( 0..^ ( 2  +  1 ) )
1817feq2i 5721 . . . . . 6  |-  ( <" A B C "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) ) --> RR+  <->  <" A B C "> :
( 0..^ ( 2  +  1 ) ) -->
RR+ )
1913, 18sylib 200 . . . . 5  |-  ( <" A B C ">  e. Word  RR+  ->  <" A B C "> : ( 0..^ ( 2  +  1 ) ) --> RR+ )
2015oveq2i 6301 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 3 )  =  ( 0..^ ( 2  +  1 ) )
2120feq2i 5721 . . . . 5  |-  ( <" A B C "> : ( 0..^ 3 ) --> RR+  <->  <" A B C "> : ( 0..^ ( 2  +  1 ) ) --> RR+ )
2219, 21sylibr 216 . . . 4  |-  ( <" A B C ">  e. Word  RR+  ->  <" A B C "> : ( 0..^ 3 ) --> RR+ )
2312, 22syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  <" A B C "> :
( 0..^ 3 ) -->
RR+ )
241, 3, 8, 23amgmlem 23915 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B C "> )  ^c  ( 1  / 
( # `  ( 0..^ 3 ) ) ) )  <_  ( (fld  gsumg 
<" A B C "> )  / 
( # `  ( 0..^ 3 ) ) ) )
25 cnring 18990 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
261ringmgp 17786 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2725, 26mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
289rpcnd 11343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2910rpcnd 11343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3011rpcnd 11343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3128, 29, 30jca32 538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC ) ) )
32 cnfldbas 18974 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
331, 32mgpbas 17729 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
34 cnfldmul 18976 . . . . . 6  |-  x.  =  ( .r ` fld )
351, 34mgpplusg 17727 . . . . 5  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3633, 35gsumws3 36648 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )  e.  Mnd  /\  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC ) ) )  ->  (
(mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B C "> )  =  ( A  x.  ( B  x.  C )
) )
3727, 31, 36syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B C "> )  =  ( A  x.  ( B  x.  C )
) )
38 3nn0 10887 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
39 hashfzo0 12602 . . . . 5  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ 3 ) )  =  3 )
4038, 39mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ 3 ) )  =  3 )
4140oveq2d 6306 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 ( 0..^ 3 ) ) )  =  ( 1  /  3
) )
4237, 41oveq12d 6308 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B C "> )  ^c  ( 1  / 
( # `  ( 0..^ 3 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  ^c  ( 1  /  3 ) ) )
43 ringmnd 17789 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
4425, 43mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. 
Mnd )
45 cnfldadd 18975 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4632, 45gsumws3 36648 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC ) ) )  ->  (fld 
gsumg  <" A B C "> )  =  ( A  +  ( B  +  C ) ) )
4744, 31, 46syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  <" A B C "> )  =  ( A  +  ( B  +  C ) ) )
4847, 40oveq12d 6308 . 2  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  <" A B C "> )  / 
( # `  ( 0..^ 3 ) ) )  =  ( ( A  +  ( B  +  C ) )  / 
3 ) )
4924, 42, 483brtr3d 4432 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  ^c 
( 1  /  3
) )  <_  (
( A  +  ( B  +  C ) )  /  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   NN0cn0 10869   RR+crp 11302  ..^cfzo 11915   #chash 12515  Word cword 12656   <"cs3 12938    gsumg cgsu 15339   Mndcmnd 16535  mulGrpcmgp 17723   Ringcrg 17780  ℂfldccnfld 18970    ^c ccxp 23505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-subrg 18006  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator