Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm2d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem amgm2d 36693
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for  n  =  2, derived from amgmlem 23963. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm2d.0  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
amgm2d.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
amgm2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  ^c 
( 1  /  2
) )  <_  (
( A  +  B
)  /  2 ) )

Proof of Theorem amgm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2461 . . 3  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2 fzofi 12218 . . . 4  |-  ( 0..^ 2 )  e.  Fin
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 2 )  e.  Fin )
4 2nn 10795 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
5 lbfzo0 11985 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
64, 5mpbir 214 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
76ne0ii 3749 . . . 4  |-  ( 0..^ 2 )  =/=  (/)
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ 2 )  =/=  (/) )
9 amgm2d.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
10 amgm2d.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
119, 10s2cld 13001 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B ">  e. Word  RR+ )
12 wrdf 12708 . . . . 5  |-  ( <" A B ">  e. Word  RR+  ->  <" A B "> : ( 0..^ ( # `  <" A B "> ) ) --> RR+ )
13 s2len 13019 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" A B "> )  =  2
1413eqcomi 2470 . . . . . . 7  |-  2  =  ( # `  <" A B "> )
1514oveq2i 6325 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  <" A B "> ) )
1615feq2i 5742 . . . . 5  |-  ( <" A B "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+  <->  <" A B "> : ( 0..^ ( # `  <" A B "> ) ) --> RR+ )
1712, 16sylibr 217 . . . 4  |-  ( <" A B ">  e. Word  RR+  ->  <" A B "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+ )
1811, 17syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  <" A B "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+ )
191, 3, 8, 18amgmlem 23963 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B "> )  ^c 
( 1  /  ( # `
 ( 0..^ 2 ) ) ) )  <_  ( (fld  gsumg 
<" A B "> )  /  ( # `
 ( 0..^ 2 ) ) ) )
20 cnring 19038 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
211ringmgp 17834 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2220, 21mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
239rpcnd 11371 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2410rpcnd 11371 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
25 cnfldbas 19022 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
261, 25mgpbas 17777 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
27 cnfldmul 19024 . . . . . 6  |-  x.  =  ( .r ` fld )
281, 27mgpplusg 17775 . . . . 5  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
2926, 28gsumws2 16674 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )  e.  Mnd  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B "> )  =  ( A  x.  B )
)
3022, 23, 24, 29syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp ` fld )  gsumg 
<" A B "> )  =  ( A  x.  B )
)
31 2nn0 10914 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
32 hashfzo0 12634 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ 2 ) )  =  2 )
3331, 32mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ 2 ) )  =  2 )
3433oveq2d 6330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 ( 0..^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  2
) )
3530, 34oveq12d 6332 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (mulGrp ` fld )  gsumg  <" A B "> )  ^c 
( 1  /  ( # `
 ( 0..^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  B )  ^c  ( 1  / 
2 ) ) )
36 ringmnd 17837 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
3720, 36mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. 
Mnd )
38 cnfldadd 19023 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3925, 38gsumws2 16674 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (fld 
gsumg  <" A B "> )  =  ( A  +  B )
)
4037, 23, 24, 39syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  <" A B "> )  =  ( A  +  B )
)
4140, 33oveq12d 6332 . 2  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  <" A B "> )  /  ( # `
 ( 0..^ 2 ) ) )  =  ( ( A  +  B )  /  2
) )
4219, 35, 413brtr3d 4445 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  ^c 
( 1  /  2
) )  <_  (
( A  +  B
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   CCcc 9562   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569    <_ cle 9701    / cdiv 10296   NNcn 10636   2c2 10686   NN0cn0 10897   RR+crp 11330  ..^cfzo 11945   #chash 12546  Word cword 12688   <"cs2 12973    gsumg cgsu 15387   Mndcmnd 16583  mulGrpcmgp 17771   Ringcrg 17828  ℂfldccnfld 19018    ^c ccxp 23553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-word 12696  df-concat 12698  df-s1 12699  df-s2 12980  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-ghm 16929  df-gim 16971  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-drng 18025  df-subrg 18054  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-refld 19221  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-cmp 20450  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870  df-log 23554  df-cxp 23555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator