Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgm Unicode version

Theorem amgm 20117
 Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here g calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements together), and ℂfld g calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
amgm.1 mulGrpfld
Assertion
Ref Expression
amgm g fld g

Proof of Theorem amgm
StepHypRef Expression
1 amgm.1 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
2 cnfldbas 16215 . . . . . . . . . 10 fld
31, 2mgpbas 15166 . . . . . . . . 9
4 cnfld1 16231 . . . . . . . . . 10 fld
51, 4rngidval 15178 . . . . . . . . 9
6 cnfldmul 16217 . . . . . . . . . 10 fld
71, 6mgpplusg 15164 . . . . . . . . 9
8 cncrng 16227 . . . . . . . . . 10 fld
91crngmgp 15184 . . . . . . . . . 10 fld CMnd
108, 9mp1i 13 . . . . . . . . 9 CMnd
11 simpl1 963 . . . . . . . . 9
12 simpl3 965 . . . . . . . . . 10
13 0re 8718 . . . . . . . . . . . 12
14 pnfxr 10334 . . . . . . . . . . . 12
15 icossre 10608 . . . . . . . . . . . 12
1613, 14, 15mp2an 656 . . . . . . . . . . 11
17 ax-resscn 8674 . . . . . . . . . . 11
1816, 17sstri 3109 . . . . . . . . . 10
19 fss 5254 . . . . . . . . . 10
2012, 18, 19sylancl 646 . . . . . . . . 9
2111, 12fisuppfi 14285 . . . . . . . . 9
22 disjdif 3432 . . . . . . . . . 10
2322a1i 12 . . . . . . . . 9
24 undif2 3436 . . . . . . . . . 10
25 simprl 735 . . . . . . . . . . . 12
2625snssd 3660 . . . . . . . . . . 11
27 ssequn1 3255 . . . . . . . . . . 11
2826, 27sylib 190 . . . . . . . . . 10
2924, 28syl5req 2298 . . . . . . . . 9
303, 5, 7, 10, 11, 20, 21, 23, 29gsumsplit 15042 . . . . . . . 8 g g g
3112, 26feqresmpt 5428 . . . . . . . . . . 11
3231oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10 g g
33 cnrng 16228 . . . . . . . . . . . 12 fld
341rngmgp 15182 . . . . . . . . . . . 12 fld
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
36 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . 12
3720, 25, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11
38 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12
393, 38gsumsn 15055 . . . . . . . . . . 11 g
4035, 25, 37, 39syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10 g
41 simprr 736 . . . . . . . . . 10
4232, 40, 413eqtrd 2289 . . . . . . . . 9 g
4342oveq1d 5725 . . . . . . . 8 g g g
44 diffi 6974 . . . . . . . . . . 11
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . 10
46 difss 3220 . . . . . . . . . . 11
47 fssres 5265 . . . . . . . . . . 11
4820, 46, 47sylancl 646 . . . . . . . . . 10
4945, 48fisuppfi 14285 . . . . . . . . . 10
503, 5, 10, 45, 48, 49gsumcl 15033 . . . . . . . . 9 g
5150mul02d 8890 . . . . . . . 8 g
5230, 43, 513eqtrd 2289 . . . . . . 7 g
5352oveq1d 5725 . . . . . 6 g
54 simpl2 964 . . . . . . . . . 10
55 hashnncl 11232 . . . . . . . . . . 11
5611, 55syl 17 . . . . . . . . . 10
5754, 56mpbird 225 . . . . . . . . 9
5857nncnd 9642 . . . . . . . 8
5957nnne0d 9670 . . . . . . . 8
6058, 59reccld 9409 . . . . . . 7
6158, 59recne0d 9410 . . . . . . 7
6260, 610cxpd 19925 . . . . . 6
6353, 62eqtrd 2285 . . . . 5 g
64 cnfld0 16230 . . . . . . . 8 fld
65 rngcmn 15206 . . . . . . . . 9 fld fld CMnd
6633, 65mp1i 13 . . . . . . . 8 fld CMnd
67 rege0subm 16260 . . . . . . . . 9 SubMndfld
6867a1i 12 . . . . . . . 8 SubMndfld
6911, 12fisuppfi 14285 . . . . . . . 8
7064, 66, 11, 68, 12, 69gsumsubmcl 15036 . . . . . . 7 fld g
71 elrege0 10624 . . . . . . 7 fld g fld g fld g
7270, 71sylib 190 . . . . . 6 fld g fld g
7357nnred 9641 . . . . . 6
7457nngt0d 9669 . . . . . 6
75 divge0 9505 . . . . . 6 fld g fld g fld g
7672, 73, 74, 75syl12anc 1185 . . . . 5 fld g
7763, 76eqbrtrd 3940 . . . 4 g fld g
7877expr 601 . . 3 g fld g
7978rexlimdva 2629 . 2 g fld g
80 ralnex 2517 . . 3
81 simpl1 963 . . . . 5
82 simpl2 964 . . . . 5
83 simpl3 965 . . . . . . 7
84 ffn 5246 . . . . . . 7
8583, 84syl 17 . . . . . 6
86 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87863ad2antl3 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 elrege0 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15
8987, 88sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14
9089simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13
9189simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14
92 leloe 8788 . . . . . . . . . . . . . 14
9313, 91, 92sylancr 647 . . . . . . . . . . . . 13
9490, 93mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12
9594ord 368 . . . . . . . . . . 11
96 eqcom 2255 . . . . . . . . . . 11
9795, 96syl6ib 219 . . . . . . . . . 10
9897con1d 118 . . . . . . . . 9
99 elrp 10235 . . . . . . . . . . 11
10099baib 876 . . . . . . . . . 10
10191, 100syl 17 . . . . . . . . 9
10298, 101sylibrd 227 . . . . . . . 8
103102ralimdva 2583 . . . . . . 7
104103imp 420 . . . . . 6
105 ffnfv 5537 . . . . . 6
10685, 104, 105sylanbrc 648 . . . . 5
1071, 81, 82, 106amgmlem 20116 . . . 4 g fld g
108107ex 425 . . 3 g fld g
10980, 108syl5bir 211 . 2 g fld g
11079, 109pm2.61d 152 1 g fld g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727   cdif 3075   cun 3076   cin 3077   wss 3078  c0 3362  csn 3544   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cres 4582   wfn 4587  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   cpnf 8744  cxr 8746   clt 8747   cle 8748   cdiv 9303  cn 9626  crp 10233  cico 10536  chash 11215   g cgsu 13275  cmnd 14196  SubMndcsubmnd 14249  CMndccmn 14924  mulGrpcmgp 15160  crg 15172  ccrg 15173  ℂfldccnfld 16209   ccxp 19745 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747
 Copyright terms: Public domain W3C validator