MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alzdvds Structured version   Unicode version

Theorem alzdvds 13588
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 10671 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ZZ
2 zcn 10656 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
32abscld 12927 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
4 arch 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  RR  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
6 ssrexv 3422 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  ( abs `  N )  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
)
71, 5, 6mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
8 zre 10655 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
9 ltnle 9459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
103, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
1110rexbidva 2737 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  E. x  e.  ZZ  -.  x  <_ 
( abs `  N
) ) )
12 rexnal 2731 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ZZ  -.  x  <_  ( abs `  N
)  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) )
1311, 12syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
147, 13mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
16 dvdsleabs 13584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
17163expb 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) )
1817expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) ) )
1918ralrimiv 2803 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
20 ralim 2792 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) ) )
2221com12 31 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2322expdimp 437 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =/=  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2415, 23mtod 177 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  N  =/=  0 )
25 nne 2617 . . . 4  |-  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 )
2624, 25sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
2726expcom 435 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  N  =  0 ) )
28 dvds0 13553 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  0 )
29 breq2 4301 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  ||  N  <->  x  ||  0
) )
3028, 29syl5ibr 221 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  ->  x 
||  N ) )
3130ralrimiv 2803 . 2  |-  ( N  =  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  ||  N
)
3227, 31impbid1 203 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   ZZcz 10651   abscabs 12728    || cdivides 13540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator