MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alzdvds Structured version   Unicode version

Theorem alzdvds 14333
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 10957 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ZZ
2 zcn 10942 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
32abscld 13476 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
4 arch 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  RR  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
53, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
6 ssrexv 3532 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  ( abs `  N )  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
)
71, 5, 6mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
8 zre 10941 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
9 ltnle 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
103, 8, 9syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
1110rexbidva 2943 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  E. x  e.  ZZ  -.  x  <_ 
( abs `  N
) ) )
12 rexnal 2880 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ZZ  -.  x  <_  ( abs `  N
)  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) )
1311, 12syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
147, 13mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
1514adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
16 dvdsleabs 14329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
17163expb 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) )
1817expcom 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) ) )
1918ralrimiv 2844 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
20 ralim 2821 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) ) )
2221com12 32 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2322expdimp 438 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =/=  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2415, 23mtod 180 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  N  =/=  0 )
25 nne 2631 . . . 4  |-  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 )
2624, 25sylib 199 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
2726expcom 436 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  N  =  0 ) )
28 dvds0 14296 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  0 )
29 breq2 4430 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  ||  N  <->  x  ||  0
) )
3028, 29syl5ibr 224 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  ->  x 
||  N ) )
3130ralrimiv 2844 . 2  |-  ( N  =  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  ||  N
)
3227, 31impbid1 206 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   RRcr 9537   0cc0 9538    < clt 9674    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZcz 10937   abscabs 13276    || cdvds 14283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator