MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alzdvds Structured version   Unicode version

Theorem alzdvds 14048
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 10905 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ZZ
2 zcn 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
32abscld 13279 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
4 arch 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  RR  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
6 ssrexv 3561 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  ( abs `  N )  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
)
71, 5, 6mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
8 zre 10889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
9 ltnle 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
103, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
1110rexbidva 2965 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  E. x  e.  ZZ  -.  x  <_ 
( abs `  N
) ) )
12 rexnal 2905 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ZZ  -.  x  <_  ( abs `  N
)  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) )
1311, 12syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
147, 13mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
16 dvdsleabs 14044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
17163expb 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) )
1817expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) ) )
1918ralrimiv 2869 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
20 ralim 2846 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) ) )
2221com12 31 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2322expdimp 437 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =/=  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2415, 23mtod 177 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  N  =/=  0 )
25 nne 2658 . . . 4  |-  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 )
2624, 25sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
2726expcom 435 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  N  =  0 ) )
28 dvds0 14011 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  0 )
29 breq2 4460 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  ||  N  <->  x  ||  0
) )
3028, 29syl5ibr 221 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  ->  x 
||  N ) )
3130ralrimiv 2869 . 2  |-  ( N  =  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  ||  N
)
3227, 31impbid1 203 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   abscabs 13079    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator