MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alzdvds Structured version   Unicode version

Theorem alzdvds 13888
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 10880 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ZZ
2 zcn 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
32abscld 13223 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
4 arch 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  N )  e.  RR  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  x )
6 ssrexv 3565 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  ( abs `  N )  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
)
71, 5, 6mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( abs `  N
)  <  x )
8 zre 10864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
9 ltnle 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
103, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  N
)  <  x  <->  -.  x  <_  ( abs `  N
) ) )
1110rexbidva 2970 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  E. x  e.  ZZ  -.  x  <_ 
( abs `  N
) ) )
12 rexnal 2912 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ZZ  -.  x  <_  ( abs `  N
)  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) )
1311, 12syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( abs `  N )  <  x  <->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
147, 13mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) )
16 dvdsleabs 13884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
17163expb 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) )
1817expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N ) ) ) )
1918ralrimiv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) ) )
20 ralim 2853 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  ||  N  ->  x  <_  ( abs `  N
) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N
) ) )
2221com12 31 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2322expdimp 437 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =/=  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  <_  ( abs `  N ) ) )
2415, 23mtod 177 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  -.  N  =/=  0 )
25 nne 2668 . . . 4  |-  ( -.  N  =/=  0  <->  N  =  0 )
2624, 25sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  =  0 )
2726expcom 435 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  ->  N  =  0 ) )
28 dvds0 13853 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  0 )
29 breq2 4451 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  ||  N  <->  x  ||  0
) )
3028, 29syl5ibr 221 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  ->  x 
||  N ) )
3130ralrimiv 2876 . 2  |-  ( N  =  0  ->  A. x  e.  ZZ  x  ||  N
)
3227, 31impbid1 203 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  x  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   RRcr 9487   0cc0 9488    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZcz 10860   abscabs 13024    || cdivides 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-dvds 13841
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator