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Theorem altgsumbcALT 38386
Description: Alternate proof of altgsumbc 38385, using Pascal's rule (bcpascm1 38384) instead of the binomial theorem (binom 13698). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  0 )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11657 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2 bcpascm1 38384 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  k ) )
31, 2sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  k ) )
43eqcomd 2408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) ) )
54oveq2d 6248 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9498 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 negcl 9774 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  -u 1  e.  CC )
8 elfznn0 11741 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
9 expcl 12136 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
107, 8, 9syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
116, 10mpan 668 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
1211adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
13 nnm1nn0 10796 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
14 bccl 12352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10813 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  e.  CC )
1613, 1, 15syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
17 peano2zm 10866 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
181, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
19 bccl 12352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10813 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
2113, 18, 20syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
2212, 16, 21adddid 9568 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
235, 22eqtrd 2441 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
2423sumeq2dv 13579 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
25 fzfid 12035 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
26 neg1cn 10598 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
2827, 8, 9syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
2928, 16mulcld 9564 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  e.  CC )
30 1z 10853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  1  e.  ZZ )
321, 31zsubcld 10931 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
3313, 32, 20syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
3428, 33mulcld 9564 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
3525, 29, 34fsumadd 13615 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
3630a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
37 0zd 10835 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ZZ )
38 nnz 10845 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
39 oveq2 6240 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) ) )
40 oveq2 6240 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( N  -  1 )  _C  k )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )
4139, 40oveq12d 6250 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) ) )
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 13651 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) ) )
43 0p1e1 10606 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4443oveq1i 6242 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
4645sumeq1d 13577 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) ) )
47 elnnuz 11079 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4926a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
50 elfznn 11683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
51 nnm1nn0 10796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
5352adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( j  - 
1 )  e.  NN0 )
5449, 53expcld 12262 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  e.  CC )
55 elfzelz 11657 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
56 elfzel1 11656 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  1  e.  ZZ )
5755, 56zsubcld 10931 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
58 bccl 12352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( j  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  NN0 )
5958nn0cnd 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( j  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  CC )
6013, 57, 59syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  CC )
6154, 60mulcld 9564 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  e.  CC )
62 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
6362oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
6462oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
6563, 64oveq12d 6250 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
6648, 61, 65fsump1 13627 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
67 nncn 10502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
68 pncan1 9942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
70 nnnn0 10761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7169, 70eqeltrd 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10924 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
73 nnre 10501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
74 ltm1 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  <  N )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
7675, 69breqtrrd 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
7776olcd 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
78 bcval4 12337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  0 )
7913, 72, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  0 )
8079oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  0 ) )
8127, 71expcld 12262 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8281mul01d 9731 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  0 )  =  0 )
8380, 82eqtrd 2441 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  0 )
8483oveq2d 6248 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 ) )
85 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
j  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
8685oveq2d 6248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) ) )
8785oveq2d 6248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )
8886, 87oveq12d 6250 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )
8988cbvsumv 13572 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) )
9089a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
9190oveq1d 6247 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  0 ) )
92 fzfid 12035 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
94 elfznn 11683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
95 nnm1nn0 10796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
9796adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN0 )
9893, 97expcld 12262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
99 elfzelz 11657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
100 elfzel1 11656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  ZZ )
10199, 100zsubcld 10931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
10213, 101, 19syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
103102nn0cnd 10813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
10498, 103mulcld 9564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
10592, 104fsumcl 13609 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
106105addid1d 9732 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10791, 106eqtrd 2441 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10866, 84, 1073eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10942, 46, 1083eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
110 elnn0uz 11080 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
11170, 110sylib 196 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
112 oveq2 6240 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
113 oveq1 6239 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
114113oveq2d 6248 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )
115112, 114oveq12d 6250 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) ) )
116111, 34, 115fsum1p 13624 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
11727exp0d 12256 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ 0 )  =  1 )
118 0z 10834 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
119 zsubcl 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
120118, 30, 119mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
122 0re 9544 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
123 ltm1 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
124122, 123mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
125124orcd 390 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( 0  -  1 ) ) )
126 bcval4 12337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
12713, 121, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
128117, 127oveq12d 6250 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  0 ) )
1296a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
130129mul01d 9731 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  0 )  =  0 )
131128, 130eqtrd 2441 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
13243a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
133132oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N ) )
13499zcnd 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
135 npcan1 9943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
136135eqcomd 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  CC  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
137134, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
138137adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
139138oveq2d 6248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )
140 expp1 12125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
14127, 96, 140syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  -u 1 ) )
142139, 141eqtrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  -u 1 ) )
143142oveq1d 6247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1 )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
14498, 93mulcomd 9565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
145144oveq1d 6247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  x.  -u 1
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) ) )
14693, 98, 103mulassd 9567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
147143, 145, 1463eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
148133, 147sumeq12rdv 13583 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
14992, 27, 104fsummulc2 13655 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
150148, 149eqtr4d 2444 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
151131, 150oveq12d 6250 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
0  -  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
15227, 105mulcld 9564 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
153152addid2d 9733 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
154116, 151, 1533eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
155109, 154oveq12d 6250 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( N  -  1 )  _C  k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
15635, 155eqtrd 2441 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
157105mulm1d 9967 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
158157oveq2d 6248 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
159105negidd 9875 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  0 )
160158, 159eqtrd 2441 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  0 )
16124, 156, 1603eqtrd 2445 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    x. cmul 9445    < clt 9576    - cmin 9759   -ucneg 9760   NNcn 10494   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043   ...cfz 11641   ^cexp 12118    _C cbc 12332   sum_csu 13562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-sum 13563
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