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Theorem altgsumbcALT 32421
Description: Alternate proof of altgsumbc 32420, using Pascal's rule (bcpascm1 32419) instead of the binomial theorem (binom 13622). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  0 )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11700 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2 bcpascm1 32419 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  k ) )
31, 2sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  k ) )
43eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) ) )
54oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 negcl 9832 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  -u 1  e.  CC )
8 elfznn0 11782 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
9 expcl 12164 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
116, 10mpan 670 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
13 nnm1nn0 10849 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
14 bccl 12380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10866 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  e.  CC )
1613, 1, 15syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
17 peano2zm 10918 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
181, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
19 bccl 12380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10866 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
2113, 18, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
2212, 16, 21adddid 9632 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
235, 22eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
2423sumeq2dv 13505 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
25 fzfid 12063 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
26 neg1cn 10651 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
2827, 8, 9syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
2928, 16mulcld 9628 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  e.  CC )
30 1z 10906 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  1  e.  ZZ )
321, 31zsubcld 10983 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
3313, 32, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
3428, 33mulcld 9628 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
3525, 29, 34fsumadd 13541 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
3630a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
37 0zd 10888 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ZZ )
38 nnz 10898 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
39 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) ) )
40 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( N  -  1 )  _C  k )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )
4139, 40oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) ) )
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 13575 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) ) )
43 0p1e1 10659 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4443oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
4645sumeq1d 13503 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) ) )
47 elnnuz 11130 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4926a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
50 elfznn 11726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
51 nnm1nn0 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( j  - 
1 )  e.  NN0 )
5449, 53expcld 12290 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  e.  CC )
55 elfzelz 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
56 elfzel1 11699 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  1  e.  ZZ )
5755, 56zsubcld 10983 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
58 bccl 12380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( j  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  NN0 )
5958nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( j  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  CC )
6013, 57, 59syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  CC )
6154, 60mulcld 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  e.  CC )
62 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
6362oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
6462oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
6563, 64oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
6648, 61, 65fsump1 13551 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
67 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
68 pncan1 9995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
70 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7169, 70eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
73 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
74 ltm1 10394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  <  N )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
7675, 69breqtrrd 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
7776olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
78 bcval4 12365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  0 )
7913, 72, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  0 )
8079oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  0 ) )
8127, 71expcld 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8281mul01d 9790 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  0 )  =  0 )
8380, 82eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  0 )
8483oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 ) )
85 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
j  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
8685oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) ) )
8785oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )
8886, 87oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )
8988cbvsumv 13498 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) )
9089a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
9190oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  0 ) )
92 fzfid 12063 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
94 elfznn 11726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
95 nnm1nn0 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN0 )
9893, 97expcld 12290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
99 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
100 elfzel1 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  ZZ )
10199, 100zsubcld 10983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
10213, 101, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
103102nn0cnd 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
10498, 103mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
10592, 104fsumcl 13535 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
106105addid1d 9791 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10791, 106eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10866, 84, 1073eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10942, 46, 1083eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
110 elnn0uz 11131 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
11170, 110sylib 196 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
112 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
113 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
114113oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )
115112, 114oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) ) )
116111, 34, 115fsum1p 13548 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
11727exp0d 12284 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ 0 )  =  1 )
118 0z 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
119 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
120118, 30, 119mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
122 0re 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
123 ltm1 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
124122, 123mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
125124orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( 0  -  1 ) ) )
126 bcval4 12365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
12713, 121, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
128117, 127oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  0 ) )
1296a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
130129mul01d 9790 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  0 )  =  0 )
131128, 130eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
13243a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
133132oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N ) )
13499zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
135 npcan1 9996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
136135eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  CC  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
137134, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
138137adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
139138oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )
140 expp1 12153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
14127, 96, 140syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  -u 1 ) )
142139, 141eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  -u 1 ) )
143142oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1 )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
14498, 93mulcomd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
145144oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  x.  -u 1
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) ) )
14693, 98, 103mulassd 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
147143, 145, 1463eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
148133, 147sumeq12rdv 13509 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
14992, 27, 104fsummulc2 13579 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
150148, 149eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
151131, 150oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
0  -  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
15227, 105mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
153152addid2d 9792 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
154116, 151, 1533eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
155109, 154oveq12d 6313 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( N  -  1 )  _C  k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
15635, 155eqtrd 2508 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
157105mulm1d 10020 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
158157oveq2d 6311 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
159105negidd 9932 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  0 )
160158, 159eqtrd 2508 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  0 )
16124, 156, 1603eqtrd 2512 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    - cmin 9817   -ucneg 9818   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   ^cexp 12146    _C cbc 12360   sum_csu 13488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489
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