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Theorem altgsumbcALT 30755
Description: Alternate proof of altgsumbc 30754, using Pascal's rule (bcpascm1 30753) instead of the binomial theorem (binom 13298). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  0 )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11458 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2 bcpascm1 30753 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  k ) )
31, 2sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  k ) )
43eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) ) )
54oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
6 ax-1cn 9345 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7 negcl 9615 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  -u 1  e.  CC )
8 elfznn0 11486 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
9 expcl 11888 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
116, 10mpan 670 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
13 nnm1nn0 10626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
14 bccl 12103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  k
)  e.  CC )
1613, 1, 15syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
17 peano2zm 10693 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
181, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
19 bccl 12103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
2113, 18, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
2212, 16, 21adddid 9415 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( N  -  1 )  _C  k )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
235, 22eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
2423sumeq2dv 13185 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
25 fzfid 11800 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
26 neg1cn 10430 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
2827, 8, 9syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
2928, 16mulcld 9411 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  e.  CC )
30 1z 10681 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  1  e.  ZZ )
321, 31zsubcld 10757 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
3313, 32, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
3428, 33mulcld 9411 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
3525, 29, 34fsumadd 13220 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
3630a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
37 0zd 10663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ZZ )
38 nnz 10673 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
39 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) ) )
40 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( N  -  1 )  _C  k )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )
4139, 40oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) ) )
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 13252 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) ) )
43 0p1e1 10438 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4443oveq1i 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
4645sumeq1d 13183 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) ) )
47 elnnuz 10902 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4926a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
50 elfznn 11483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
51 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( j  - 
1 )  e.  NN0 )
5449, 53expcld 12013 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  e.  CC )
55 elfzelz 11458 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
56 elfzel1 11457 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  1  e.  ZZ )
5755, 56zsubcld 10757 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
58 bccl 12103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( j  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  NN0 )
5958nn0cnd 10643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( j  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  CC )
6013, 57, 59syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  e.  CC )
6154, 60mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  e.  CC )
62 oveq1 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
j  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
6362oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
6462oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
6563, 64oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) ) )
6648, 61, 65fsump1 13228 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
j  -  1 ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
67 nncn 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
68 pncan1 9777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
70 nnnn0 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7169, 70eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  ZZ )
73 nnre 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
74 ltm1 10174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  <  N )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
7675, 69breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
7776olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
78 bcval4 12088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( N  +  1 )  - 
1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  0 )
7913, 72, 77, 78syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  0 )
8079oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  0 ) )
8127, 71expcld 12013 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8281mul01d 9573 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  0 )  =  0 )
8380, 82eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  0 )
8483oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 ) )
85 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
j  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
8685oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) ) )
8785oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )
8886, 87oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )
8988cbvsumv 13178 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) )
9089a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
9190oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  0 ) )
92 fzfid 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
94 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
95 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN0 )
9893, 97expcld 12013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
99 elfzelz 11458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
100 elfzel1 11457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  ZZ )
10199, 100zsubcld 10757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
10213, 101, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
103102nn0cnd 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
10498, 103mulcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
10592, 104fsumcl 13215 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
106105addid1d 9574 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10791, 106eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10866, 84, 1073eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( j  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
10942, 46, 1083eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
110 elnn0uz 10903 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
11170, 110sylib 196 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
112 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
113 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
114113oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )
115112, 114oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) ) )
116111, 34, 115fsum1p 13227 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
11727exp0d 12007 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ 0 )  =  1 )
118 0z 10662 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
119 zsubcl 10692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
120118, 30, 119mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
121120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
122 0re 9391 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
123 ltm1 10174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
124122, 123mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
125124orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( 0  -  1 ) ) )
126 bcval4 12088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  ( N  -  1 )  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
12713, 121, 125, 126syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
128117, 127oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  0 ) )
1296a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
130129mul01d 9573 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  0 )  =  0 )
131128, 130eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
13243a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
133132oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N ) )
13499zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
135 npcan1 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
136135eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  CC  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
137134, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
138137adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
139138oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )
140 expp1 11877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
14127, 96, 140syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  -u 1 ) )
142139, 141eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  -u 1 ) )
143142oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1 )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
14498, 93mulcomd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
145144oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  x.  -u 1
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) ) )
14693, 98, 103mulassd 9414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
147143, 145, 1463eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
148133, 147sumeq12rdv 13189 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
14992, 27, 104fsummulc2 13256 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( -u 1  x.  ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
150148, 149eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
151131, 150oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( -u 1 ^ 0 )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
0  -  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
15227, 105mulcld 9411 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
153152addid2d 9575 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
154116, 151, 1533eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) )
155109, 154oveq12d 6114 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( N  -  1 )  _C  k ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
15635, 155eqtrd 2475 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( N  -  1 )  _C  k ) )  +  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u 1  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
157105mulm1d 9801 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  _C  (
k  -  1 ) ) ) )
158157oveq2d 6112 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )
159105negidd 9714 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  -u sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) )  =  0 )
160158, 159eqtrd 2475 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) )  +  ( -u
1  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  _C  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  0 )
16124, 156, 1603eqtrd 2479 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( N  _C  k ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    - cmin 9600   -ucneg 9601   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442   ^cexp 11870    _C cbc 12083   sum_csu 13168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169
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