Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  algsca Structured version   Unicode version

Theorem algsca 35954
Description: The set of scalars of a constructed algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
algpart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )
Assertion
Ref Expression
algsca  |-  ( S  e.  V  ->  S  =  (Scalar `  A )
)

Proof of Theorem algsca
StepHypRef Expression
1 algpart.a . . 3  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )
21algstr 35950 . 2  |-  A Struct  <. 1 ,  6 >.
3 scaid 15194 . 2  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
4 snsspr1 4085 . . 3  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }
5 ssun2 3566 . . . 4  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. } )
65, 1sseqtr4i 3433 . . 3  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  C_  A
74, 6sstri 3409 . 2  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  A
82, 3, 7strfv 15093 1  |-  ( S  e.  V  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3370   {csn 3934   {cpr 3936   {ctp 3938   <.cop 3940   ` cfv 5537   1c1 9484   6c6 10607   ndxcnx 15054   Basecbs 15057   +g cplusg 15126   .rcmulr 15127  Scalarcsca 15129   .scvsca 15130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-fz 11729  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-sca 15142  df-vsca 15143
This theorem is referenced by:  mendsca  35962
  Copyright terms: Public domain W3C validator