MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algrp1 Structured version   Unicode version

Theorem algrp1 14079
Description: The value of the algorithm iterator  R at  ( K  +  1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
algrf.2  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) )
algrf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
algrf.4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
algrf.5  |-  ( ph  ->  F : S --> S )
Assertion
Ref Expression
algrp1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Z )  ->  ( R `  ( K  +  1 ) )  =  ( F `  ( R `  K ) ) )

Proof of Theorem algrp1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Z )  ->  K  e.  Z )
2 algrf.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2565 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Z )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 seqp1 12102 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  ( K  +  1
) )  =  ( (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  K ) ( F  o.  1st ) ( ( Z  X.  { A }
) `  ( K  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Z )  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  ( K  +  1
) )  =  ( (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  K ) ( F  o.  1st ) ( ( Z  X.  { A }
) `  ( K  +  1 ) ) ) )
6 algrf.2 . . 3  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) )
76fveq1i 5873 . 2  |-  ( R `
 ( K  + 
1 ) )  =  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  ( K  +  1 ) )
86fveq1i 5873 . . . 4  |-  ( R `
 K )  =  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  K )
98fveq2i 5875 . . 3  |-  ( F `
 ( R `  K ) )  =  ( F `  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  K ) )
10 fvex 5882 . . . 4  |-  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  K )  e.  _V
11 fvex 5882 . . . 4  |-  ( ( Z  X.  { A } ) `  ( K  +  1 ) )  e.  _V
1210, 11algrflem 6904 . . 3  |-  ( (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `
 K ) ( F  o.  1st )
( ( Z  X.  { A } ) `  ( K  +  1
) ) )  =  ( F `  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  K ) )
139, 12eqtr4i 2499 . 2  |-  ( F `
 ( R `  K ) )  =  ( (  seq M
( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A }
) ) `  K
) ( F  o.  1st ) ( ( Z  X.  { A }
) `  ( K  +  1 ) ) )
145, 7, 133eqtr4g 2533 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Z )  ->  ( R `  ( K  +  1 ) )  =  ( F `  ( R `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4033    X. cxp 5003    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   1c1 9505    + caddc 9507   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094    seqcseq 12087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088
This theorem is referenced by:  alginv  14080  algcvg  14081  algcvga  14084  algfx  14085  ovolicc2lem3  21798  ovolicc2lem4  21799  bfplem1  30236  bfplem2  30237
  Copyright terms: Public domain W3C validator