MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algr0 Structured version   Unicode version

Theorem algr0 13866
Description: The value of the algorithm iterator  R at  0 is the initial state  A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
algrf.2  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) )
algrf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
algrf.4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Assertion
Ref Expression
algr0  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )

Proof of Theorem algr0
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) )
21fveq1i 5801 . 2  |-  ( R `
 M )  =  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )
3 algrf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 seq1 11937 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )  =  ( ( Z  X.  { A } ) `  M
) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )  =  ( ( Z  X.  { A }
) `  M )
)
6 algrf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
7 uzid 10987 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9 algrf.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
108, 9syl6eleqr 2553 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
11 fvconst2g 6041 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
126, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
135, 12eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )  =  A )
142, 13syl5eq 2507 1  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3986    X. cxp 4947    o. ccom 4953   ` cfv 5527   1stc1st 6686   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973    seqcseq 11924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-seq 11925
This theorem is referenced by:  algcvg  13870  eucalg  13881  ovolicc2lem4  21136  bfplem1  28870
  Copyright terms: Public domain W3C validator