MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algr0 Structured version   Unicode version

Theorem algr0 14053
Description: The value of the algorithm iterator  R at  0 is the initial state  A. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
algrf.2  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) )
algrf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
algrf.4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Assertion
Ref Expression
algr0  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )

Proof of Theorem algr0
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3  |-  R  =  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) )
21fveq1i 5865 . 2  |-  ( R `
 M )  =  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )
3 algrf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 seq1 12083 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )  =  ( ( Z  X.  { A } ) `  M
) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )  =  ( ( Z  X.  { A }
) `  M )
)
6 algrf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
7 uzid 11092 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9 algrf.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
108, 9syl6eleqr 2566 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
11 fvconst2g 6112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
126, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  M )  =  A )
135, 12eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( F  o.  1st ) ,  ( Z  X.  { A } ) ) `  M )  =  A )
142, 13syl5eq 2520 1  |-  ( ph  ->  ( R `  M
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027    X. cxp 4997    o. ccom 5003   ` cfv 5586   1stc1st 6779   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078    seqcseq 12070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12071
This theorem is referenced by:  algcvg  14057  eucalg  14068  ovolicc2lem4  21663  bfplem1  29919
  Copyright terms: Public domain W3C validator