Theorem algcvga 13746

Description: The countdown function C remains 0 after N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	|- F : S --> S
algcvga.2	|- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) )
algcvga.3	|- C : S --> NN0
algcvga.4	|- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
algcvga.5	|- N = ( C ` A )

Assertion

Ref	Expression
algcvga	|- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   z, C   z, F   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   A( z)   K( z)   N( z)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 |- N = ( C ` A )
2		algcvga.3	. . . 4 |- C : S --> NN0
3	2	ffvelrni 5837	. . 3 |- ( A e. S -> ( C ` A ) e. NN0 )
4	1, 3	syl5eqel 2522	. 2 |- ( A e. S -> N e. NN0 )
5		nn0z 10661	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		eluz1 10857	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( K e. ZZ /\ N <_ K ) ) )
7		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( R ` m ) = ( R ` N ) )
8	7	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` N ) ) )
9	8	eqeq1d 2446	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
10	9	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) ) )
11		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( R ` m ) = ( R ` k ) )
12	11	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
13	12	eqeq1d 2446	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) )
14	13	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) ) )
15		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( R ` m ) = ( R ` ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) )
17	16	eqeq1d 2446	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
18	17	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
19		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( m = K -> ( R ` m ) = ( R ` K ) )
20	19	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` K ) ) )
21	20	eqeq1d 2446	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
22	21	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( m = K -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
23		algcvga.1	. . . . . . . . 9 |- F : S --> S
24		algcvga.2	. . . . . . . . 9 |- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) )
25		algcvga.4	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
26	23, 24, 2, 25, 1	algcvg 13743	. . . . . . . 8 |- ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 )
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
28		nn0ge0 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> 0 <_ N )
30		nn0re 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
31		zre 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
32		0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
33		letr 9460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
34	32, 33	mp3an1 1301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
35	30, 31, 34	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
36	29, 35	mpand 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> 0 <_ k ) )
37		elnn0z 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. ZZ /\ 0 <_ k ) )
38	37	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
39	38	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
40	36, 39	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
41	4, 40	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. S /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
42	41	impr 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) -> k e. NN0 )
43	42	expcom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
44	43	3adant1 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
45	44	ancld 553	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( A e. S /\ k e. NN0 ) ) )
46		nn0uz 10887	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
47		0zd 10650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> 0 e. ZZ )
48		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> A e. S )
49	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> F : S --> S )
50	46, 24, 47, 48, 49	algrf 13740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. S -> R : NN0 --> S )
51	50	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` k ) e. S )
52		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( R ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
53	52	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` ( F ` z ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
54	53	neeq1d 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 ) )
55		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` z ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
56	53, 55	breq12d 4300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
57	54, 56	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) <-> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) ) )
58	57, 25	vtoclga 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
59	23, 2	algcvgb 13745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) <-> ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) ) )
60		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
61	59, 60	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) )
62	58, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
63	51, 62	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
64	46, 24, 47, 48, 49	algrp1 13741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
65	64	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
66	65	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
67	63, 66	sylibrd 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
68	45, 67	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
69	68	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
70	10, 14, 18, 22, 27, 69	uzind 10725	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
71	70	3expib 1190	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
72	6, 71	sylbid 215	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
73	5, 72	syl 16	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
74	73	com3r 79	. 2 |- ( A e. S -> ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
75	4, 74	mpd 15	1 |- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   {csn 3872   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   < clt 9410   <_ cle 9411   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   seqcseq 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799

This theorem is referenced by:  algfx  13747  eucalgcvga  13753