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Theorem algcvga 13873
Description: The countdown function  C remains  0 after  N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1  |-  F : S
--> S
algcvga.2  |-  R  =  seq 0 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN0  X.  { A } ) )
algcvga.3  |-  C : S
--> NN0
algcvga.4  |-  ( z  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) ) )
algcvga.5  |-  N  =  ( C `  A
)
Assertion
Ref Expression
algcvga  |-  ( A  e.  S  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, F    z, R    z, S
Allowed substitution hints:    A( z)    K( z)    N( z)

Proof of Theorem algcvga
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3  |-  N  =  ( C `  A
)
2 algcvga.3 . . . 4  |-  C : S
--> NN0
32ffvelrni 5952 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( C `  A )  e.  NN0 )
41, 3syl5eqel 2546 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  N  e.  NN0 )
5 nn0z 10781 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 eluz1 10977 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) ) )
7 fveq2 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( R `  m )  =  ( R `  N ) )
87fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  N )
) )
98eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  N ) )  =  0 ) )
109imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  N )
)  =  0 ) ) )
11 fveq2 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  ( R `  m )  =  ( R `  k ) )
1211fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  k )
) )
1312eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  k ) )  =  0 ) )
1413imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  k )
)  =  0 ) ) )
15 fveq2 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( R `  m )  =  ( R `  ( k  +  1 ) ) )
1615fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) ) )
1716eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) )
1817imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
19 fveq2 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  K  ->  ( R `  m )  =  ( R `  K ) )
2019fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  K )
) )
2120eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
2221imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  K )
)  =  0 ) ) )
23 algcvga.1 . . . . . . . . 9  |-  F : S
--> S
24 algcvga.2 . . . . . . . . 9  |-  R  =  seq 0 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN0  X.  { A } ) )
25 algcvga.4 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) ) )
2623, 24, 2, 25, 1algcvg 13870 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  N ) )  =  0 )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 N ) )  =  0 ) )
28 nn0ge0 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  0  <_  N )
30 nn0re 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
31 zre 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
32 0re 9498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
33 letr 9580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  0  <_  k
) )
3432, 33mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  N  /\  N  <_  k
)  ->  0  <_  k ) )
3530, 31, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  N  /\  N  <_  k
)  ->  0  <_  k ) )
3629, 35mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  0  <_  k )
)
37 elnn0z 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
3837simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  <_  k  ->  k  e.  NN0 ) )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
4036, 39syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
414, 40sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
4241impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )
)  ->  k  e.  NN0 )
4342expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( A  e.  S  ->  k  e.  NN0 )
)
44433adant1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  k  e.  NN0 ) )
4544ancld 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 ) ) )
46 nn0uz 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
47 0zd 10770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  0  e.  ZZ )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  S )
4923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  F : S --> S )
5046, 24, 47, 48, 49algrf 13867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  R : NN0 --> S )
5150ffvelrnda 5953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( R `  k
)  e.  S )
52 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( R `  k ) ) )
5352fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( C `  ( F `  z ) )  =  ( C `  ( F `  ( R `  k ) ) ) )
5453neeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =/=  0 ) )
55 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( C `  z )  =  ( C `  ( R `  k ) ) )
5653, 55breq12d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z )  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) ) )
5754, 56imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( ( C `  ( F `  z ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) )  <->  ( ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =/=  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) ) ) )
5857, 25vtoclga 3142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =/=  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  < 
( C `  ( R `  k )
) ) )
5923, 2algcvgb 13872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( ( C `  ( F `  ( R `
 k ) ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  <->  ( (
( C `  ( R `  k )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  /\  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) ) ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C `  ( R `  k ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  /\  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( C `
 ( R `  k ) )  =  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  =  0 ) )
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( ( C `  ( F `  ( R `
 k ) ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  ->  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) ) )
6258, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )
6351, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  k ) )  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )
6446, 24, 47, 48, 49algrp1 13868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( R `  (
k  +  1 ) )  =  ( F `
 ( R `  k ) ) )
6564fveq2d 5804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( C `
 ( F `  ( R `  k ) ) ) )
6665eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =  0 ) )
6763, 66sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  k ) )  =  0  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) )
6845, 67syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  ( ( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
6968a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  k )
)  =  0 )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  (
k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
7010, 14, 18, 22, 27, 69uzind 10845 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 K ) )  =  0 ) )
71703expib 1191 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  N  <_  K )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  K )
)  =  0 ) ) )
726, 71sylbid 215 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 K ) )  =  0 ) ) )
735, 72syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `
 ( R `  K ) )  =  0 ) ) )
7473com3r 79 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) ) )
754, 74mpd 15 1  |-  ( A  e.  S  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {csn 3986   class class class wbr 4401    X. cxp 4947    o. ccom 4953   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   1stc1st 6686   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    < clt 9530    <_ cle 9531   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973    seqcseq 11924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-seq 11925
This theorem is referenced by:  algfx  13874  eucalgcvga  13880
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