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Theorem algcvga 13746
Description: The countdown function  C remains  0 after  N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1  |-  F : S
--> S
algcvga.2  |-  R  =  seq 0 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN0  X.  { A } ) )
algcvga.3  |-  C : S
--> NN0
algcvga.4  |-  ( z  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) ) )
algcvga.5  |-  N  =  ( C `  A
)
Assertion
Ref Expression
algcvga  |-  ( A  e.  S  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
Distinct variable groups:    z, C    z, F    z, R    z, S
Allowed substitution hints:    A( z)    K( z)    N( z)

Proof of Theorem algcvga
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3  |-  N  =  ( C `  A
)
2 algcvga.3 . . . 4  |-  C : S
--> NN0
32ffvelrni 5837 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( C `  A )  e.  NN0 )
41, 3syl5eqel 2522 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  N  e.  NN0 )
5 nn0z 10661 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 eluz1 10857 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  <_  K ) ) )
7 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( R `  m )  =  ( R `  N ) )
87fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  N )
) )
98eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  N ) )  =  0 ) )
109imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  N )
)  =  0 ) ) )
11 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  ( R `  m )  =  ( R `  k ) )
1211fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  k )
) )
1312eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  k ) )  =  0 ) )
1413imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  k )
)  =  0 ) ) )
15 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( R `  m )  =  ( R `  ( k  +  1 ) ) )
1615fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) ) )
1716eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) )
1817imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
19 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  K  ->  ( R `  m )  =  ( R `  K ) )
2019fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  ( C `  ( R `  m ) )  =  ( C `  ( R `  K )
) )
2120eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( C `  ( R `  m )
)  =  0  <->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
2221imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  m )
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  K )
)  =  0 ) ) )
23 algcvga.1 . . . . . . . . 9  |-  F : S
--> S
24 algcvga.2 . . . . . . . . 9  |-  R  =  seq 0 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN0  X.  { A } ) )
25 algcvga.4 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) ) )
2623, 24, 2, 25, 1algcvg 13743 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  N ) )  =  0 )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 N ) )  =  0 ) )
28 nn0ge0 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  0  <_  N )
30 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
31 zre 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
32 0re 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
33 letr 9460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  0  <_  k
) )
3432, 33mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  N  /\  N  <_  k
)  ->  0  <_  k ) )
3530, 31, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  N  /\  N  <_  k
)  ->  0  <_  k ) )
3629, 35mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  0  <_  k )
)
37 elnn0z 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
3837simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  <_  k  ->  k  e.  NN0 ) )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
4036, 39syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
414, 40sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  k  e.  NN0 )
)
4241impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )
)  ->  k  e.  NN0 )
4342expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( A  e.  S  ->  k  e.  NN0 )
)
44433adant1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  k  e.  NN0 ) )
4544ancld 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 ) ) )
46 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
47 0zd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  0  e.  ZZ )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  S )
4923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  F : S --> S )
5046, 24, 47, 48, 49algrf 13740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  R : NN0 --> S )
5150ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( R `  k
)  e.  S )
52 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( R `  k ) ) )
5352fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( C `  ( F `  z ) )  =  ( C `  ( F `  ( R `  k ) ) ) )
5453neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  =/=  0  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =/=  0 ) )
55 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  ( C `  z )  =  ( C `  ( R `  k ) ) )
5653, 55breq12d 4300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z )  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) ) )
5754, 56imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( R `  k )  ->  (
( ( C `  ( F `  z ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  z )
)  <  ( C `  z ) )  <->  ( ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =/=  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) ) ) )
5857, 25vtoclga 3031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =/=  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  < 
( C `  ( R `  k )
) ) )
5923, 2algcvgb 13745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( ( C `  ( F `  ( R `
 k ) ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  <->  ( (
( C `  ( R `  k )
)  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  /\  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) ) ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C `  ( R `  k ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  /\  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( C `
 ( R `  k ) )  =  0  ->  ( C `  ( F `  ( R `  k )
) )  =  0 ) )
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( ( C `  ( F `  ( R `
 k ) ) )  =/=  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  <  ( C `  ( R `  k ) ) )  ->  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) ) )
6258, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R `  k )  e.  S  ->  (
( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )
6351, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  k ) )  =  0  -> 
( C `  ( F `  ( R `  k ) ) )  =  0 ) )
6446, 24, 47, 48, 49algrp1 13741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( R `  (
k  +  1 ) )  =  ( F `
 ( R `  k ) ) )
6564fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( C `
 ( F `  ( R `  k ) ) ) )
6665eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  ( C `  ( F `  ( R `  k
) ) )  =  0 ) )
6763, 66sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( C `  ( R `  k ) )  =  0  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) )
6845, 67syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  ( A  e.  S  ->  ( ( C `  ( R `  k )
)  =  0  -> 
( C `  ( R `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
6968a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  ->  (
( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  k )
)  =  0 )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  (
k  +  1 ) ) )  =  0 ) ) )
7010, 14, 18, 22, 27, 69uzind 10725 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  <_  K )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 K ) )  =  0 ) )
71703expib 1190 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  N  <_  K )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `  K )
)  =  0 ) ) )
726, 71sylbid 215 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `  ( R `
 K ) )  =  0 ) ) )
735, 72syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( A  e.  S  ->  ( C `
 ( R `  K ) )  =  0 ) ) )
7473com3r 79 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) ) )
754, 74mpd 15 1  |-  ( A  e.  S  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( C `  ( R `  K ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   {csn 3872   class class class wbr 4287    X. cxp 4833    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799
This theorem is referenced by:  algfx  13747  eucalgcvga  13753
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