Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvg Structured version   Unicode version

Theorem algcvg 14081
 Description: One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function whose value is guaranteed to decrease for each iteration of until it reaches . That is, if is not a fixed point of , then . If is a countdown function for algorithm , the sequence reaches after at most steps, where is the value of for the initial state . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvg.1
algcvg.2
algcvg.3
algcvg.4
algcvg.5
Assertion
Ref Expression
algcvg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem algcvg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11128 . . . 4
2 algcvg.2 . . . 4
3 0zd 10888 . . . 4
4 id 22 . . . 4
5 algcvg.1 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
71, 2, 3, 4, 6algrf 14078 . . 3
8 algcvg.5 . . . 4
9 algcvg.3 . . . . 5
109ffvelrni 6031 . . . 4
118, 10syl5eqel 2559 . . 3
12 fvco3 5951 . . 3
137, 11, 12syl2anc 661 . 2
14 fco 5747 . . . 4
159, 7, 14sylancr 663 . . 3
16 0nn0 10822 . . . . . 6
17 fvco3 5951 . . . . . 6
187, 16, 17sylancl 662 . . . . 5
191, 2, 3, 4algr0 14077 . . . . . 6
2019fveq2d 5876 . . . . 5
2118, 20eqtrd 2508 . . . 4
2221, 8syl6reqr 2527 . . 3
237ffvelrnda 6032 . . . . 5
24 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
2524fveq2d 5876 . . . . . . . 8
2625neeq1d 2744 . . . . . . 7
27 fveq2 5872 . . . . . . . 8
2825, 27breq12d 4466 . . . . . . 7
2926, 28imbi12d 320 . . . . . 6
30 algcvg.4 . . . . . 6
3129, 30vtoclga 3182 . . . . 5
3223, 31syl 16 . . . 4
33 peano2nn0 10848 . . . . . . 7
34 fvco3 5951 . . . . . . 7
357, 33, 34syl2an 477 . . . . . 6
361, 2, 3, 4, 6algrp1 14079 . . . . . . 7
3736fveq2d 5876 . . . . . 6
3835, 37eqtrd 2508 . . . . 5
3938neeq1d 2744 . . . 4
40 fvco3 5951 . . . . . 6
417, 40sylan 471 . . . . 5
4238, 41breq12d 4466 . . . 4
4332, 39, 423imtr4d 268 . . 3
4415, 22, 43nn0seqcvgd 14075 . 2
4513, 44eqtr3d 2510 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  csn 4033   class class class wbr 4453   cxp 5003   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  c1st 6793  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   clt 9640  cn0 10807   cseq 12087 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088 This theorem is referenced by:  algcvga  14084
 Copyright terms: Public domain W3C validator