Theorem alexsublem 20272

Description: Lemma for alexsub 20273. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	|- ( ph -> X e. UFL )
alexsub.2	|- ( ph -> X = U. B )
alexsub.3	|- ( ph -> J = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
alexsub.4	|- ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y )
alexsub.5	|- ( ph -> F e. ( UFil ` X ) )
alexsub.6	|- ( ph -> ( J fLim F ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	|- -. ph

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y   ph, x, y   x, X, y   x, F, y

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3479	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) <-> ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) )
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3	2	eleq2d 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( y e. J <-> y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) )
4	3	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( y e. J /\ x e. y ) <-> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) ) )
5	4	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) )
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) )
7		tg2 19226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) -> E. z e. ( fi ` B ) ( x e. z /\ z C_ y ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> E. z e. ( fi ` B ) ( x e. z /\ z C_ y ) )
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( UFil ` X ) )
10		ufilfil 20133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( Fil ` X ) )
12	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> X = U. B )
14	9	elfvexd 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> X e. _V )
15	13, 14	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> U. B e. _V )
16		uniexb 6581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
17	15, 16	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> B e. _V )
18		elfi2 7863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. _V -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
21	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
22		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> -. x e. U. ( B \ F ) )
23		intss1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. y -> |^| y C_ z )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> |^| y C_ z )
25		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> x e. |^| y )
26	24, 25	sseldd 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> x e. z )
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> x e. z )
28		eldifsn 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( y e. ( ~P B i^i Fin ) /\ y =/= (/) ) )
29	28	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P B i^i Fin ) )
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y e. ( ~P B i^i Fin ) )
31		elfpw 7811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( y C_ B /\ y e. Fin ) )
32	31	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) -> y C_ B )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y C_ B )
34	33	sselda 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) /\ z e. y ) -> z e. B )
35	34	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> z e. B )
36	35	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> ( z e. B /\ -. z e. F ) )
37		eldif 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( B \ F ) <-> ( z e. B /\ -. z e. F ) )
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> z e. ( B \ F ) )
39		elunii 4243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. z /\ z e. ( B \ F ) ) -> x e. U. ( B \ F ) )
40	27, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> x e. U. ( B \ F ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> ( -. z e. F -> x e. U. ( B \ F ) ) )
42	22, 41	mt3d 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> z e. F )
43	42	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> ( z e. y -> z e. F ) )
44	43	ssrdv 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y C_ F )
45	28	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
46	45	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y =/= (/) )
47	31	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) -> y e. Fin )
48	30, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y e. Fin )
49		elfir 7864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y C_ F /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| y e. ( fi ` F ) )
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> |^| y e. ( fi ` F ) )
51		filfi 20088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( fi ` F ) = F )
52	21, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> ( fi ` F ) = F )
53	50, 52	eleqtrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> |^| y e. F )
54	53	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x e. |^| y -> |^| y e. F ) )
55		eleq2 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = |^| y -> ( x e. z <-> x e. |^| y ) )
56		eleq1 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = |^| y -> ( z e. F <-> |^| y e. F ) )
57	55, 56	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = |^| y -> ( ( x e. z -> z e. F ) <-> ( x e. |^| y -> |^| y e. F ) ) )
58	54, 57	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
59	58	rexlimdva 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
60	20, 59	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( z e. ( fi ` B ) -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
61	60	imp32 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ x e. z ) ) -> z e. F )
62	61	adantrrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z e. F )
63	62	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z e. F )
64		elssuni 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ U. J )
66		fibas 19238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( fi ` B ) e. TopBases
67		tgtopon 19232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) )
69	2, 68	syl6eqel 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
70		fiuni 7877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
71	17, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> U. B = U. ( fi ` B ) )
72	13, 71	eqtrd 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> X = U. ( fi ` B ) )
73	72	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
74	69, 73	eleqtrrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
75		toponuni 19188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = U. J )
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> X = U. J )
78	65, 77	sseqtr4d 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ X )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> y C_ X )
80		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ y )
81		filss 20082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( z e. F /\ y C_ X /\ z C_ y ) ) -> y e. F )
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> y e. F )
83	8, 82	rexlimddv 2952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. F )
84	83	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> y e. F ) )
85	84	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) )
86	85	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( -. x e. U. ( B \ F ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) )
87	86	imdistanda 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) -> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
88	1, 87	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) -> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
89		flimopn 20204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
90	74, 11, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
91	88, 90	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) -> x e. ( J fLim F ) ) )
92	91	ssrdv 3503	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X \ U. ( B \ F ) ) C_ ( J fLim F ) )
93		alexsub.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J fLim F ) = (/) )
94		sseq0 3810	. . . . . . 7 |- ( ( ( X \ U. ( B \ F ) ) C_ ( J fLim F ) /\ ( J fLim F ) = (/) ) -> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
95	92, 93, 94	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
96		ssdif0 3878	. . . . . 6 |- ( X C_ U. ( B \ F ) <-> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
97	95, 96	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ U. ( B \ F ) )
98		difss 3624	. . . . . . 7 |- ( B \ F ) C_ B
99	98	unissi 4261	. . . . . 6 |- U. ( B \ F ) C_ U. B
100	99, 13	syl5sseqr 3546	. . . . 5 |- ( ph -> U. ( B \ F ) C_ X )
101	97, 100	eqssd 3514	. . . 4 |- ( ph -> X = U. ( B \ F ) )
102	101, 98	jctil 537	. . 3 |- ( ph -> ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) )
103		difexg 4588	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B \ F ) e. _V )
104	17, 103	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( B \ F ) e. _V )
105	104	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> ( B \ F ) e. _V )
106		sseq1 3518	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ( x C_ B <-> ( B \ F ) C_ B ) )
107		unieq 4246	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B \ F ) -> U. x = U. ( B \ F ) )
108	107	eqeq2d 2474	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ( X = U. x <-> X = U. ( B \ F ) ) )
109	106, 108	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( x C_ B /\ X = U. x ) <-> ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) )
110	109	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) <-> ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) ) )
111		pweq 4006	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ~P x = ~P ( B \ F ) )
112	111	ineq1d 3692	. . . . . . 7 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) )
113	112	rexeqdv 3058	. . . . . 6 |- ( x = ( B \ F ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) )
114	110, 113	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) ) )
115		alexsub.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y )
116	114, 115	vtoclg 3164	. . . 4 |- ( ( B \ F ) e. _V -> ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) )
117	105, 116	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
118	102, 117	mpdan 668	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
119		unieq 4246	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
120		uni0 4265	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
121	119, 120	syl6eq 2517	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
122	121	neeq2d 2738	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( X =/= U. y <-> X =/= (/) ) )
123		difssd 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> ( X \ z ) C_ X )
124	123	ralrimivw 2872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> A. z e. y ( X \ z ) C_ X )
125		riinn0 4393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. y ( X \ z ) C_ X /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^|_ z e. y ( X \ z ) )
126	124, 125	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^|_ z e. y ( X \ z ) )
127	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X e. _V )
128		difexg 4588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. _V -> ( X \ z ) e. _V )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X \ z ) e. _V )
130	129	ralrimivw 2872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> A. z e. y ( X \ z ) e. _V )
131		dfiin2g 4351	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. y ( X \ z ) e. _V -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } )
132	130, 131	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } )
133		eqid 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = ( z e. y |-> ( X \ z ) )
134	133	rnmpt 5239	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = { x | E. z e. y x = ( X \ z ) }
135	134	inteqi 4279	. . . . . . . . . 10 |- |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) }
136	132, 135	syl6eqr 2519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) )
137	126, 136	eqtrd 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) )
138	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
139		elfpw 7811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( B \ F ) /\ y e. Fin ) )
140	139	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) -> y C_ ( B \ F ) )
141	140	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y C_ ( B \ F ) )
142	141	sselda 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z e. ( B \ F ) )
143	142	eldifbd 3482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> -. z e. F )
144	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> F e. ( UFil ` X ) )
145	141	difss2d 3627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y C_ B )
146	145	sselda 3497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z e. B )
147		elssuni 4268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> z C_ U. B )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z C_ U. B )
149	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> X = U. B )
150	148, 149	sseqtr4d 3534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z C_ X )
151		ufilb 20135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ z C_ X ) -> ( -. z e. F <-> ( X \ z ) e. F ) )
152	144, 150, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( -. z e. F <-> ( X \ z ) e. F ) )
153	143, 152	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( X \ z ) e. F )
154	153, 133	fmptd 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F )
155		frn 5728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F )
156	154, 155	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F )
157		fdm 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = y )
158	154, 157	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = y )
159		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y =/= (/) )
160	158, 159	eqnetrd 2753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
161		dm0rn0 5210	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = (/) <-> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = (/) )
162	161	necon3bii 2728	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) <-> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
163	160, 162	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
164	139	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
165	164	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y e. Fin )
166		abrexfi 7809	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin -> { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } e. Fin )
167	134, 166	syl5eqel 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Fin -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin )
168	165, 167	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin )
169		filintn0 20090	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F /\ ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin ) ) -> |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
170	138, 156, 163, 168, 169	syl13anc 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
171	137, 170	eqnetrd 2753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) =/= (/) )
172		disj3 3864	. . . . . . . 8 |- ( ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = (/) <-> X = ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
173	172	necon3bii 2728	. . . . . . 7 |- ( ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) =/= (/) <-> X =/= ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
174	171, 173	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X =/= ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
175		iundif2 4385	. . . . . . 7 |- U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) )
176		dfss4 3725	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
177	150, 176	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
178	177	iuneq2dv 4340	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = U_ z e. y z )
179		uniiun 4371	. . . . . . . 8 |- U. y = U_ z e. y z
180	178, 179	syl6eqr 2519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = U. y )
181	175, 180	syl5eqr 2515	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = U. y )
182	174, 181	neeqtrd 2755	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X =/= U. y )
183	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
184		filtop 20084	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
185		fileln0 20079	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ X e. F ) -> X =/= (/) )
186	184, 185	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X =/= (/) )
187	183, 186	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> X =/= (/) )
188	122, 182, 187	pm2.61ne 2775	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> X =/= U. y )
189	188	neneqd 2662	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> -. X = U. y )
190	189	nrexdv 2913	. 2 |- ( ph -> -. E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
191	118, 190	pm2.65i 173	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   {cab 2445   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   i^i cin 3468   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238   |^|cint 4275   U_ciun 4318   |^|_ciin 4319   |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   ficfi 7859   topGenctg 14682  TopOnctopon 19155   TopBasesctb 19158   Filcfil 20074   UFilcufil 20128  UFLcufl 20129   fLim cflim 20163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-fi 7860  df-topgen 14688  df-fbas 18180  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-ntr 19280  df-nei 19358  df-fil 20075  df-ufil 20130  df-flim 20168

This theorem is referenced by:  alexsub  20273