Theorem alexsublem 20417

Description: Lemma for alexsub 20418. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	|- ( ph -> X e. UFL )
alexsub.2	|- ( ph -> X = U. B )
alexsub.3	|- ( ph -> J = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
alexsub.4	|- ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y )
alexsub.5	|- ( ph -> F e. ( UFil ` X ) )
alexsub.6	|- ( ph -> ( J fLim F ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	|- -. ph

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y   ph, x, y   x, X, y   x, F, y

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) <-> ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) )
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3	2	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( y e. J <-> y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) )
4	3	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( y e. J /\ x e. y ) <-> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) ) )
5	4	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) )
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) )
7		tg2 19339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) -> E. z e. ( fi ` B ) ( x e. z /\ z C_ y ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> E. z e. ( fi ` B ) ( x e. z /\ z C_ y ) )
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( UFil ` X ) )
10		ufilfil 20278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( Fil ` X ) )
12	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> X = U. B )
14	9	elfvexd 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> X e. _V )
15	13, 14	eqeltrrd 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> U. B e. _V )
16		uniexb 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
17	15, 16	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> B e. _V )
18		elfi2 7876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. _V -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
21	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
22		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> -. x e. U. ( B \ F ) )
23		intss1 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. y -> |^| y C_ z )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> |^| y C_ z )
25		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> x e. |^| y )
26	24, 25	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> x e. z )
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> x e. z )
28		eldifsn 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( y e. ( ~P B i^i Fin ) /\ y =/= (/) ) )
29	28	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P B i^i Fin ) )
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y e. ( ~P B i^i Fin ) )
31		elfpw 7824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( y C_ B /\ y e. Fin ) )
32	31	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) -> y C_ B )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y C_ B )
34	33	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) /\ z e. y ) -> z e. B )
35	34	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> z e. B )
36	35	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> ( z e. B /\ -. z e. F ) )
37		eldif 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( B \ F ) <-> ( z e. B /\ -. z e. F ) )
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> z e. ( B \ F ) )
39		elunii 4239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. z /\ z e. ( B \ F ) ) -> x e. U. ( B \ F ) )
40	27, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> x e. U. ( B \ F ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> ( -. z e. F -> x e. U. ( B \ F ) ) )
42	22, 41	mt3d 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> z e. F )
43	42	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> ( z e. y -> z e. F ) )
44	43	ssrdv 3495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y C_ F )
45	28	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
46	45	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y =/= (/) )
47	31	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) -> y e. Fin )
48	30, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y e. Fin )
49		elfir 7877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y C_ F /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| y e. ( fi ` F ) )
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> |^| y e. ( fi ` F ) )
51		filfi 20233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( fi ` F ) = F )
52	21, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> ( fi ` F ) = F )
53	50, 52	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> |^| y e. F )
54	53	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x e. |^| y -> |^| y e. F ) )
55		eleq2 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = |^| y -> ( x e. z <-> x e. |^| y ) )
56		eleq1 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = |^| y -> ( z e. F <-> |^| y e. F ) )
57	55, 56	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = |^| y -> ( ( x e. z -> z e. F ) <-> ( x e. |^| y -> |^| y e. F ) ) )
58	54, 57	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
59	58	rexlimdva 2935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
60	20, 59	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( z e. ( fi ` B ) -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
61	60	imp32 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ x e. z ) ) -> z e. F )
62	61	adantrrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z e. F )
63	62	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z e. F )
64		elssuni 4264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ U. J )
66		fibas 19352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( fi ` B ) e. TopBases
67		tgtopon 19346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) )
69	2, 68	syl6eqel 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
70		fiuni 7890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
71	17, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> U. B = U. ( fi ` B ) )
72	13, 71	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> X = U. ( fi ` B ) )
73	72	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
74	69, 73	eleqtrrd 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
75		toponuni 19301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = U. J )
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> X = U. J )
78	65, 77	sseqtr4d 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ X )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> y C_ X )
80		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ y )
81		filss 20227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( z e. F /\ y C_ X /\ z C_ y ) ) -> y e. F )
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> y e. F )
83	8, 82	rexlimddv 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. F )
84	83	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> y e. F ) )
85	84	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) )
86	85	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( -. x e. U. ( B \ F ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) )
87	86	imdistanda 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) -> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
88	1, 87	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) -> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
89		flimopn 20349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
90	74, 11, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
91	88, 90	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) -> x e. ( J fLim F ) ) )
92	91	ssrdv 3495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X \ U. ( B \ F ) ) C_ ( J fLim F ) )
93		alexsub.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J fLim F ) = (/) )
94		sseq0 3803	. . . . . . 7 |- ( ( ( X \ U. ( B \ F ) ) C_ ( J fLim F ) /\ ( J fLim F ) = (/) ) -> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
95	92, 93, 94	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
96		ssdif0 3871	. . . . . 6 |- ( X C_ U. ( B \ F ) <-> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
97	95, 96	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ U. ( B \ F ) )
98		difss 3616	. . . . . . 7 |- ( B \ F ) C_ B
99	98	unissi 4257	. . . . . 6 |- U. ( B \ F ) C_ U. B
100	99, 13	syl5sseqr 3538	. . . . 5 |- ( ph -> U. ( B \ F ) C_ X )
101	97, 100	eqssd 3506	. . . 4 |- ( ph -> X = U. ( B \ F ) )
102	101, 98	jctil 537	. . 3 |- ( ph -> ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) )
103		difexg 4585	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B \ F ) e. _V )
104	17, 103	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( B \ F ) e. _V )
105	104	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> ( B \ F ) e. _V )
106		sseq1 3510	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ( x C_ B <-> ( B \ F ) C_ B ) )
107		unieq 4242	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B \ F ) -> U. x = U. ( B \ F ) )
108	107	eqeq2d 2457	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ( X = U. x <-> X = U. ( B \ F ) ) )
109	106, 108	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( x C_ B /\ X = U. x ) <-> ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) )
110	109	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) <-> ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) ) )
111		pweq 4000	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ~P x = ~P ( B \ F ) )
112	111	ineq1d 3684	. . . . . . 7 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) )
113	112	rexeqdv 3047	. . . . . 6 |- ( x = ( B \ F ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) )
114	110, 113	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) ) )
115		alexsub.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y )
116	114, 115	vtoclg 3153	. . . 4 |- ( ( B \ F ) e. _V -> ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) )
117	105, 116	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
118	102, 117	mpdan 668	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
119		unieq 4242	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
120		uni0 4261	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
121	119, 120	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
122	121	neeq2d 2721	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( X =/= U. y <-> X =/= (/) ) )
123		difssd 3617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> ( X \ z ) C_ X )
124	123	ralrimivw 2858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> A. z e. y ( X \ z ) C_ X )
125		riinn0 4390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. y ( X \ z ) C_ X /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^|_ z e. y ( X \ z ) )
126	124, 125	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^|_ z e. y ( X \ z ) )
127	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X e. _V )
128		difexg 4585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. _V -> ( X \ z ) e. _V )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X \ z ) e. _V )
130	129	ralrimivw 2858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> A. z e. y ( X \ z ) e. _V )
131		dfiin2g 4348	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. y ( X \ z ) e. _V -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } )
132	130, 131	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } )
133		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = ( z e. y |-> ( X \ z ) )
134	133	rnmpt 5238	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = { x | E. z e. y x = ( X \ z ) }
135	134	inteqi 4275	. . . . . . . . . 10 |- |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) }
136	132, 135	syl6eqr 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) )
137	126, 136	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) )
138	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
139		elfpw 7824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( B \ F ) /\ y e. Fin ) )
140	139	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) -> y C_ ( B \ F ) )
141	140	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y C_ ( B \ F ) )
142	141	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z e. ( B \ F ) )
143	142	eldifbd 3474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> -. z e. F )
144	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> F e. ( UFil ` X ) )
145	141	difss2d 3619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y C_ B )
146	145	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z e. B )
147		elssuni 4264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> z C_ U. B )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z C_ U. B )
149	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> X = U. B )
150	148, 149	sseqtr4d 3526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z C_ X )
151		ufilb 20280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ z C_ X ) -> ( -. z e. F <-> ( X \ z ) e. F ) )
152	144, 150, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( -. z e. F <-> ( X \ z ) e. F ) )
153	143, 152	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( X \ z ) e. F )
154	153, 133	fmptd 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F )
155		frn 5727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F )
156	154, 155	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F )
157	133, 153	dmmptd 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = y )
158		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y =/= (/) )
159	157, 158	eqnetrd 2736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
160		dm0rn0 5209	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = (/) <-> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = (/) )
161	160	necon3bii 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) <-> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
162	159, 161	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
163	139	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
164	163	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y e. Fin )
165		abrexfi 7822	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin -> { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } e. Fin )
166	134, 165	syl5eqel 2535	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Fin -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin )
167	164, 166	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin )
168		filintn0 20235	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F /\ ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin ) ) -> |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
169	138, 156, 162, 167, 168	syl13anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
170	137, 169	eqnetrd 2736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) =/= (/) )
171		disj3 3857	. . . . . . . 8 |- ( ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = (/) <-> X = ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
172	171	necon3bii 2711	. . . . . . 7 |- ( ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) =/= (/) <-> X =/= ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
173	170, 172	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X =/= ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
174		iundif2 4382	. . . . . . 7 |- U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) )
175		dfss4 3717	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
176	150, 175	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
177	176	iuneq2dv 4337	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = U_ z e. y z )
178		uniiun 4368	. . . . . . . 8 |- U. y = U_ z e. y z
179	177, 178	syl6eqr 2502	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = U. y )
180	174, 179	syl5eqr 2498	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = U. y )
181	173, 180	neeqtrd 2738	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X =/= U. y )
182	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
183		filtop 20229	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
184		fileln0 20224	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ X e. F ) -> X =/= (/) )
185	183, 184	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X =/= (/) )
186	182, 185	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> X =/= (/) )
187	122, 181, 186	pm2.61ne 2758	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> X =/= U. y )
188	187	neneqd 2645	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> -. X = U. y )
189	188	nrexdv 2899	. 2 |- ( ph -> -. E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
190	118, 189	pm2.65i 173	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   {cab 2428   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   |^|cint 4271   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   ficfi 7872   topGenctg 14712  TopOnctopon 19268   TopBasesctb 19271   Filcfil 20219   UFilcufil 20273  UFLcufl 20274   fLim cflim 20308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-fi 7873  df-topgen 14718  df-fbas 18290  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-ntr 19394  df-nei 19472  df-fil 20220  df-ufil 20275  df-flim 20313

This theorem is referenced by:  alexsub  20418