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Theorem alexsublem 21051
Description: Lemma for alexsub 21052. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1  |-  ( ph  ->  X  e. UFL )
alexsub.2  |-  ( ph  ->  X  =  U. B
)
alexsub.3  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
alexsub.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  B  /\  X  = 
U. x ) )  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )
alexsub.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
alexsub.6  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  F
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
alexsublem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    x, y, B    x, J, y    ph, x, y    x, X, y    x, F, y

Proof of Theorem alexsublem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  \  U. ( B  \  F
) )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )
2 alexsub.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
32eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  <->  y  e.  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ) )
43anbi1d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  y )  <->  ( y  e.  ( topGen `  ( fi `  B ) )  /\  x  e.  y )
) )
54biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
( y  e.  (
topGen `  ( fi `  B ) )  /\  x  e.  y )
)
65adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
( y  e.  (
topGen `  ( fi `  B ) )  /\  x  e.  y )
)
7 tg2 19972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( topGen `  ( fi `  B
) )  /\  x  e.  y )  ->  E. z  e.  ( fi `  B
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. z  e.  ( fi `  B ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )
9 alexsub.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
10 ufilfil 20911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
1211ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
13 alexsub.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  X  =  U. B
)
149elfvexd 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
1513, 14eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  U. B  e.  _V )
16 uniexb 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1715, 16sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
18 elfi2 7932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  B )  <->  E. y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( fi `  B )  <->  E. y  e.  (
( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( z  e.  ( fi `  B
)  <->  E. y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
2111ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
22 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  ->  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) )
23 intss1 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  y  ->  |^| y  C_  z )
2423adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )  ->  |^| y  C_  z
)
25 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )  ->  x  e.  |^| y
)
2624, 25sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )  ->  x  e.  z )
2726ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  x  e.  z )
28 eldifsn 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  y  =/=  (/) ) )
2928simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
3029ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
31 elfpw 7880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  B  /\  y  e. 
Fin ) )
3231simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  y  C_  B )
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  C_  B )
3433sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  B )
3534anasss 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  B )
3635anim1i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  (
z  e.  B  /\  -.  z  e.  F
) )
37 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  ( B  \  F )  <->  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  F ) )
3836, 37sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  z  e.  ( B  \  F
) )
39 elunii 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  z  /\  z  e.  ( B  \  F ) )  ->  x  e.  U. ( B  \  F ) )
4027, 38, 39syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e. 
|^| y )  /\  z  e.  y )
)  /\  -.  z  e.  F )  ->  x  e.  U. ( B  \  F ) )
4140ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  -> 
( -.  z  e.  F  ->  x  e.  U. ( B  \  F
) ) )
4222, 41mt3d 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y )  /\  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  F )
4342expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  F ) )
4443ssrdv 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  C_  F )
4528simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
4645ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  =/=  (/) )
4731simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  y  e.  Fin )
49 elfir 7933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  C_  F  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^| y  e.  ( fi `  F ) )
5021, 44, 46, 48, 49syl13anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  |^| y  e.  ( fi `  F
) )
51 filfi 20866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  F )  =  F )
5221, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  ( fi `  F )  =  F )
5350, 52eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  x  e.  |^| y ) )  ->  |^| y  e.  F )
5453expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( x  e.  |^| y  ->  |^| y  e.  F
) )
55 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  |^| y
) )
56 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  e.  F  <->  |^| y  e.  F ) )
5755, 56imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  e.  z  ->  z  e.  F )  <->  ( x  e.  |^| y  ->  |^| y  e.  F ) ) )
5854, 57syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( z  =  |^| y  ->  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
5958rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  e.  z  -> 
z  e.  F ) ) )
6020, 59sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( z  e.  ( fi `  B
)  ->  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
6160imp32 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( z  e.  ( fi `  B )  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  e.  F )
6261adantrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( z  e.  ( fi `  B )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  e.  F )
6362adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  e.  F
)
64 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
6564ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  U. J )
66 fibas 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( fi
`  B )  e.  TopBases
67 tgtopon 19979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  B ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen `  ( fi `  B
) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  B ) )
692, 68syl6eqel 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. ( fi `  B
) ) )
70 fiuni 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
7117, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
7213, 71eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( fi `  B ) )
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi
`  B ) ) )
7469, 73eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75 toponuni 19934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
7776ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  X  =  U. J )
7865, 77sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  X )
7978adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  C_  X
)
80 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  C_  y
)
81 filss 20860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
z  e.  F  /\  y  C_  X  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
8212, 63, 79, 80, 81syl13anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  e.  F
)
838, 82rexlimddv 2922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  e.  F )
8483expr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  y  -> 
y  e.  F ) )
8584ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
8685expr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  U. ( B  \  F )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) )
8786imdistanda 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  U. ( B  \  F ) )  -> 
( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
881, 87syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  ->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
89 flimopn 20982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9074, 11, 89syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  -> 
y  e.  F ) ) ) )
9188, 90sylibrd 238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F )
) )
9291ssrdv 3471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  C_  ( J  fLim  F ) )
93 alexsub.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  F
)  =  (/) )
94 sseq0 3795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  \  U. ( B  \  F ) )  C_  ( J  fLim  F )  /\  ( J  fLim  F )  =  (/) )  ->  ( X 
\  U. ( B  \  F ) )  =  (/) )
9592, 93, 94syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  \  U. ( B  \  F ) )  =  (/) )
96 ssdif0 3852 . . . . . 6  |-  ( X 
C_  U. ( B  \  F )  <->  ( X  \ 
U. ( B  \  F ) )  =  (/) )
9795, 96sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( B  \  F ) )
98 difss 3593 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  F )  C_  B
9998unissi 4240 . . . . . 6  |-  U. ( B  \  F )  C_  U. B
10099, 13syl5sseqr 3514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( B  \  F )  C_  X
)
10197, 100eqssd 3482 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( B  \  F ) )
102101, 98jctil 540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )
103 difexg 4570 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  F )  e. 
_V )
10417, 103syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  \  F
)  e.  _V )
105104adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  ( B  \  F )  e. 
_V )
106 sseq1 3486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
x  C_  B  <->  ( B  \  F )  C_  B
) )
107 unieq 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  U. x  =  U. ( B  \  F ) )
108107eqeq2d 2437 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ( X  =  U. x  <->  X  =  U. ( B 
\  F ) ) )
109106, 108anbi12d 716 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
( x  C_  B  /\  X  =  U. x )  <->  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) ) )
110109anbi2d 709 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
( ph  /\  (
x  C_  B  /\  X  =  U. x
) )  <->  ( ph  /\  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) ) ) )
111 pweq 3983 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ~P x  =  ~P ( B  \  F ) )
112111ineq1d 3664 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ( ~P x  i^i  Fin )  =  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin ) )
113112rexeqdv 3033 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  ( E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P ( B  \  F
)  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )
114110, 113imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B  \  F )  ->  (
( ( ph  /\  ( x  C_  B  /\  X  =  U. x
) )  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )  <->  ( ( ph  /\  ( ( B 
\  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
115 alexsub.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  B  /\  X  = 
U. x ) )  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )
116114, 115vtoclg 3140 . . . 4  |-  ( ( B  \  F )  e.  _V  ->  (
( ph  /\  (
( B  \  F
)  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) )
117105, 116mpcom 38 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  \  F )  C_  B  /\  X  =  U. ( B  \  F ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )
118102, 117mpdan 673 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) X  =  U. y )
119 unieq 4225 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
120 uni0 4244 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
121119, 120syl6eq 2480 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
122121neeq2d 2703 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( X  =/=  U. y  <->  X  =/=  (/) ) )
123 difssd 3594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  ( X  \  z )  C_  X )
124123ralrimivw 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  A. z  e.  y  ( X  \  z )  C_  X
)
125 riinn0 4372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  y  ( X  \  z
)  C_  X  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )
126124, 125sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )
12714ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  X  e.  _V )
128 difexg 4570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  z )  e. 
_V )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  \  z )  e. 
_V )
130129ralrimivw 2841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  A. z  e.  y  ( X  \  z )  e.  _V )
131 dfiin2g 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  ( X  \  z )  e. 
_V  ->  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
)  =  |^| { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X 
\  z ) } )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z )  =  |^| { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X  \  z
) } )
133 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( X  \ 
z ) )
134133rnmpt 5097 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
z  e.  y  |->  ( X  \  z ) )  =  { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X 
\  z ) }
135134inteqi 4257 . . . . . . . . . 10  |-  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  |^| { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X  \  z
) }
136132, 135syl6eqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z )  =  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) ) )
137126, 136eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) ) )
13811ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
139 elfpw 7880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin )  <->  ( y  C_  ( B  \  F
)  /\  y  e.  Fin ) )
140139simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin )  ->  y  C_  ( B  \  F
) )
141140ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  C_  ( B  \  F
) )
142141sselda 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  ( B 
\  F ) )
143142eldifbd 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  -.  z  e.  F
)
1449ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  F  e.  ( UFil `  X ) )
145141difss2d 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  C_  B )
146145sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  B )
147 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  z  C_ 
U. B )
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  C_  U. B )
14913ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  X  =  U. B
)
150148, 149sseqtr4d 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  z  C_  X )
151 ufilb 20913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  z  C_  X )  ->  ( -.  z  e.  F  <->  ( X  \  z )  e.  F ) )
152144, 150, 151syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  e.  F  <->  ( X  \ 
z )  e.  F
) )
153143, 152mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  ( X  \  z
)  e.  F )
154153, 133fmptd 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  y  |->  ( X  \  z ) ) : y --> F )
155 frn 5750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( X  \  z ) ) : y --> F  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) ) 
C_  F )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  C_  F
)
157133, 153dmmptd 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  y )
158 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =/=  (/) )
159157, 158eqnetrd 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
160 dm0rn0 5068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  (/)  <->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =  (/) )
161160necon3bii 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =/=  (/) )
162159, 161sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
163139simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i 
Fin )  ->  y  e.  Fin )
164163ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Fin )
165 abrexfi 7878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  ->  { x  |  E. z  e.  y  x  =  ( X 
\  z ) }  e.  Fin )
166134, 165syl5eqel 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  e.  Fin )
167164, 166syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  e.  Fin )
168 filintn0 20868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  C_  F  /\  ran  ( z  e.  y  |->  ( X  \ 
z ) )  =/=  (/)  /\  ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  ( z  e.  y  |->  ( X 
\  z ) )  =/=  (/) )
169138, 156, 162, 167, 168syl13anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^| ran  ( z  e.  y 
|->  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
170137, 169eqnetrd 2718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =/=  (/) )
171 disj3 3838 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )  =  (/) 
<->  X  =  ( X 
\  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) ) )
172171necon3bii 2693 . . . . . . 7  |-  ( ( X  i^i  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )  =/=  (/) 
<->  X  =/=  ( X 
\  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) ) )
173170, 172sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  X  =/=  ( X  \  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) ) )
174 iundif2 4364 . . . . . . 7  |-  U_ z  e.  y  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  ( X  \  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z ) )
175 dfss4 3708 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  z )
176150, 175sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  y )  ->  ( X  \  ( X  \  z ) )  =  z )
177176iuneq2dv 4319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U_ z  e.  y  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  U_ z  e.  y  z
)
178 uniiun 4350 . . . . . . . 8  |-  U. y  =  U_ z  e.  y  z
179177, 178syl6eqr 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U_ z  e.  y  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  U. y )
180174, 179syl5eqr 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( X  \  |^|_ z  e.  y  ( X  \  z
) )  =  U. y )
181173, 180neeqtrd 2720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) )  /\  y  =/=  (/) )  ->  X  =/=  U. y )
18211adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
183 filtop 20862 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
184 fileln0 20857 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  X  e.  F )  ->  X  =/=  (/) )
185183, 184mpdan 673 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =/=  (/) )
186182, 185syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  X  =/=  (/) )
187122, 181, 186pm2.61ne 2740 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  X  =/=  U. y )
188187neneqd 2626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P ( B  \  F )  i^i  Fin ) )  ->  -.  X  =  U. y
)
189188nrexdv 2882 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  ( ~P ( B 
\  F )  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )
190118, 189pm2.65i 177 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217   |^|cint 4253   U_ciun 4297   |^|_ciin 4298    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   ficfi 7928   topGenctg 15329  TopOnctopon 19910   TopBasesctb 19912   Filcfil 20852   UFilcufil 20906  UFLcufl 20907    fLim cflim 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-fin 7579  df-fi 7929  df-topgen 15335  df-fbas 18960  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-ntr 20027  df-nei 20106  df-fil 20853  df-ufil 20908  df-flim 20946
This theorem is referenced by:  alexsub  21052
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