Theorem alexsublem 19619

Description: Lemma for alexsub 19620. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	|- ( ph -> X e. UFL )
alexsub.2	|- ( ph -> X = U. B )
alexsub.3	|- ( ph -> J = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
alexsub.4	|- ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y )
alexsub.5	|- ( ph -> F e. ( UFil ` X ) )
alexsub.6	|- ( ph -> ( J fLim F ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	|- -. ph

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y   ph, x, y   x, X, y   x, F, y

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3341	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) <-> ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) )
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3	2	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( y e. J <-> y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) )
4	3	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( y e. J /\ x e. y ) <-> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) ) )
5	4	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) )
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) )
7		tg2 18573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ( topGen ` ( fi ` B ) ) /\ x e. y ) -> E. z e. ( fi ` B ) ( x e. z /\ z C_ y ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> E. z e. ( fi ` B ) ( x e. z /\ z C_ y ) )
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( UFil ` X ) )
10		ufilfil 19480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( Fil ` X ) )
12	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> X = U. B )
14	9	elfvexd 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> X e. _V )
15	13, 14	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> U. B e. _V )
16		uniexb 6389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
17	15, 16	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> B e. _V )
18		elfi2 7667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. _V -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( z e. ( fi ` B ) <-> E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
21	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
22		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> -. x e. U. ( B \ F ) )
23		intss1 4146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. y -> |^| y C_ z )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> |^| y C_ z )
25		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> x e. |^| y )
26	24, 25	sseldd 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) -> x e. z )
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> x e. z )
28		eldifsn 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( y e. ( ~P B i^i Fin ) /\ y =/= (/) ) )
29	28	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P B i^i Fin ) )
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y e. ( ~P B i^i Fin ) )
31		elfpw 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( y C_ B /\ y e. Fin ) )
32	31	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) -> y C_ B )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y C_ B )
34	33	sselda 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) /\ z e. y ) -> z e. B )
35	34	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> z e. B )
36	35	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> ( z e. B /\ -. z e. F ) )
37		eldif 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( B \ F ) <-> ( z e. B /\ -. z e. F ) )
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> z e. ( B \ F ) )
39		elunii 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. z /\ z e. ( B \ F ) ) -> x e. U. ( B \ F ) )
40	27, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) /\ -. z e. F ) -> x e. U. ( B \ F ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> ( -. z e. F -> x e. U. ( B \ F ) ) )
42	22, 41	mt3d 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) /\ z e. y ) ) -> z e. F )
43	42	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> ( z e. y -> z e. F ) )
44	43	ssrdv 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y C_ F )
45	28	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
46	45	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y =/= (/) )
47	31	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ~P B i^i Fin ) -> y e. Fin )
48	30, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> y e. Fin )
49		elfir 7668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y C_ F /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| y e. ( fi ` F ) )
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> |^| y e. ( fi ` F ) )
51		filfi 19435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( fi ` F ) = F )
52	21, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> ( fi ` F ) = F )
53	50, 52	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ x e. |^| y ) ) -> |^| y e. F )
54	53	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x e. |^| y -> |^| y e. F ) )
55		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = |^| y -> ( x e. z <-> x e. |^| y ) )
56		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = |^| y -> ( z e. F <-> |^| y e. F ) )
57	55, 56	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = |^| y -> ( ( x e. z -> z e. F ) <-> ( x e. |^| y -> |^| y e. F ) ) )
58	54, 57	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
59	58	rexlimdva 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( E. y e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
60	20, 59	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> ( z e. ( fi ` B ) -> ( x e. z -> z e. F ) ) )
61	60	imp32 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ x e. z ) ) -> z e. F )
62	61	adantrrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z e. F )
63	62	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z e. F )
64		elssuni 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ U. J )
66		fibas 18585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( fi ` B ) e. TopBases
67		tgtopon 18579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) )
69	2, 68	syl6eqel 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
70		fiuni 7681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
71	17, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> U. B = U. ( fi ` B ) )
72	13, 71	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> X = U. ( fi ` B ) )
73	72	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` B ) ) )
74	69, 73	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
75		toponuni 18535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = U. J )
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> X = U. J )
78	65, 77	sseqtr4d 3396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y C_ X )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> y C_ X )
80		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ y )
81		filss 19429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( z e. F /\ y C_ X /\ z C_ y ) ) -> y e. F )
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) -> y e. F )
83	8, 82	rexlimddv 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ ( y e. J /\ x e. y ) ) -> y e. F )
84	83	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> y e. F ) )
85	84	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) )
86	85	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( -. x e. U. ( B \ F ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) )
87	86	imdistanda 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ -. x e. U. ( B \ F ) ) -> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
88	1, 87	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) -> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
89		flimopn 19551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
90	74, 11, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. F ) ) ) )
91	88, 90	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X \ U. ( B \ F ) ) -> x e. ( J fLim F ) ) )
92	91	ssrdv 3365	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X \ U. ( B \ F ) ) C_ ( J fLim F ) )
93		alexsub.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J fLim F ) = (/) )
94		sseq0 3672	. . . . . . 7 |- ( ( ( X \ U. ( B \ F ) ) C_ ( J fLim F ) /\ ( J fLim F ) = (/) ) -> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
95	92, 93, 94	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
96		ssdif0 3740	. . . . . 6 |- ( X C_ U. ( B \ F ) <-> ( X \ U. ( B \ F ) ) = (/) )
97	95, 96	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> X C_ U. ( B \ F ) )
98		difss 3486	. . . . . . 7 |- ( B \ F ) C_ B
99	98	unissi 4117	. . . . . 6 |- U. ( B \ F ) C_ U. B
100	99, 13	syl5sseqr 3408	. . . . 5 |- ( ph -> U. ( B \ F ) C_ X )
101	97, 100	eqssd 3376	. . . 4 |- ( ph -> X = U. ( B \ F ) )
102	101, 98	jctil 537	. . 3 |- ( ph -> ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) )
103		difexg 4443	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B \ F ) e. _V )
104	17, 103	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( B \ F ) e. _V )
105	104	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> ( B \ F ) e. _V )
106		sseq1 3380	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ( x C_ B <-> ( B \ F ) C_ B ) )
107		unieq 4102	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B \ F ) -> U. x = U. ( B \ F ) )
108	107	eqeq2d 2454	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ( X = U. x <-> X = U. ( B \ F ) ) )
109	106, 108	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( x C_ B /\ X = U. x ) <-> ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) )
110	109	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) <-> ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) ) )
111		pweq 3866	. . . . . . . 8 |- ( x = ( B \ F ) -> ~P x = ~P ( B \ F ) )
112	111	ineq1d 3554	. . . . . . 7 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) )
113	112	rexeqdv 2927	. . . . . 6 |- ( x = ( B \ F ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) )
114	110, 113	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( B \ F ) -> ( ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) ) )
115		alexsub.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x C_ B /\ X = U. x ) ) -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y )
116	114, 115	vtoclg 3033	. . . 4 |- ( ( B \ F ) e. _V -> ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y ) )
117	105, 116	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( B \ F ) C_ B /\ X = U. ( B \ F ) ) ) -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
118	102, 117	mpdan 668	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
119		unieq 4102	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
120		uni0 4121	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
121	119, 120	syl6eq 2491	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
122	121	neeq2d 2625	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( X =/= U. y <-> X =/= (/) ) )
123		difssd 3487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> ( X \ z ) C_ X )
124	123	ralrimivw 2803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> A. z e. y ( X \ z ) C_ X )
125		riinn0 4248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. y ( X \ z ) C_ X /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^|_ z e. y ( X \ z ) )
126	124, 125	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^|_ z e. y ( X \ z ) )
127	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X e. _V )
128		difexg 4443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. _V -> ( X \ z ) e. _V )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X \ z ) e. _V )
130	129	ralrimivw 2803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> A. z e. y ( X \ z ) e. _V )
131		dfiin2g 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. y ( X \ z ) e. _V -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } )
132	130, 131	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } )
133		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = ( z e. y |-> ( X \ z ) )
134	133	rnmpt 5088	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = { x | E. z e. y x = ( X \ z ) }
135	134	inteqi 4135	. . . . . . . . . 10 |- |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = |^| { x | E. z e. y x = ( X \ z ) }
136	132, 135	syl6eqr 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^|_ z e. y ( X \ z ) = |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) )
137	126, 136	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) )
138	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
139		elfpw 7616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( B \ F ) /\ y e. Fin ) )
140	139	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) -> y C_ ( B \ F ) )
141	140	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y C_ ( B \ F ) )
142	141	sselda 3359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z e. ( B \ F ) )
143	142	eldifbd 3344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> -. z e. F )
144	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> F e. ( UFil ` X ) )
145	141	difss2d 3489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y C_ B )
146	145	sselda 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z e. B )
147		elssuni 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> z C_ U. B )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z C_ U. B )
149	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> X = U. B )
150	148, 149	sseqtr4d 3396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> z C_ X )
151		ufilb 19482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ z C_ X ) -> ( -. z e. F <-> ( X \ z ) e. F ) )
152	144, 150, 151	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( -. z e. F <-> ( X \ z ) e. F ) )
153	143, 152	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( X \ z ) e. F )
154	153, 133	fmptd 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F )
155		frn 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F )
156	154, 155	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F )
157		fdm 5566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. y |-> ( X \ z ) ) : y --> F -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = y )
158	154, 157	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = y )
159		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y =/= (/) )
160	158, 159	eqnetrd 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
161		dm0rn0 5059	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = (/) <-> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) = (/) )
162	161	necon3bii 2643	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) <-> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
163	160, 162	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
164	139	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
165	164	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> y e. Fin )
166		abrexfi 7614	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin -> { x | E. z e. y x = ( X \ z ) } e. Fin )
167	134, 166	syl5eqel 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Fin -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin )
168	165, 167	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin )
169		filintn0 19437	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) C_ F /\ ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) e. Fin ) ) -> |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
170	138, 156, 163, 168, 169	syl13anc 1220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> |^| ran ( z e. y |-> ( X \ z ) ) =/= (/) )
171	137, 170	eqnetrd 2629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) =/= (/) )
172		disj3 3726	. . . . . . . 8 |- ( ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = (/) <-> X = ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
173	172	necon3bii 2643	. . . . . . 7 |- ( ( X i^i |^|_ z e. y ( X \ z ) ) =/= (/) <-> X =/= ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
174	171, 173	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X =/= ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) )
175		iundif2 4240	. . . . . . 7 |- U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) )
176		dfss4 3587	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
177	150, 176	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) /\ z e. y ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
178	177	iuneq2dv 4195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = U_ z e. y z )
179		uniiun 4226	. . . . . . . 8 |- U. y = U_ z e. y z
180	178, 179	syl6eqr 2493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> U_ z e. y ( X \ ( X \ z ) ) = U. y )
181	175, 180	syl5eqr 2489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> ( X \ |^|_ z e. y ( X \ z ) ) = U. y )
182	174, 181	neeqtrd 2633	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) /\ y =/= (/) ) -> X =/= U. y )
183	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
184		filtop 19431	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
185		fileln0 19426	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ X e. F ) -> X =/= (/) )
186	184, 185	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X =/= (/) )
187	183, 186	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> X =/= (/) )
188	122, 182, 187	pm2.61ne 2689	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> X =/= U. y )
189	188	neneqd 2627	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) ) -> -. X = U. y )
190	189	nrexdv 2822	. 2 |- ( ph -> -. E. y e. ( ~P ( B \ F ) i^i Fin ) X = U. y )
191	118, 190	pm2.65i 173	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   \ cdif 3328   i^i cin 3330   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   U.cuni 4094   |^|cint 4131   U_ciun 4174   |^|_ciin 4175   e. cmpt 4353   dom cdm 4843   ran crn 4844   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   ficfi 7663   topGenctg 14379  TopOnctopon 18502   TopBasesctb 18505   Filcfil 19421   UFilcufil 19475  UFLcufl 19476   fLim cflim 19510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-fin 7317  df-fi 7664  df-topgen 14385  df-fbas 17817  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-ntr 18627  df-nei 18705  df-fil 19422  df-ufil 19477  df-flim 19515

This theorem is referenced by:  alexsub  19620