Theorem alexsubb 19618

Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 19617. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alexsubb	|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, X, y

Proof of Theorem alexsubb

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( topGen ` ( fi ` B ) )
2	1	iscmp 18991	. . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Top /\ A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
3	2	simprbi 464	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
4		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. B )
5		elex 2981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. UFL -> X e. _V )
6	5	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X e. _V )
7	4, 6	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B e. _V )
8		uniexb 6386	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B e. _V )
10		fiuni 7678	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B = U. ( fi ` B ) )
12		fibas 18582	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` B ) e. TopBases
13		unitg 18572	. . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
14	12, 13	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
15	11, 4, 14	3eqtr4d 2485	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
16	15	eqeq1d 2451	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. x <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x ) )
17	15	eqeq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. y <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
18	17	rexbidv 2736	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
20	19	ralbidv 2735	. . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
21		ssfii 7669	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> B C_ ( fi ` B ) )
22	9, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( fi ` B ) )
23		bastg 18571	. . . . . . . 8 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
24	12, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) )
25	22, 24	syl6ss 3368	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
26		sspwb 4541	. . . . . 6 |- ( B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) <-> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
28		ssralv 3416	. . . . 5 |- ( ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
29	27, 28	syl 16	. . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
30	20, 29	sylbird 235	. . 3 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
31	3, 30	syl5 32	. 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
32		simpll 753	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X e. UFL )
33		simplr 754	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X = U. B )
34		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
35		selpw 3867	. . . . . . 7 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
36		unieq 4099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> U. x = U. z )
37	36	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( X = U. x <-> X = U. z ) )
38		pweq 3863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ~P x = ~P z )
39	38	ineq1d 3551	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P z i^i Fin ) )
40	39	rexeqdv 2924	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) )
41	37, 40	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
42	41	rspccv 3070	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
44	35, 43	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z C_ B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
45	44	imp32 433	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y )
46		unieq 4099	. . . . . . 7 |- ( y = w -> U. y = U. w )
47	46	eqeq2d 2454	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( X = U. y <-> X = U. w ) )
48	47	cbvrexv 2948	. . . . 5 |- ( E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y <-> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
49	45, 48	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
50	32, 33, 34, 49	alexsub 19617	. . 3 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp )
51	50	ex 434	. 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp ) )
52	31, 51	impbid 191	1 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   ` cfv 5418   Fincfn 7310   ficfi 7660   topGenctg 14376   Topctop 18498   TopBasesctb 18502   Compccmp 18989  UFLcufl 19473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-topgen 14382  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cmp 18990  df-fil 19419  df-ufil 19474  df-ufl 19475  df-flim 19512  df-fcls 19514

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