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Theorem alexsubb 19577
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 19576. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, X, y

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )
21iscmp 18950 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  B ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Top  /\  A. x  e.  ~P  ( topGen `
 ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. y ) ) )
32simprbi 461 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  B ) )  e. 
Comp  ->  A. x  e.  ~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. y ) )
4 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  =  U. B )
5 elex 2979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e. UFL  ->  X  e.  _V )
65adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  e.  _V )
74, 6eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. B  e.  _V )
8 uniexb 6385 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  e.  _V )
10 fiuni 7674 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
12 fibas 18541 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  B )  e.  TopBases
13 unitg 18531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. ( fi
`  B ) )
1412, 13mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. ( fi `  B ) )
1511, 4, 143eqtr4d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  =  U. ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
1615eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( X  =  U. x 
<-> 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x ) )
1715eqeq1d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( X  =  U. y 
<-> 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y ) )
1817rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y  <->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. y ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )  <->  ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. y ) ) )
2019ralbidv 2733 . . . 4  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  <->  A. x  e.  ~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B
) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y ) ) )
21 ssfii 7665 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
229, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( fi `  B ) )
23 bastg 18530 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  ( fi `  B )  C_  ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  B ) )
2522, 24syl6ss 3365 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( topGen `  ( fi `  B ) ) )
26 sspwb 4538 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  ( fi `  B ) )  <->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
2725, 26sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
28 ssralv 3413 . . . . 5  |-  ( ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
3020, 29sylbird 235 . . 3  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B
) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
313, 30syl5 32 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
32 simpll 748 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  X  e. UFL )
33 simplr 749 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  X  =  U. B )
34 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  B ) )  =  ( topGen `  ( fi `  B ) ) )
35 selpw 3864 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~P B  <->  z  C_  B )
36 unieq 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
3736eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( X  =  U. x  <->  X  =  U. z ) )
38 pweq 3860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ~P x  =  ~P z
)
3938ineq1d 3548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( ~P x  i^i  Fin )  =  ( ~P z  i^i  Fin ) )
4039rexeqdv 2922 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )
4137, 40imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  <->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
4241rspccv 3067 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  (
z  e.  ~P B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4342adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  (
z  e.  ~P B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4435, 43syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  (
z  C_  B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4544imp32 433 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y ) )  /\  ( z  C_  B  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y
)
46 unieq 4096 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  U. y  =  U. w )
4746eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. w ) )
4847cbvrexv 2946 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. w  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. w
)
4945, 48sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y ) )  /\  ( z  C_  B  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. w  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. w
)
5032, 33, 34, 49alexsub 19576 . . 3  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  B ) )  e. 
Comp )
5150ex 434 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
)  ->  ( topGen `  ( fi `  B
) )  e.  Comp ) )
5231, 51impbid 191 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   ` cfv 5415   Fincfn 7306   ficfi 7656   topGenctg 14372   Topctop 18457   TopBasesctb 18461   Compccmp 18948  UFLcufl 19432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-cmp 18949  df-fil 19378  df-ufil 19433  df-ufl 19434  df-flim 19471  df-fcls 19473
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