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Theorem alexsubb 21139
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 21138. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, X, y
Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( topGen ` ( fi ` B ) )
21iscmp 20480 . . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Top /\ A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
32simprbi 471 . . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
4 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. B )
5 elex 3040 . . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. UFL -> X e. _V )
65adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X e. _V )
74, 6eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B e. _V )
8 uniexb 6620 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
97, 8sylibr 217 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B e. _V )
10 fiuni 7960 . . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B = U. ( fi ` B ) )
12 fibas 20070 . . . . . . . . 9 |- ( fi ` B ) e. TopBases
13 unitg 20059 . . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
1511, 4, 143eqtr4d 2515 . . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
1615eqeq1d 2473 . . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. x <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x ) )
1715eqeq1d 2473 . . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. y <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
1817rexbidv 2892 . . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
1916, 18imbi12d 327 . . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
2019ralbidv 2829 . . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
21 ssfii 7951 . . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> B C_ ( fi ` B ) )
229, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( fi ` B ) )
23 bastg 20058 . . . . . . . 8 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) )
2522, 24syl6ss 3430 . . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
26 sspwb 4649 . . . . . 6 |- ( B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) <-> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
2725, 26sylib 201 . . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
28 ssralv 3479 . . . . 5 |- ( ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
2927, 28syl 17 . . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
3020, 29sylbird 243 . . 3 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
313, 30syl5 32 . 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
32 simpll 768 . . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X e. UFL )
33 simplr 770 . . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X = U. B )
34 eqidd 2472 . . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
35 selpw 3949 . . . . . . 7 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
36 unieq 4198 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> U. x = U. z )
3736eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( X = U. x <-> X = U. z ) )
38 pweq 3945 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ~P x = ~P z )
3938ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P z i^i Fin ) )
4039rexeqdv 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) )
4137, 40imbi12d 327 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
4241rspccv 3133 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
4342adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
4435, 43syl5bir 226 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z C_ B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
4544imp32 440 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y )
46 unieq 4198 . . . . . . 7 |- ( y = w -> U. y = U. w )
4746eqeq2d 2481 . . . . . 6 |- ( y = w -> ( X = U. y <-> X = U. w ) )
4847cbvrexv 3006 . . . . 5 |- ( E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y <-> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
4945, 48sylib 201 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
5032, 33, 34, 49alexsub 21138 . . 3 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp )
5150ex 441 . 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp ) )
5231, 51impbid 195 1 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Fincfn 7587   ficfi 7942   topGenctg 15414   Topctop 19994   TopBasesctb 19997   Compccmp 20478  UFLcufl 20993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cmp 20479  df-fil 20939  df-ufil 20994  df-ufl 20995  df-flim 21032  df-fcls 21034
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