Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem alexsubb 21139
 Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 21138. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb UFL
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5
21iscmp 20480 . . . 4
32simprbi 471 . . 3
4 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 UFL
5 elex 3040 . . . . . . . . . . . 12 UFL
65adantr 472 . . . . . . . . . . 11 UFL
74, 6eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10 UFL
8 uniexb 6620 . . . . . . . . . 10
97, 8sylibr 217 . . . . . . . . 9 UFL
10 fiuni 7960 . . . . . . . . 9
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 UFL
12 fibas 20070 . . . . . . . . 9
13 unitg 20059 . . . . . . . . 9
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 UFL
1511, 4, 143eqtr4d 2515 . . . . . . 7 UFL
1615eqeq1d 2473 . . . . . 6 UFL
1715eqeq1d 2473 . . . . . . 7 UFL
1817rexbidv 2892 . . . . . 6 UFL
1916, 18imbi12d 327 . . . . 5 UFL
2019ralbidv 2829 . . . 4 UFL
21 ssfii 7951 . . . . . . . 8
229, 21syl 17 . . . . . . 7 UFL
23 bastg 20058 . . . . . . . 8
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7
2522, 24syl6ss 3430 . . . . . 6 UFL
26 sspwb 4649 . . . . . 6
2725, 26sylib 201 . . . . 5 UFL
28 ssralv 3479 . . . . 5
2927, 28syl 17 . . . 4 UFL
3020, 29sylbird 243 . . 3 UFL
313, 30syl5 32 . 2 UFL
32 simpll 768 . . . 4 UFL UFL
33 simplr 770 . . . 4 UFL
34 eqidd 2472 . . . 4 UFL
35 selpw 3949 . . . . . . 7
36 unieq 4198 . . . . . . . . . . 11
3736eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10
38 pweq 3945 . . . . . . . . . . . 12
3938ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11
4039rexeqdv 2980 . . . . . . . . . 10
4137, 40imbi12d 327 . . . . . . . . 9
4241rspccv 3133 . . . . . . . 8
4342adantl 473 . . . . . . 7 UFL
4435, 43syl5bir 226 . . . . . 6 UFL
4544imp32 440 . . . . 5 UFL
46 unieq 4198 . . . . . . 7
4746eqeq2d 2481 . . . . . 6
4847cbvrexv 3006 . . . . 5
4945, 48sylib 201 . . . 4 UFL
5032, 33, 34, 49alexsub 21138 . . 3 UFL
5150ex 441 . 2 UFL
5231, 51impbid 195 1 UFL
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190  cfv 5589  cfn 7587  cfi 7942  ctg 15414  ctop 19994  ctb 19997  ccmp 20478  UFLcufl 20993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cmp 20479  df-fil 20939  df-ufil 20994  df-ufl 20995  df-flim 21032  df-fcls 21034 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator