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Theorem alexsubb 20992
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 20991. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, X, y

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )
21iscmp 20334 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  B ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Top  /\  A. x  e.  ~P  ( topGen `
 ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. y ) ) )
32simprbi 465 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  B ) )  e. 
Comp  ->  A. x  e.  ~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. y ) )
4 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  =  U. B )
5 elex 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e. UFL  ->  X  e.  _V )
65adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  e.  _V )
74, 6eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. B  e.  _V )
8 uniexb 6615 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
97, 8sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  e.  _V )
10 fiuni 7948 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. B  =  U. ( fi `  B ) )
12 fibas 19924 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  B )  e.  TopBases
13 unitg 19913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. ( fi
`  B ) )
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. ( fi `  B ) )
1511, 4, 143eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  X  =  U. ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
1615eqeq1d 2431 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( X  =  U. x 
<-> 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. x ) )
1715eqeq1d 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( X  =  U. y 
<-> 
U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y ) )
1817rexbidv 2946 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y  <->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. y ) )
1916, 18imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y )  <->  ( U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) U. ( topGen `
 ( fi `  B ) )  = 
U. y ) ) )
2019ralbidv 2871 . . . 4  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  <->  A. x  e.  ~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B
) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y ) ) )
21 ssfii 7939 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
229, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( fi `  B ) )
23 bastg 19912 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  B )  e.  TopBases  ->  ( fi `  B )  C_  ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  B ) )
2522, 24syl6ss 3482 . . . . . 6  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  B  C_  ( topGen `  ( fi `  B ) ) )
26 sspwb 4671 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  ( fi `  B ) )  <->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
2725, 26sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  ->  ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) ) )
28 ssralv 3531 . . . . 5  |-  ( ~P B  C_  ~P ( topGen `
 ( fi `  B ) )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
2927, 28syl 17 . . . 4  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
3020, 29sylbird 238 . . 3  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  ( topGen `  ( fi `  B ) ) ( U. ( topGen `  ( fi `  B
) )  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) U. ( topGen `  ( fi `  B ) )  =  U. y )  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
313, 30syl5 33 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  ->  A. x  e.  ~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) ) )
32 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  X  e. UFL )
33 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  X  =  U. B )
34 eqidd 2430 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  B ) )  =  ( topGen `  ( fi `  B ) ) )
35 selpw 3992 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~P B  <->  z  C_  B )
36 unieq 4230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
3736eqeq2d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( X  =  U. x  <->  X  =  U. z ) )
38 pweq 3988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ~P x  =  ~P z
)
3938ineq1d 3669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( ~P x  i^i  Fin )  =  ( ~P z  i^i  Fin ) )
4039rexeqdv 3039 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )
4137, 40imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  <->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
4241rspccv 3185 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y )  ->  (
z  e.  ~P B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4342adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  (
z  e.  ~P B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4435, 43syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  (
z  C_  B  ->  ( X  =  U. z  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y ) ) )
4544imp32 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y ) )  /\  ( z  C_  B  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y
)
46 unieq 4230 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  U. y  =  U. w )
4746eqeq2d 2443 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. w ) )
4847cbvrexv 3063 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. y  <->  E. w  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. w
)
4945, 48sylib 199 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e.  ~P  B
( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y ) )  /\  ( z  C_  B  /\  X  =  U. z ) )  ->  E. w  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) X  =  U. w
)
5032, 33, 34, 49alexsub 20991 . . 3  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  /\  A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  B ) )  e. 
Comp )
5150ex 435 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( A. x  e. 
~P  B ( X  =  U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i  Fin ) X  =  U. y
)  ->  ( topGen `  ( fi `  B
) )  e.  Comp ) )
5231, 51impbid 193 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  X  =  U. B )  -> 
( ( topGen `  ( fi `  B ) )  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  B ( X  = 
U. x  ->  E. y  e.  ( ~P x  i^i 
Fin ) X  = 
U. y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Fincfn 7577   ficfi 7930   topGenctg 15295   Topctop 19848   TopBasesctb 19851   Compccmp 20332  UFLcufl 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-topgen 15301  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cmp 20333  df-fil 20792  df-ufil 20847  df-ufl 20848  df-flim 20885  df-fcls 20887
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