Theorem alexsubb 20992

Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 20991. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alexsubb	|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, X, y

Proof of Theorem alexsubb

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2429	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( topGen ` ( fi ` B ) )
2	1	iscmp 20334	. . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Top /\ A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
3	2	simprbi 465	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
4		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. B )
5		elex 3096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. UFL -> X e. _V )
6	5	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X e. _V )
7	4, 6	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B e. _V )
8		uniexb 6615	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
9	7, 8	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B e. _V )
10		fiuni 7948	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B = U. ( fi ` B ) )
12		fibas 19924	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` B ) e. TopBases
13		unitg 19913	. . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
15	11, 4, 14	3eqtr4d 2480	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
16	15	eqeq1d 2431	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. x <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x ) )
17	15	eqeq1d 2431	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. y <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
18	17	rexbidv 2946	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
19	16, 18	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
20	19	ralbidv 2871	. . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
21		ssfii 7939	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> B C_ ( fi ` B ) )
22	9, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( fi ` B ) )
23		bastg 19912	. . . . . . . 8 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
24	12, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) )
25	22, 24	syl6ss 3482	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
26		sspwb 4671	. . . . . 6 |- ( B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) <-> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
27	25, 26	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
28		ssralv 3531	. . . . 5 |- ( ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
30	20, 29	sylbird 238	. . 3 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
31	3, 30	syl5 33	. 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
32		simpll 758	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X e. UFL )
33		simplr 760	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X = U. B )
34		eqidd 2430	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
35		selpw 3992	. . . . . . 7 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
36		unieq 4230	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> U. x = U. z )
37	36	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( X = U. x <-> X = U. z ) )
38		pweq 3988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ~P x = ~P z )
39	38	ineq1d 3669	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P z i^i Fin ) )
40	39	rexeqdv 3039	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) )
41	37, 40	imbi12d 321	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
42	41	rspccv 3185	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
43	42	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
44	35, 43	syl5bir 221	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z C_ B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
45	44	imp32 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y )
46		unieq 4230	. . . . . . 7 |- ( y = w -> U. y = U. w )
47	46	eqeq2d 2443	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( X = U. y <-> X = U. w ) )
48	47	cbvrexv 3063	. . . . 5 |- ( E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y <-> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
49	45, 48	sylib 199	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
50	32, 33, 34, 49	alexsub 20991	. . 3 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp )
51	50	ex 435	. 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp ) )
52	31, 51	impbid 193	1 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   i^i cin 3441   C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Fincfn 7577   ficfi 7930   topGenctg 15295   Topctop 19848   TopBasesctb 19851   Compccmp 20332  UFLcufl 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-topgen 15301  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cmp 20333  df-fil 20792  df-ufil 20847  df-ufl 20848  df-flim 20885  df-fcls 20887

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