Theorem alexsubb 19577

Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 19576. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alexsubb	|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, X, y

Proof of Theorem alexsubb

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( topGen ` ( fi ` B ) )
2	1	iscmp 18950	. . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Top /\ A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
3	2	simprbi 461	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
4		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. B )
5		elex 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. UFL -> X e. _V )
6	5	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X e. _V )
7	4, 6	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B e. _V )
8		uniexb 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B e. _V )
10		fiuni 7674	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B = U. ( fi ` B ) )
12		fibas 18541	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` B ) e. TopBases
13		unitg 18531	. . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
14	12, 13	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) )
15	11, 4, 14	3eqtr4d 2483	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
16	15	eqeq1d 2449	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. x <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x ) )
17	15	eqeq1d 2449	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. y <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
18	17	rexbidv 2734	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) )
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
20	19	ralbidv 2733	. . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) )
21		ssfii 7665	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V -> B C_ ( fi ` B ) )
22	9, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( fi ` B ) )
23		bastg 18530	. . . . . . . 8 |- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
24	12, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) )
25	22, 24	syl6ss 3365	. . . . . 6 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
26		sspwb 4538	. . . . . 6 |- ( B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) <-> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
28		ssralv 3413	. . . . 5 |- ( ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
29	27, 28	syl 16	. . . 4 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
30	20, 29	sylbird 235	. . 3 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
31	3, 30	syl5 32	. 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )
32		simpll 748	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X e. UFL )
33		simplr 749	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X = U. B )
34		eqidd 2442	. . . 4 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
35		selpw 3864	. . . . . . 7 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
36		unieq 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> U. x = U. z )
37	36	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( X = U. x <-> X = U. z ) )
38		pweq 3860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ~P x = ~P z )
39	38	ineq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P z i^i Fin ) )
40	39	rexeqdv 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) )
41	37, 40	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
42	41	rspccv 3067	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
43	42	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
44	35, 43	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z C_ B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) )
45	44	imp32 433	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y )
46		unieq 4096	. . . . . . 7 |- ( y = w -> U. y = U. w )
47	46	eqeq2d 2452	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( X = U. y <-> X = U. w ) )
48	47	cbvrexv 2946	. . . . 5 |- ( E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y <-> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
49	45, 48	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w )
50	32, 33, 34, 49	alexsub 19576	. . 3 |- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp )
51	50	ex 434	. 2 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp ) )
52	31, 51	impbid 191	1 |- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   ` cfv 5415   Fincfn 7306   ficfi 7656   topGenctg 14372   Topctop 18457   TopBasesctb 18461   Compccmp 18948  UFLcufl 19432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-cmp 18949  df-fil 19378  df-ufil 19433  df-ufl 19434  df-flim 19471  df-fcls 19473

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