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Theorem alexsubALTlem2 21075
Description: Lemma for alexsubALT 21078. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, u, v, x, z, J    X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2
Dummy variables  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
2 elun 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/)
} ) )
3 sseq2 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
a  C_  z  <->  a  C_  w ) )
4 pweq 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  ~P z  =  ~P w
)
54ineq1d 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P w  i^i  Fin ) )
65raleqdv 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b 
<-> 
A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
73, 6anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
87elrab 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
9 elsn 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { (/) }  <->  w  =  (/) )
108, 9orbi12i 524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/) } )  <-> 
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
112, 10bitri 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( (
w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
12 elpwi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
14 0ss 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  C_  ( fi `  x )
15 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  ( fi `  x )  <->  (/)  C_  ( fi `  x ) ) )
1614, 15mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1713, 16jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1811, 17sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  w  C_  ( fi `  x
) )
191, 18syl6 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  C_  ( fi `  x ) ) )
2019ralrimiv 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
21 unissb 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  ( fi `  x )  <->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
2220, 21sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2322adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2423ad2antlr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  C_  ( fi
`  x ) )
25 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2625uniex 6592 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
2726elpw 3959 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  <->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2824, 27sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  e.  ~P ( fi `  x ) )
29 uni0b 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  (/)  <->  y  C_  {
(/) } )
3029notbii 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  y  C_  { (/) } )
31 disjssun 3824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  y  C_  {
(/) } ) )
3231biimpcd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  y  C_  {
(/) } ) )
3332necon3bd 2640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/) ) )
34 n0 3743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
35 elin 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e. 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
368anbi2i 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <-> 
( w  e.  y  /\  ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
3735, 36bitri 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
38 simprrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  w )
39 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  w  e.  y )
40 ssuni 4223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  w  /\  w  e.  y )  ->  a  C_  U. y
)
4138, 39, 40syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  U. y )
4237, 41sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y )
4342exlimiv 1778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y
)
4434, 43sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  ->  a  C_  U. y )
4533, 44syl6 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  a  C_  U. y
) )
4645ad2antrl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  a  C_  U. y
) )
4730, 46syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  a  C_  U. y
) )
4847imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
a  C_  U. y
)
49 elfpw 7881 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  <->  ( n  C_ 
U. y  /\  n  e.  Fin ) )
50 unieq 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
51 uni0 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (/)  =  (/)
5250, 51syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
5352necon3bi 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  ->  y  =/=  (/) )
5554ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  y  =/=  (/) )
56 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  -> [ C.]  Or  y )
57 simprlr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  e.  Fin )
58 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  C_  U. y
)
59 finsschain 7886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  /\  ( n  e.  Fin  /\  n  C_  U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
6160expr 620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( n  C_ 
U. y  ->  E. w  e.  y  n  C_  w
) )
62 0elpw 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P a
63 0fin 7804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  Fin
64 elin 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P a  /\  (/)  e.  Fin )
)
6562, 63, 64mpbir2an 932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
66 unieq 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  U. (/) )
6766eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  (/)  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. (/) ) )
6867notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. b  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
6968rspccv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. (/) ) )
7065, 69mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  -.  X  =  U. (/) )
71 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  n  e. 
_V
7271elpw 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  ~P w  <->  n  C_  w
)
73 elin 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  <->  ( n  e.  ~P w  /\  n  e.  Fin ) )
74 unieq 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  n  ->  U. b  =  U. n )
7574eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  n  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. n ) )
7675notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  n  ->  ( -.  X  =  U. b 
<->  -.  X  =  U. n ) )
7776rspccv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. n ) )
7873, 77syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( ( n  e. 
~P w  /\  n  e.  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
7978expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ~P w  ->  ( n  e. 
Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8072, 79syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8180com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8281ad2antll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  ( n  e. 
Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
84 sseq2 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  <->  n  C_  (/) ) )
85 ss0 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n 
C_  (/)  ->  n  =  (/) )
8684, 85syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  ->  n  =  (/) ) )
87 unieq 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  (/)  ->  U. n  =  U. (/) )
8887eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  (/)  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. (/) ) )
8988notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. n  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
9089biimprcd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  -.  X  =  U. n
) )
9190a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) )
9286, 91syl9r 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9392com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9483, 93jaod 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
9511, 94syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
961, 95sylan9r 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  e.  Fin  ->  (
n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9796com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9870, 97sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  /\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9998ad2ant2lr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  -> 
( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
10099imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  n  e.  Fin )  ->  (
w  e.  y  -> 
( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
101100adantrl 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) )
102101rexlimdv 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( E. w  e.  y  n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) )
10361, 102syld 45 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( n  C_ 
U. y  ->  -.  X  =  U. n
) )
104103expr 620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  U. y  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
105104com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( n  C_  U. y  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
106105impd 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( ( n  C_  U. y  /\  n  e. 
Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
10749, 106syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( n  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
108107ralrimiv 2802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n )
109 unieq 4209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  b  ->  U. n  =  U. b )
110109eqeq2d 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  b  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. b ) )
111110notbid 296 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  b  ->  ( -.  X  =  U. n 
<->  -.  X  =  U. b ) )
112111cbvralv 3021 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n 
<-> 
A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )
113108, 112sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )
11428, 48, 113jca32 538 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
115114ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
116 orcom 389 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e. 
{ (/) } ) )
11726elsnc 3994 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { (/) }  <->  U. y  =  (/) )
118 sseq2 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( a  C_  z  <->  a 
C_  U. y ) )
119 pweq 3956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. y  ->  ~P z  =  ~P U. y )
120119ineq1d 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ~P z  i^i 
Fin )  =  ( ~P U. y  i^i 
Fin ) )
121120raleqdv 2995 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b  <->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
122118, 121anbi12d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_ 
U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
123122elrab 3198 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
124117, 123orbi12i 524 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
125 df-or 372 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
126124, 125bitr2i 254 . . . . . 6  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( U. y  e.  { (/) }  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
127 elun 3576 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e.  { (/) } ) )
128116, 126, 1273bitr4i 281 . . . . 5  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  U. y  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )
129115, 128sylib 200 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) )
130129ex 436 . . 3  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  (
( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
131130alrimiv 1775 . 2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  A. y
( ( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
132 fvex 5880 . . . . . 6  |-  ( fi
`  x )  e. 
_V
133132pwex 4589 . . . . 5  |-  ~P ( fi `  x )  e. 
_V
134133rabex 4557 . . . 4  |-  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  e.  _V
135 p0ex 4593 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
136134, 135unex 6594 . . 3  |-  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  e.  _V
137136zorn 8942 . 2  |-  ( A. y ( ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) )  ->  E. u  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) A. v  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  -.  u  C.  v
)
138131, 137syl 17 1  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986   A.wal 1444    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406    C. wpss 3407   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970   U.cuni 4201    Or wor 4757   ` cfv 5585   [ C.] crpss 6575   Fincfn 7574   ficfi 7929   topGenctg 15348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-ac2 8898
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-rpss 6576  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-card 8378  df-ac 8552
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