MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubALTlem2 Structured version   Unicode version

Theorem alexsubALTlem2 20276
Description: Lemma for alexsubALT 20279. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, u, v, x, z, J    X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2
Dummy variables  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
2 elun 3638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/)
} ) )
3 sseq2 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
a  C_  z  <->  a  C_  w ) )
4 pweq 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  ~P z  =  ~P w
)
54ineq1d 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P w  i^i  Fin ) )
65raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b 
<-> 
A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
73, 6anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
87elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
9 elsn 4034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { (/) }  <->  w  =  (/) )
108, 9orbi12i 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/) } )  <-> 
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
112, 10bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( (
w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
12 elpwi 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
14 0ss 3807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  C_  ( fi `  x )
15 sseq1 3518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  ( fi `  x )  <->  (/)  C_  ( fi `  x ) ) )
1614, 15mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1713, 16jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1811, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  w  C_  ( fi `  x
) )
191, 18syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  C_  ( fi `  x ) ) )
2019ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
21 unissb 4270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  ( fi `  x )  <->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y )  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  C_  ( fi `  x ) )
25 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2625uniex 6571 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
2726elpw 4009 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  <->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2824, 27sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  e.  ~P ( fi `  x ) )
29 uni0b 4263 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  (/)  <->  y  C_  {
(/) } )
3029notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  y  C_  { (/) } )
31 disjssun 3877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  y  C_  {
(/) } ) )
3231biimpcd 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  y  C_  {
(/) } ) )
3332necon3bd 2672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/) ) )
34 n0 3787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
35 elin 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e. 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
368anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <-> 
( w  e.  y  /\  ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
3735, 36bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
38 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  w )
39 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  w  e.  y )
40 ssuni 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  w  /\  w  e.  y )  ->  a  C_  U. y
)
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  U. y )
4237, 41sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y )
4342exlimiv 1693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y
)
4434, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  ->  a  C_  U. y )
4533, 44syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  a  C_  U. y
) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( -.  y  C_  {
(/) }  ->  a  C_  U. y ) )
4730, 46syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( -.  U. y  =  (/)  ->  a  C_  U. y ) )
4847imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  a  C_  U. y
)
49 elfpw 7811 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  <->  ( n  C_ 
U. y  /\  n  e.  Fin ) )
50 unieq 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
51 uni0 4265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (/)  =  (/)
5250, 51syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
5352necon3bi 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  ->  y  =/=  (/) )
5554ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  y  =/=  (/) )
56 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  -> [ C.]  Or  y
)
57 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  e.  Fin )
58 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  C_  U. y
)
59 finsschain 7816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  /\  (
n  e.  Fin  /\  n  C_  U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w
)
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
6160expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( n  C_  U. y  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
)
62 0elpw 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P a
63 0fin 7737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  Fin
64 elin 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P a  /\  (/)  e.  Fin )
)
6562, 63, 64mpbir2an 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
66 unieq 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  U. (/) )
6766eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  (/)  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. (/) ) )
6867notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. b  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
6968rspccv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. (/) ) )
7065, 69mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  -.  X  =  U. (/) )
71 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  n  e. 
_V
7271elpw 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  ~P w  <->  n  C_  w
)
73 elin 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  <->  ( n  e.  ~P w  /\  n  e.  Fin ) )
74 unieq 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  n  ->  U. b  =  U. n )
7574eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  n  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. n ) )
7675notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  n  ->  ( -.  X  =  U. b 
<->  -.  X  =  U. n ) )
7776rspccv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. n ) )
7873, 77syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( ( n  e. 
~P w  /\  n  e.  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
7978expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ~P w  ->  ( n  e. 
Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8072, 79syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8281ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  ( n  e. 
Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
84 sseq2 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  <->  n  C_  (/) ) )
85 ss0 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n 
C_  (/)  ->  n  =  (/) )
8684, 85syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  ->  n  =  (/) ) )
87 unieq 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  (/)  ->  U. n  =  U. (/) )
8887eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  (/)  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. (/) ) )
8988notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. n  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
9089biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  -.  X  =  U. n
) )
9190a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) )
9286, 91syl9r 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9392com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9483, 93jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
9511, 94syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
961, 95sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  e.  Fin  ->  (
n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9796com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9870, 97sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  /\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9998ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  n  e.  Fin )  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
101100adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( w  e.  y  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
102101rexlimdv 2946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( E. w  e.  y  n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) )
10361, 102syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin ) )  -> 
( n  C_  U. y  ->  -.  X  =  U. n ) )
104103expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( n  e. 
Fin  ->  ( n  C_  U. y  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
105104com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( n  C_  U. y  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
106105impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( ( n 
C_  U. y  /\  n  e.  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
10749, 106syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
108107ralrimiv 2869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. n  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. n )
109 unieq 4246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  b  ->  U. n  =  U. b )
110109eqeq2d 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  b  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. b ) )
111110notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  b  ->  ( -.  X  =  U. n 
<->  -.  X  =  U. b ) )
112111cbvralv 3081 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n 
<-> 
A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )
113108, 112sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )
11428, 48, 113jca32 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
115114ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  -> 
( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
116 orcom 387 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e. 
{ (/) } ) )
11726elsnc 4044 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { (/) }  <->  U. y  =  (/) )
118 sseq2 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( a  C_  z  <->  a 
C_  U. y ) )
119 pweq 4006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. y  ->  ~P z  =  ~P U. y )
120119ineq1d 3692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ~P z  i^i 
Fin )  =  ( ~P U. y  i^i 
Fin ) )
121120raleqdv 3057 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b  <->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
122118, 121anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_ 
U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
123122elrab 3254 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
124117, 123orbi12i 521 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
125 df-or 370 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
126124, 125bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( U. y  e.  { (/) }  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
127 elun 3638 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e.  { (/) } ) )
128116, 126, 1273bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  U. y  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )
129115, 128sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y ) )  ->  U. y  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )
130129ex 434 . . 3  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  (
( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
131130alrimiv 1690 . 2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  A. y
( ( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
132 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( fi
`  x )  e. 
_V
133132pwex 4623 . . . . 5  |-  ~P ( fi `  x )  e. 
_V
134133rabex 4591 . . . 4  |-  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  e.  _V
135 p0ex 4627 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
136134, 135unex 6573 . . 3  |-  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  e.  _V
137136zorn 8876 . 2  |-  ( A. y ( ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y )  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) )  ->  E. u  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) A. v  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  -.  u  C.  v
)
138131, 137syl 16 1  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469    C. wpss 3470   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238    Or wor 4792   ` cfv 5579   [ C.] crpss 6554   Fincfn 7506   ficfi 7859   topGenctg 14682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-ac2 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-rpss 6555  df-om 6672  df-recs 7032  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510  df-card 8309  df-ac 8486
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  20278
  Copyright terms: Public domain W3C validator