Theorem alexsubALTlem2 20717

Description: Lemma for alexsubALT 20720. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
alexsubALT.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
alexsubALTlem2	|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, u, v, x, z, J   X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2

Dummy variables n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
2		elun 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) )
3		sseq2 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( a C_ z <-> a C_ w ) )
4		pweq 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ~P z = ~P w )
5	4	ineq1d 3685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P w i^i Fin ) )
6	5	raleqdv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) )
7	3, 6	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
8	7	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
9		elsn 4030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } <-> w = (/) )
10	8, 9	orbi12i 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
11	2, 10	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
12		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ~P ( fi ` x ) -> w C_ ( fi ` x ) )
13	12	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
14		0ss 3813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) C_ ( fi ` x )
15		sseq1 3510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w C_ ( fi ` x ) <-> (/) C_ ( fi ` x ) ) )
16	14, 15	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> w C_ ( fi ` x ) )
17	13, 16	jaoi 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
18	11, 17	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> w C_ ( fi ` x ) )
19	1, 18	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w C_ ( fi ` x ) ) )
20	19	ralrimiv 2866	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
21		unissb 4266	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. y C_ ( fi ` x ) <-> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
22	20, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
23	22	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
24	23	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
25		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
26	25	uniex 6569	. . . . . . . . 9 |- U. y e. _V
27	26	elpw 4005	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. ~P ( fi ` x ) <-> U. y C_ ( fi ` x ) )
28	24, 27	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y e. ~P ( fi ` x ) )
29		uni0b 4260	. . . . . . . . . 10 |- ( U. y = (/) <-> y C_ { (/) } )
30	29	notbii 294	. . . . . . . . 9 |- ( -. U. y = (/) <-> -. y C_ { (/) } )
31		disjssun 3872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> y C_ { (/) } ) )
32	31	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> y C_ { (/) } ) )
33	32	necon3bd 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) ) )
34		n0 3793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) <-> E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
35		elin 3673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
36	8	anbi2i 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
37	35, 36	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
38		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ w )
39		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> w e. y )
40		ssuni 4257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a C_ w /\ w e. y ) -> a C_ U. y )
41	38, 39, 40	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ U. y )
42	37, 41	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
43	42	exlimiv 1727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
44	34, 43	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) -> a C_ U. y )
45	33, 44	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
46	45	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
47	30, 46	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> a C_ U. y ) )
48	47	imp 427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> a C_ U. y )
49		elfpw 7814	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) <-> ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) )
50		unieq 4243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
51		uni0 4262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. (/) = (/)
52	50, 51	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
53	52	necon3bi 2683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. U. y = (/) -> y =/= (/) )
54	53	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) -> y =/= (/) )
55	54	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> y =/= (/) )
56		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> [ C.] Or y )
57		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n e. Fin )
58		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n C_ U. y )
59		finsschain 7819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) /\ ( n e. Fin /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
60	55, 56, 57, 58, 59	syl22anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
61	60	expr 613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> E. w e. y n C_ w ) )
62		0elpw 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. ~P a
63		0fin 7740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. Fin
64		elin 3673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P a /\ (/) e. Fin ) )
65	62, 63, 64	mpbir2an 918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) e. ( ~P a i^i Fin )
66		unieq 4243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
67	66	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = U. (/) ) )
68	67	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = (/) -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. (/) ) )
69	68	rspccv 3204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) -> -. X = U. (/) ) )
70	65, 69	mpi 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. (/) )
71		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- n e. _V
72	71	elpw 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ~P w <-> n C_ w )
73		elin 3673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( ~P w i^i Fin ) <-> ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) )
74		unieq 4243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = n -> U. b = U. n )
75	74	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = n -> ( X = U. b <-> X = U. n ) )
76	75	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = n -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. n ) )
77	76	rspccv 3204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ( ~P w i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
78	73, 77	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
79	78	expd 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ~P w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
80	72, 79	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
82	81	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. X = U. (/) -> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
84		sseq2 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w = (/) -> ( n C_ w <-> n C_ (/) ) )
85		ss0 3815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n C_ (/) -> n = (/) )
86	84, 85	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = (/) -> ( n C_ w -> n = (/) ) )
87		unieq 4243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
88	87	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = (/) -> ( X = U. n <-> X = U. (/) ) )
89	88	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = (/) -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. (/) ) )
90	89	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> -. X = U. n ) )
91	90	a1dd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
92	86, 91	syl9r 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) ) )
93	92	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
94	83, 93	jaod 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. X = U. (/) -> ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
95	11, 94	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. X = U. (/) -> ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
96	1, 95	sylan9r 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( w e. y -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
98	70, 97	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
99	98	ad2ant2lr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
100	99	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ n e. Fin ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
101	100	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
102	101	rexlimdv 2944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( E. w e. y n C_ w -> -. X = U. n ) )
103	61, 102	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) )
104	103	expr 613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) ) )
105	104	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n C_ U. y -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
106	105	impd 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
107	49, 106	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
108	107	ralrimiv 2866	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n )
109		unieq 4243	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = b -> U. n = U. b )
110	109	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( X = U. n <-> X = U. b ) )
111	110	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. b ) )
112	111	cbvralv 3081	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
113	108, 112	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
114	28, 48, 113	jca32 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
115	114	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
116		orcom 385	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
117	26	elsnc 4040	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. { (/) } <-> U. y = (/) )
118		sseq2 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. y -> ( a C_ z <-> a C_ U. y ) )
119		pweq 4002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = U. y -> ~P z = ~P U. y )
120	119	ineq1d 3685	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = U. y -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P U. y i^i Fin ) )
121	120	raleqdv 3057	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. y -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) )
122	118, 121	anbi12d 708	. . . . . . . . 9 |- ( z = U. y -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
123	122	elrab 3254	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
124	117, 123	orbi12i 519	. . . . . . 7 |- ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
125		df-or 368	. . . . . . 7 |- ( ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
126	124, 125	bitr2i 250	. . . . . 6 |- ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
127		elun 3631	. . . . . 6 |- ( U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
128	116, 126, 127	3bitr4i 277	. . . . 5 |- ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
129	115, 128	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
130	129	ex 432	. . 3 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
131	130	alrimiv 1724	. 2 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
132		fvex 5858	. . . . . 6 |- ( fi ` x ) e. _V
133	132	pwex 4620	. . . . 5 |- ~P ( fi ` x ) e. _V
134	133	rabex 4588	. . . 4 |- { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } e. _V
135		p0ex 4624	. . . 4 |- { (/) } e. _V
136	134, 135	unex 6571	. . 3 |- ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) e. _V
137	136	zorn 8878	. 2 |- ( A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )
138	131, 137	syl 16	1 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   C. wpss 3462   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   Or wor 4788   ` cfv 5570   [ C.] crpss 6552   Fincfn 7509   ficfi 7862   topGenctg 14930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-ac2 8834

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-rpss 6553  df-om 6674  df-recs 7034  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-card 8311  df-ac 8488

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  20719