Theorem alexsubALTlem2 21075

Description: Lemma for alexsubALT 21078. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
alexsubALT.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
alexsubALTlem2	|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, u, v, x, z, J   X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2

Dummy variables n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
2		elun 3576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) )
3		sseq2 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( a C_ z <-> a C_ w ) )
4		pweq 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ~P z = ~P w )
5	4	ineq1d 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P w i^i Fin ) )
6	5	raleqdv 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) )
7	3, 6	anbi12d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
8	7	elrab 3198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
9		elsn 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } <-> w = (/) )
10	8, 9	orbi12i 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
11	2, 10	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
12		elpwi 3962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ~P ( fi ` x ) -> w C_ ( fi ` x ) )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
14		0ss 3765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) C_ ( fi ` x )
15		sseq1 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w C_ ( fi ` x ) <-> (/) C_ ( fi ` x ) ) )
16	14, 15	mpbiri 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> w C_ ( fi ` x ) )
17	13, 16	jaoi 381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
18	11, 17	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> w C_ ( fi ` x ) )
19	1, 18	syl6 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w C_ ( fi ` x ) ) )
20	19	ralrimiv 2802	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
21		unissb 4232	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. y C_ ( fi ` x ) <-> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
22	20, 21	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
24	23	ad2antlr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
25		vex 3050	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
26	25	uniex 6592	. . . . . . . . 9 |- U. y e. _V
27	26	elpw 3959	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. ~P ( fi ` x ) <-> U. y C_ ( fi ` x ) )
28	24, 27	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y e. ~P ( fi ` x ) )
29		uni0b 4226	. . . . . . . . . 10 |- ( U. y = (/) <-> y C_ { (/) } )
30	29	notbii 298	. . . . . . . . 9 |- ( -. U. y = (/) <-> -. y C_ { (/) } )
31		disjssun 3824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> y C_ { (/) } ) )
32	31	biimpcd 228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> y C_ { (/) } ) )
33	32	necon3bd 2640	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) ) )
34		n0 3743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) <-> E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
35		elin 3619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
36	8	anbi2i 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
37	35, 36	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
38		simprrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ w )
39		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> w e. y )
40		ssuni 4223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a C_ w /\ w e. y ) -> a C_ U. y )
41	38, 39, 40	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ U. y )
42	37, 41	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
43	42	exlimiv 1778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
44	34, 43	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) -> a C_ U. y )
45	33, 44	syl6 34	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
46	45	ad2antrl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
47	30, 46	syl5bi 221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> a C_ U. y ) )
48	47	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> a C_ U. y )
49		elfpw 7881	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) <-> ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) )
50		unieq 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
51		uni0 4228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. (/) = (/)
52	50, 51	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
53	52	necon3bi 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. U. y = (/) -> y =/= (/) )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) -> y =/= (/) )
55	54	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> y =/= (/) )
56		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> [ C.] Or y )
57		simprlr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n e. Fin )
58		simprr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n C_ U. y )
59		finsschain 7886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) /\ ( n e. Fin /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
60	55, 56, 57, 58, 59	syl22anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
61	60	expr 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> E. w e. y n C_ w ) )
62		0elpw 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. ~P a
63		0fin 7804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. Fin
64		elin 3619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P a /\ (/) e. Fin ) )
65	62, 63, 64	mpbir2an 932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) e. ( ~P a i^i Fin )
66		unieq 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
67	66	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = U. (/) ) )
68	67	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = (/) -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. (/) ) )
69	68	rspccv 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) -> -. X = U. (/) ) )
70	65, 69	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. (/) )
71		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- n e. _V
72	71	elpw 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ~P w <-> n C_ w )
73		elin 3619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( ~P w i^i Fin ) <-> ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) )
74		unieq 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = n -> U. b = U. n )
75	74	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = n -> ( X = U. b <-> X = U. n ) )
76	75	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = n -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. n ) )
77	76	rspccv 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ( ~P w i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
78	73, 77	syl5bir 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
79	78	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ~P w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
80	72, 79	syl5bir 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
81	80	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
82	81	ad2antll 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. X = U. (/) -> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
84		sseq2 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w = (/) -> ( n C_ w <-> n C_ (/) ) )
85		ss0 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n C_ (/) -> n = (/) )
86	84, 85	syl6bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = (/) -> ( n C_ w -> n = (/) ) )
87		unieq 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
88	87	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = (/) -> ( X = U. n <-> X = U. (/) ) )
89	88	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = (/) -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. (/) ) )
90	89	biimprcd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> -. X = U. n ) )
91	90	a1dd 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
92	86, 91	syl9r 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) ) )
93	92	com34 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
94	83, 93	jaod 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. X = U. (/) -> ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
95	11, 94	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. X = U. (/) -> ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
96	1, 95	sylan9r 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( w e. y -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
97	96	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
98	70, 97	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
99	98	ad2ant2lr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
100	99	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ n e. Fin ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
101	100	adantrl 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
102	101	rexlimdv 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( E. w e. y n C_ w -> -. X = U. n ) )
103	61, 102	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) )
104	103	expr 620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) ) )
105	104	com23 81	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n C_ U. y -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
106	105	impd 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
107	49, 106	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
108	107	ralrimiv 2802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n )
109		unieq 4209	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = b -> U. n = U. b )
110	109	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( X = U. n <-> X = U. b ) )
111	110	notbid 296	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. b ) )
112	111	cbvralv 3021	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
113	108, 112	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
114	28, 48, 113	jca32 538	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
115	114	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
116		orcom 389	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
117	26	elsnc 3994	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. { (/) } <-> U. y = (/) )
118		sseq2 3456	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. y -> ( a C_ z <-> a C_ U. y ) )
119		pweq 3956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = U. y -> ~P z = ~P U. y )
120	119	ineq1d 3635	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = U. y -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P U. y i^i Fin ) )
121	120	raleqdv 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. y -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) )
122	118, 121	anbi12d 718	. . . . . . . . 9 |- ( z = U. y -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
123	122	elrab 3198	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
124	117, 123	orbi12i 524	. . . . . . 7 |- ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
125		df-or 372	. . . . . . 7 |- ( ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
126	124, 125	bitr2i 254	. . . . . 6 |- ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
127		elun 3576	. . . . . 6 |- ( U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
128	116, 126, 127	3bitr4i 281	. . . . 5 |- ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
129	115, 128	sylib 200	. . . 4 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
130	129	ex 436	. . 3 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
131	130	alrimiv 1775	. 2 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
132		fvex 5880	. . . . . 6 |- ( fi ` x ) e. _V
133	132	pwex 4589	. . . . 5 |- ~P ( fi ` x ) e. _V
134	133	rabex 4557	. . . 4 |- { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } e. _V
135		p0ex 4593	. . . 4 |- { (/) } e. _V
136	134, 135	unex 6594	. . 3 |- ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) e. _V
137	136	zorn 8942	. 2 |- ( A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )
138	131, 137	syl 17	1 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   A.wal 1444   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   C. wpss 3407   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970   U.cuni 4201   Or wor 4757   ` cfv 5585   [ C.] crpss 6575   Fincfn 7574   ficfi 7929   topGenctg 15348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-ac2 8898

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-rpss 6576  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-card 8378  df-ac 8552

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  21077