Theorem alexsubALTlem2 21141

Description: Lemma for alexsubALT 21144. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
alexsubALT.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
alexsubALTlem2	|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, u, v, x, z, J   X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2

Dummy variables n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
2		elun 3565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) )
3		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( a C_ z <-> a C_ w ) )
4		pweq 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ~P z = ~P w )
5	4	ineq1d 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P w i^i Fin ) )
6	5	raleqdv 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) )
7	3, 6	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
8	7	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
9		elsn 3973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } <-> w = (/) )
10	8, 9	orbi12i 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
11	2, 10	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
12		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ~P ( fi ` x ) -> w C_ ( fi ` x ) )
13	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
14		0ss 3766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) C_ ( fi ` x )
15		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w C_ ( fi ` x ) <-> (/) C_ ( fi ` x ) ) )
16	14, 15	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> w C_ ( fi ` x ) )
17	13, 16	jaoi 386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
18	11, 17	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> w C_ ( fi ` x ) )
19	1, 18	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w C_ ( fi ` x ) ) )
20	19	ralrimiv 2808	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
21		unissb 4221	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. y C_ ( fi ` x ) <-> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
22	20, 21	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
23	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
24	23	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
25		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
26	25	uniex 6606	. . . . . . . . 9 |- U. y e. _V
27	26	elpw 3948	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. ~P ( fi ` x ) <-> U. y C_ ( fi ` x ) )
28	24, 27	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y e. ~P ( fi ` x ) )
29		uni0b 4215	. . . . . . . . . 10 |- ( U. y = (/) <-> y C_ { (/) } )
30	29	notbii 303	. . . . . . . . 9 |- ( -. U. y = (/) <-> -. y C_ { (/) } )
31		disjssun 3826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> y C_ { (/) } ) )
32	31	biimpcd 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> y C_ { (/) } ) )
33	32	necon3bd 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) ) )
34		n0 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) <-> E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
35		elin 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
36	8	anbi2i 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
37	35, 36	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
38		simprrl 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ w )
39		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> w e. y )
40		ssuni 4212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a C_ w /\ w e. y ) -> a C_ U. y )
41	38, 39, 40	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ U. y )
42	37, 41	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
43	42	exlimiv 1784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
44	34, 43	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) -> a C_ U. y )
45	33, 44	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
46	45	ad2antrl 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
47	30, 46	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> a C_ U. y ) )
48	47	imp 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> a C_ U. y )
49		elfpw 7894	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) <-> ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) )
50		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
51		uni0 4217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. (/) = (/)
52	50, 51	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = (/) -> U. y = (/) )
53	52	necon3bi 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. U. y = (/) -> y =/= (/) )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) -> y =/= (/) )
55	54	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> y =/= (/) )
56		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> [ C.] Or y )
57		simprlr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n e. Fin )
58		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n C_ U. y )
59		finsschain 7899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y =/= (/) /\ [ C.] Or y ) /\ ( n e. Fin /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
60	55, 56, 57, 58, 59	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
61	60	expr 626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> E. w e. y n C_ w ) )
62		0elpw 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. ~P a
63		0fin 7817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. Fin
64		elin 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P a /\ (/) e. Fin ) )
65	62, 63, 64	mpbir2an 934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) e. ( ~P a i^i Fin )
66		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
67	66	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = U. (/) ) )
68	67	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = (/) -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. (/) ) )
69	68	rspccv 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) -> -. X = U. (/) ) )
70	65, 69	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. (/) )
71		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- n e. _V
72	71	elpw 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ~P w <-> n C_ w )
73		elin 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( ~P w i^i Fin ) <-> ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) )
74		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = n -> U. b = U. n )
75	74	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = n -> ( X = U. b <-> X = U. n ) )
76	75	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = n -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. n ) )
77	76	rspccv 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ( ~P w i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
78	73, 77	syl5bir 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
79	78	expd 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ~P w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
80	72, 79	syl5bir 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
81	80	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
82	81	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. X = U. (/) -> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
84		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w = (/) -> ( n C_ w <-> n C_ (/) ) )
85		ss0 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n C_ (/) -> n = (/) )
86	84, 85	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = (/) -> ( n C_ w -> n = (/) ) )
87		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
88	87	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = (/) -> ( X = U. n <-> X = U. (/) ) )
89	88	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = (/) -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. (/) ) )
90	89	biimprcd 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> -. X = U. n ) )
91	90	a1dd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
92	86, 91	syl9r 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) ) )
93	92	com34 85	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
94	83, 93	jaod 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. X = U. (/) -> ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
95	11, 94	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. X = U. (/) -> ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
96	1, 95	sylan9r 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( w e. y -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
97	96	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
98	70, 97	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
99	98	ad2ant2lr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
100	99	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ n e. Fin ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
101	100	adantrl 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
102	101	rexlimdv 2870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( E. w e. y n C_ w -> -. X = U. n ) )
103	61, 102	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) )
104	103	expr 626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) ) )
105	104	com23 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n C_ U. y -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
106	105	impd 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
107	49, 106	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
108	107	ralrimiv 2808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n )
109		unieq 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = b -> U. n = U. b )
110	109	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( X = U. n <-> X = U. b ) )
111	110	notbid 301	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. b ) )
112	111	cbvralv 3005	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
113	108, 112	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
114	28, 48, 113	jca32 544	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
115	114	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
116		orcom 394	. . . . . 6 |- ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
117	26	elsnc 3984	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. { (/) } <-> U. y = (/) )
118		sseq2 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. y -> ( a C_ z <-> a C_ U. y ) )
119		pweq 3945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = U. y -> ~P z = ~P U. y )
120	119	ineq1d 3624	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = U. y -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P U. y i^i Fin ) )
121	120	raleqdv 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( z = U. y -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) )
122	118, 121	anbi12d 725	. . . . . . . . 9 |- ( z = U. y -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
123	122	elrab 3184	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
124	117, 123	orbi12i 530	. . . . . . 7 |- ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
125		df-or 377	. . . . . . 7 |- ( ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
126	124, 125	bitr2i 258	. . . . . 6 |- ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
127		elun 3565	. . . . . 6 |- ( U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
128	116, 126, 127	3bitr4i 285	. . . . 5 |- ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
129	115, 128	sylib 201	. . . 4 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
130	129	ex 441	. . 3 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
131	130	alrimiv 1781	. 2 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
132		fvex 5889	. . . . . 6 |- ( fi ` x ) e. _V
133	132	pwex 4584	. . . . 5 |- ~P ( fi ` x ) e. _V
134	133	rabex 4550	. . . 4 |- { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } e. _V
135		p0ex 4588	. . . 4 |- { (/) } e. _V
136	134, 135	unex 6608	. . 3 |- ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) e. _V
137	136	zorn 8955	. 2 |- ( A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [ C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )
138	131, 137	syl 17	1 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   C. wpss 3391   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   Or wor 4759   ` cfv 5589   [ C.] crpss 6589   Fincfn 7587   ficfi 7942   topGenctg 15414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-rpss 6590  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-card 8391  df-ac 8565

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  21143