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Theorem alexsubALTlem2 20525
Description: Lemma for alexsubALT 20528. Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, u, v, x, z, J    X, a, b, c, d, u, v, x, z

Proof of Theorem alexsubALTlem2
Dummy variables  n  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
2 elun 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/)
} ) )
3 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
a  C_  z  <->  a  C_  w ) )
4 pweq 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  ~P z  =  ~P w
)
54ineq1d 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P w  i^i  Fin ) )
65raleqdv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b 
<-> 
A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
73, 6anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
87elrab 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
9 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { (/) }  <->  w  =  (/) )
108, 9orbi12i 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  w  e.  { (/) } )  <-> 
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
112, 10bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( (
w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) ) )
12 elpwi 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
14 0ss 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  C_  ( fi `  x )
15 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  ( fi `  x )  <->  (/)  C_  ( fi `  x ) ) )
1614, 15mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1713, 16jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  ->  w  C_  ( fi `  x ) )
1811, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  w  C_  ( fi `  x
) )
191, 18syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
w  e.  y  ->  w  C_  ( fi `  x ) ) )
2019ralrimiv 2855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
21 unissb 4266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  ( fi `  x )  <->  A. w  e.  y  w  C_  ( fi `  x ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  C_  ( fi
`  x ) )
25 vex 3098 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2625uniex 6581 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
2726elpw 4003 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  <->  U. y  C_  ( fi `  x
) )
2824, 27sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  U. y  e.  ~P ( fi `  x ) )
29 uni0b 4259 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  (/)  <->  y  C_  {
(/) } )
3029notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  y  C_  { (/) } )
31 disjssun 3870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  y  C_  {
(/) } ) )
3231biimpcd 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =  (/)  ->  y  C_  {
(/) } ) )
3332necon3bd 2655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/) ) )
34 n0 3780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( y  i^i  {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
35 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e. 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
368anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <-> 
( w  e.  y  /\  ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
3735, 36bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi
`  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
38 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  w )
39 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  w  e.  y )
40 ssuni 4256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  w  /\  w  e.  y )  ->  a  C_  U. y
)
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  y  /\  ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  ->  a  C_  U. y )
4237, 41sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
{ z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y )
4342exlimiv 1709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  ->  a  C_  U. y
)
4434, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  =/=  (/)  ->  a  C_  U. y )
4533, 44syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  a  C_  U. y
) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  ( -.  y  C_  { (/) }  ->  a  C_  U. y
) )
4730, 46syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  a  C_  U. y
) )
4847imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
a  C_  U. y
)
49 elfpw 7824 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  <->  ( n  C_ 
U. y  /\  n  e.  Fin ) )
50 unieq 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
51 uni0 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (/)  =  (/)
5250, 51syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
5352necon3bi 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )  ->  y  =/=  (/) )
5554ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  y  =/=  (/) )
56 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  -> [ C.]  Or  y )
57 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  e.  Fin )
58 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  n  C_  U. y
)
59 finsschain 7829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  /\  ( n  e.  Fin  /\  n  C_  U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  (
( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e. 
Fin )  /\  n  C_ 
U. y ) )  ->  E. w  e.  y  n  C_  w )
6160expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( n  C_ 
U. y  ->  E. w  e.  y  n  C_  w
) )
62 0elpw 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  ~P a
63 0fin 7749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e.  Fin
64 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P a  /\  (/)  e.  Fin )
)
6562, 63, 64mpbir2an 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
66 unieq 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  U. (/) )
6766eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  (/)  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. (/) ) )
6867notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. b  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
6968rspccv 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. (/) ) )
7065, 69mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  -.  X  =  U. (/) )
71 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  n  e. 
_V
7271elpw 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  ~P w  <->  n  C_  w
)
73 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  <->  ( n  e.  ~P w  /\  n  e.  Fin ) )
74 unieq 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  n  ->  U. b  =  U. n )
7574eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  n  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  U. n ) )
7675notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  n  ->  ( -.  X  =  U. b 
<->  -.  X  =  U. n ) )
7776rspccv 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  ->  -.  X  =  U. n ) )
7873, 77syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( ( n  e. 
~P w  /\  n  e.  Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
7978expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  ~P w  ->  ( n  e. 
Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8072, 79syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8281ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( w  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) )  ->  ( n  e. 
Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
84 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  <->  n  C_  (/) ) )
85 ss0 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n 
C_  (/)  ->  n  =  (/) )
8684, 85syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  (/)  ->  ( n 
C_  w  ->  n  =  (/) ) )
87 unieq 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  (/)  ->  U. n  =  U. (/) )
8887eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  (/)  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. (/) ) )
8988notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  (/)  ->  ( -.  X  =  U. n  <->  -.  X  =  U. (/) ) )
9089biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  -.  X  =  U. n
) )
9190a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
n  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) )
9286, 91syl9r 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  C_  w  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9392com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  =  (/)  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9483, 93jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
( ( w  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  w  /\  A. b  e.  ( ~P w  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )  \/  w  =  (/) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
9511, 94syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  X  =  U. (/)  ->  (
w  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
961, 95sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( w  e.  y  ->  ( n  e.  Fin  ->  (
n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9796com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  X  =  U. (/) 
/\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9870, 97sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b  /\  y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )  ->  ( n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) ) )
9998ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  (
n  e.  Fin  ->  ( w  e.  y  -> 
( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  n  e.  Fin )  ->  (
w  e.  y  -> 
( n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
101100adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( w  e.  y  ->  ( n 
C_  w  ->  -.  X  =  U. n
) ) )
102101rexlimdv 2933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( E. w  e.  y  n  C_  w  ->  -.  X  =  U. n ) )
10361, 102syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  ( -.  U. y  =  (/)  /\  n  e.  Fin )
)  ->  ( n  C_ 
U. y  ->  -.  X  =  U. n
) )
104103expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( n  e.  Fin  ->  ( n  C_  U. y  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
105104com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( n  C_  U. y  ->  ( n  e.  Fin  ->  -.  X  =  U. n ) ) )
106105impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( ( n  C_  U. y  /\  n  e. 
Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
10749, 106syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( n  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  ->  -.  X  =  U. n
) )
108107ralrimiv 2855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n )
109 unieq 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  b  ->  U. n  =  U. b )
110109eqeq2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  b  ->  ( X  =  U. n  <->  X  =  U. b ) )
111110notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  b  ->  ( -.  X  =  U. n 
<->  -.  X  =  U. b ) )
112111cbvralv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. n 
<-> 
A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )
113108, 112sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  ->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )
11428, 48, 113jca32 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  /\  a  e.  ~P ( fi `  x
) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b
)  /\  ( y  C_  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  /\  -.  U. y  =  (/) )  -> 
( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
115114ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
116 orcom 387 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e. 
{ (/) } ) )
11726elsnc 4038 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { (/) }  <->  U. y  =  (/) )
118 sseq2 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( a  C_  z  <->  a 
C_  U. y ) )
119 pweq 4000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U. y  ->  ~P z  =  ~P U. y )
120119ineq1d 3684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ~P z  i^i 
Fin )  =  ( ~P U. y  i^i 
Fin ) )
121120raleqdv 3046 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U. y  -> 
( A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b  <->  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) )
122118, 121anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  U. y  -> 
( ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b )  <->  ( a  C_ 
U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
123122elrab 3243 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  <->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )
124117, 123orbi12i 521 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  e.  { (/)
}  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) } )  <->  ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
125 df-or 370 . . . . . . 7  |-  ( ( U. y  =  (/)  \/  ( U. y  e. 
~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  ( a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) ) ) )
126124, 125bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  ( U. y  e.  { (/) }  \/  U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) } ) )
127 elun 3630 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  <->  ( U. y  e.  { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  \/  U. y  e.  { (/) } ) )
128116, 126, 1273bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( U. y  e.  ~P ( fi `  x )  /\  (
a  C_  U. y  /\  A. b  e.  ( ~P U. y  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) ) )  <->  U. y  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) )
129115, 128sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  /\  (
y  C_  ( {
z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) )
130129ex 434 . . 3  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  (
( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
131130alrimiv 1706 . 2  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  A. y
( ( y  C_  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) ) )
132 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( fi
`  x )  e. 
_V
133132pwex 4620 . . . . 5  |-  ~P ( fi `  x )  e. 
_V
134133rabex 4588 . . . 4  |-  { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  e.  _V
135 p0ex 4624 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
136134, 135unex 6583 . . 3  |-  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  e.  _V
137136zorn 8890 . 2  |-  ( A. y ( ( y 
C_  ( { z  e.  ~P ( fi
`  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  U. y  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) )  ->  E. u  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } ) A. v  e.  ( { z  e.  ~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i 
Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  { (/) } )  -.  u  C.  v
)
138131, 137syl 16 1  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )  /\  a  e.  ~P ( fi `  x ) )  /\  A. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b )  ->  E. u  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } ) A. v  e.  ( { z  e. 
~P ( fi `  x )  |  ( a  C_  z  /\  A. b  e.  ( ~P z  i^i  Fin )  -.  X  =  U. b ) }  u.  {
(/) } )  -.  u  C.  v )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461    C. wpss 3462   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234    Or wor 4789   ` cfv 5578   [ C.] crpss 6564   Fincfn 7518   ficfi 7872   topGenctg 14816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-ac2 8846
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-rpss 6565  df-om 6686  df-recs 7044  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-card 8323  df-ac 8500
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  20527
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