Theorem alexsubALT 20845

Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
alexsubALT.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
alexsubALT	|- ( J e. Comp <-> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, x, J   X, c, d, x

Proof of Theorem alexsubALT

Dummy variables a b f t w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexsubALT.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	alexsubALTlem1 20841	. 2 |- ( J e. Comp -> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
3	1	alexsubALTlem4 20844	. . . . 5 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
4		selpw 3964	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J <-> c C_ J )
5		eleq2 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X = U. c -> ( t e. X <-> t e. U. c ) )
6	5	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> t e. U. c ) )
7		eluni 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t e. U. c <-> E. w ( t e. w /\ w e. c ) )
8		ssel 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( c C_ J -> ( w e. c -> w e. J ) )
9		eleq2 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( w e. J <-> w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) ) )
10		tg2 19760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ t e. w ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) )
11	10	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) )
12	9, 11	syl6bi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( w e. J -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) ) )
13	8, 12	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( w e. c -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) ) )
14	13	3impia 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) )
15		sseq2 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z = w -> ( y C_ z <-> y C_ w ) )
16	15	rspcev 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( w e. c /\ y C_ w ) -> E. z e. c y C_ z )
17	16	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. c -> ( y C_ w -> E. z e. c y C_ z ) )
18	17	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( y C_ w -> E. z e. c y C_ z ) )
19	18	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( ( t e. y /\ y C_ w ) -> ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
20	19	reximdv 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
21	14, 20	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
22	21	3expia 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( w e. c -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) ) )
23	22	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( t e. w -> ( w e. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) ) )
24	23	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( ( t e. w /\ w e. c ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
25	24	exlimdv 1747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( E. w ( t e. w /\ w e. c ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
26	7, 25	syl5bi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( t e. U. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
27	26	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. U. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
28	6, 27	sylbid 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
29		ssel 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y C_ z -> ( t e. y -> t e. z ) )
30		elunii 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t e. z /\ z e. c ) -> t e. U. c )
31	30	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. c -> ( t e. z -> t e. U. c ) )
32	6	biimprd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. U. c -> t e. X ) )
33	31, 32	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ z e. c ) -> ( t e. z -> t e. X ) )
34	29, 33	syl9r 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ z e. c ) -> ( y C_ z -> ( t e. y -> t e. X ) ) )
35	34	rexlimdva 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. z e. c y C_ z -> ( t e. y -> t e. X ) ) )
36	35	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. y -> ( E. z e. c y C_ z -> t e. X ) ) )
37	36	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) -> t e. X ) )
38	37	rexlimdvw 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) -> t e. X ) )
39	28, 38	impbid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
40		elunirab 4205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } <-> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) )
41	39, 40	syl6bbr 265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> t e. U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
42	41	eqrdv 2401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
43		ssrab2 3526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } C_ ( fi ` x )
44		fvex 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( fi ` x ) e. _V
45	44	elpw2 4560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x ) <-> { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } C_ ( fi ` x ) )
46	43, 45	mpbir 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x )
47		unieq 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> U. a = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
48	47	eqeq2d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. a <-> X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
49		pweq 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ~P a = ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
50	49	ineq1d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( ~P a i^i Fin ) = ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) )
51	50	rexeqdv 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b <-> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
52	48, 51	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) <-> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) ) )
53	52	rspcv 3158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) ) )
54	46, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
55	42, 54	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
56		elfpw 7858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) <-> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } /\ b e. Fin ) )
57		ssel 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( t e. b -> t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
58		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = t -> ( y C_ z <-> t C_ z ) )
59	58	rexbidv 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = t -> ( E. z e. c y C_ z <-> E. z e. c t C_ z ) )
60	59	elrab 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } <-> ( t e. ( fi ` x ) /\ E. z e. c t C_ z ) )
61	60	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. z e. c t C_ z )
62	57, 61	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( t e. b -> E. z e. c t C_ z ) )
63	62	ralrimiv 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> A. t e. b E. z e. c t C_ z )
64		sseq2 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( f ` t ) -> ( t C_ z <-> t C_ ( f ` t ) ) )
65	64	ac6sfi 7800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( b e. Fin /\ A. t e. b E. z e. c t C_ z ) -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) )
66	65	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b e. Fin -> ( A. t e. b E. z e. c t C_ z -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
67	63, 66	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. Fin -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
68	67	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
69		simprll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> f : b --> c )
70		frn 5722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f : b --> c -> ran f C_ c )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f C_ c )
72		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> b e. Fin )
73		ffn 5716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f : b --> c -> f Fn b )
74		dffn4 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f Fn b <-> f : b -onto-> ran f )
75	73, 74	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f : b --> c -> f : b -onto-> ran f )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> f : b -onto-> ran f )
77	76	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> f : b -onto-> ran f )
78		fodomfi 7835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. Fin /\ f : b -onto-> ran f ) -> ran f ~<_ b )
79	72, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f ~<_ b )
80		domfi 7778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. Fin /\ ran f ~<_ b ) -> ran f e. Fin )
81	72, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f e. Fin )
82	71, 81	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) )
83		elin 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ran f e. ~P c /\ ran f e. Fin ) )
84		vex 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- c e. _V
85	84	elpw2 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ran f e. ~P c <-> ran f C_ c )
86	85	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f e. ~P c /\ ran f e. Fin ) <-> ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) )
87	83, 86	bitr2i 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) <-> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
88	82, 87	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
89		simprr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X = U. b )
90		uniiun 4326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U. b = U_ t e. b t
91		simprlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> A. t e. b t C_ ( f ` t ) )
92		ss2iun 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. t e. b t C_ ( f ` t ) -> U_ t e. b t C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U_ t e. b t C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
94	90, 93	syl5eqss 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. b C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
95		fniunfv 6142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn b -> U_ t e. b ( f ` t ) = U. ran f )
96	69, 73, 95	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U_ t e. b ( f ` t ) = U. ran f )
97	94, 96	sseqtrd 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. b C_ U. ran f )
98	89, 97	eqsstrd 3478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X C_ U. ran f )
99		simpll2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> c C_ J )
100	71, 99	sstrd 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f C_ J )
101		uniss 4214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ran f C_ J -> U. ran f C_ U. J )
102	101, 1	syl6sseqr 3491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ran f C_ J -> U. ran f C_ X )
103	100, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. ran f C_ X )
104	98, 103	eqssd 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X = U. ran f )
105		unieq 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ran f -> U. d = U. ran f )
106	105	eqeq2d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ran f -> ( X = U. d <-> X = U. ran f ) )
107	106	rspcev 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ran f ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
108	88, 104, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
109	108	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
110	109	exlimdv 1747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
111	68, 110	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
112	111	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b e. Fin -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
113	112	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( b e. Fin -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
114	113	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } /\ b e. Fin ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
115	56, 114	syl5bi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
116	115	rexlimdv 2896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
117	55, 116	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
118	117	3exp 1198	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
119	118	com34 85	. . . . . . . . . 10 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( c C_ J -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
120	119	com23 80	. . . . . . . . 9 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
121	4, 120	syl7bi 232	. . . . . . . 8 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
122	121	ralrimdv 2822	. . . . . . 7 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
123		fibas 19773	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` x ) e. TopBases
124		tgcl 19765	. . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` x ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top )
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top
126		eleq1 2476	. . . . . . . 8 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( J e. Top <-> ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top ) )
127	125, 126	mpbiri 235	. . . . . . 7 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> J e. Top )
128	122, 127	jctild 543	. . . . . 6 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
129	1	iscmp 20183	. . . . . 6 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
130	128, 129	syl6ibr 229	. . . . 5 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> J e. Comp ) )
131	3, 130	syld 44	. . . 4 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> J e. Comp ) )
132	131	imp 429	. . 3 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> J e. Comp )
133	132	exlimiv 1745	. 2 |- ( E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> J e. Comp )
134	2, 133	impbii 189	1 |- ( J e. Comp <-> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   E.wex 1635   e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   i^i cin 3415   C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   U.cuni 4193   U_ciun 4273   class class class wbr 4397   ran crn 4826   Fn wfn 5566   -->wf 5567   -onto->wfo 5569   ` cfv 5571   ~<_ cdom 7554   Fincfn 7556   ficfi 7906   topGenctg 15054   Topctop 19688   TopBasesctb 19692   Compccmp 20181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-ac2 8877

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-rpss 6564  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-fin 7560  df-fi 7907  df-card 8354  df-ac 8531  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-cmp 20182

This theorem is referenced by: (None)