Theorem alexsubALT 20314

Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
alexsubALT.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
alexsubALT	|- ( J e. Comp <-> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, x, J   X, c, d, x

Proof of Theorem alexsubALT

Dummy variables a b f t w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexsubALT.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	alexsubALTlem1 20310	. 2 |- ( J e. Comp -> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
3	1	alexsubALTlem4 20313	. . . . 5 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
4		selpw 4017	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J <-> c C_ J )
5		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X = U. c -> ( t e. X <-> t e. U. c ) )
6	5	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> t e. U. c ) )
7		eluni 4248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t e. U. c <-> E. w ( t e. w /\ w e. c ) )
8		ssel 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( c C_ J -> ( w e. c -> w e. J ) )
9		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( w e. J <-> w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) ) )
10		tg2 19261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ t e. w ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) )
11	10	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) )
12	9, 11	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( w e. J -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) ) )
13	8, 12	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( w e. c -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) ) )
14	13	3impia 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) )
15		sseq2 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z = w -> ( y C_ z <-> y C_ w ) )
16	15	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( w e. c /\ y C_ w ) -> E. z e. c y C_ z )
17	16	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. c -> ( y C_ w -> E. z e. c y C_ z ) )
18	17	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( y C_ w -> E. z e. c y C_ z ) )
19	18	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( ( t e. y /\ y C_ w ) -> ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
20	19	reximdv 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
21	14, 20	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
22	21	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( w e. c -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( t e. w -> ( w e. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) ) )
24	23	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( ( t e. w /\ w e. c ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
25	24	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( E. w ( t e. w /\ w e. c ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
26	7, 25	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( t e. U. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
27	26	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. U. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
28	6, 27	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
29		ssel 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y C_ z -> ( t e. y -> t e. z ) )
30		elunii 4250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t e. z /\ z e. c ) -> t e. U. c )
31	30	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. c -> ( t e. z -> t e. U. c ) )
32	6	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. U. c -> t e. X ) )
33	31, 32	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ z e. c ) -> ( t e. z -> t e. X ) )
34	29, 33	syl9r 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ z e. c ) -> ( y C_ z -> ( t e. y -> t e. X ) ) )
35	34	rexlimdva 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. z e. c y C_ z -> ( t e. y -> t e. X ) ) )
36	35	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. y -> ( E. z e. c y C_ z -> t e. X ) ) )
37	36	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) -> t e. X ) )
38	37	rexlimdvw 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) -> t e. X ) )
39	28, 38	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
40		elunirab 4257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } <-> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) )
41	39, 40	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> t e. U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
42	41	eqrdv 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
43		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } C_ ( fi ` x )
44		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( fi ` x ) e. _V
45	44	elpw2 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x ) <-> { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } C_ ( fi ` x ) )
46	43, 45	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x )
47		unieq 4253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> U. a = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
48	47	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. a <-> X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
49		pweq 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ~P a = ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
50	49	ineq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( ~P a i^i Fin ) = ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) )
51	50	rexeqdv 3065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b <-> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
52	48, 51	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) <-> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) ) )
53	52	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) ) )
54	46, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
55	42, 54	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
56		elfpw 7822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) <-> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } /\ b e. Fin ) )
57		ssel 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( t e. b -> t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
58		sseq1 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = t -> ( y C_ z <-> t C_ z ) )
59	58	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = t -> ( E. z e. c y C_ z <-> E. z e. c t C_ z ) )
60	59	elrab 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } <-> ( t e. ( fi ` x ) /\ E. z e. c t C_ z ) )
61	60	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. z e. c t C_ z )
62	57, 61	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( t e. b -> E. z e. c t C_ z ) )
63	62	ralrimiv 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> A. t e. b E. z e. c t C_ z )
64		sseq2 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( f ` t ) -> ( t C_ z <-> t C_ ( f ` t ) ) )
65	64	ac6sfi 7764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( b e. Fin /\ A. t e. b E. z e. c t C_ z ) -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) )
66	65	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b e. Fin -> ( A. t e. b E. z e. c t C_ z -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
67	63, 66	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. Fin -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
68	67	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
69		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> f : b --> c )
70		frn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f : b --> c -> ran f C_ c )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f C_ c )
72		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> b e. Fin )
73		ffn 5731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f : b --> c -> f Fn b )
74		dffn4 5801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f Fn b <-> f : b -onto-> ran f )
75	73, 74	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f : b --> c -> f : b -onto-> ran f )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> f : b -onto-> ran f )
77	76	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> f : b -onto-> ran f )
78		fodomfi 7799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. Fin /\ f : b -onto-> ran f ) -> ran f ~<_ b )
79	72, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f ~<_ b )
80		domfi 7741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. Fin /\ ran f ~<_ b ) -> ran f e. Fin )
81	72, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f e. Fin )
82	71, 81	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) )
83		elin 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ran f e. ~P c /\ ran f e. Fin ) )
84		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- c e. _V
85	84	elpw2 4611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ran f e. ~P c <-> ran f C_ c )
86	85	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f e. ~P c /\ ran f e. Fin ) <-> ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) )
87	83, 86	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) <-> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
88	82, 87	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
89		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X = U. b )
90		uniiun 4378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U. b = U_ t e. b t
91		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> A. t e. b t C_ ( f ` t ) )
92		ss2iun 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. t e. b t C_ ( f ` t ) -> U_ t e. b t C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U_ t e. b t C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
94	90, 93	syl5eqss 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. b C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
95		fniunfv 6147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn b -> U_ t e. b ( f ` t ) = U. ran f )
96	69, 73, 95	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U_ t e. b ( f ` t ) = U. ran f )
97	94, 96	sseqtrd 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. b C_ U. ran f )
98	89, 97	eqsstrd 3538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X C_ U. ran f )
99		simpll2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> c C_ J )
100	71, 99	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f C_ J )
101		uniss 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ran f C_ J -> U. ran f C_ U. J )
102	101, 1	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ran f C_ J -> U. ran f C_ X )
103	100, 102	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. ran f C_ X )
104	98, 103	eqssd 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X = U. ran f )
105		unieq 4253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ran f -> U. d = U. ran f )
106	105	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ran f -> ( X = U. d <-> X = U. ran f ) )
107	106	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ran f ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
108	88, 104, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
109	108	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
110	109	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
111	68, 110	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
112	111	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b e. Fin -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
113	112	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( b e. Fin -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
114	113	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } /\ b e. Fin ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
115	56, 114	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
116	115	rexlimdv 2953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
117	55, 116	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
118	117	3exp 1195	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
119	118	com34 83	. . . . . . . . . 10 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( c C_ J -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
120	119	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
121	4, 120	syl7bi 230	. . . . . . . 8 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
122	121	ralrimdv 2880	. . . . . . 7 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
123		fibas 19273	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` x ) e. TopBases
124		tgcl 19265	. . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` x ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top )
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top
126		eleq1 2539	. . . . . . . 8 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( J e. Top <-> ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top ) )
127	125, 126	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> J e. Top )
128	122, 127	jctild 543	. . . . . 6 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
129	1	iscmp 19682	. . . . . 6 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
130	128, 129	syl6ibr 227	. . . . 5 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> J e. Comp ) )
131	3, 130	syld 44	. . . 4 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> J e. Comp ) )
132	131	imp 429	. . 3 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> J e. Comp )
133	132	exlimiv 1698	. 2 |- ( E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> J e. Comp )
134	2, 133	impbii 188	1 |- ( J e. Comp <-> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   ran crn 5000   Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588   ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   ficfi 7870   topGenctg 14693   Topctop 19189   TopBasesctb 19193   Compccmp 19680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-rpss 6564  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-fi 7871  df-card 8320  df-ac 8497  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-cmp 19681

This theorem is referenced by: (None)