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Theorem alexsubALT 20314
Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALT  |-  ( J  e.  Comp  <->  E. x ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
Distinct variable groups:    c, d, x, J    X, c, d, x

Proof of Theorem alexsubALT
Dummy variables  a 
b  f  t  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexsubALT.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21alexsubALTlem1 20310 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  E. x
( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
31alexsubALTlem4 20313 . . . . 5  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. c  e.  ~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  ->  A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
4 selpw 4017 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ~P J  <->  c  C_  J )
5 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  U. c  -> 
( t  e.  X  <->  t  e.  U. c ) )
653ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  <->  t  e.  U. c ) )
7 eluni 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  U. c  <->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  c
) )
8 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c 
C_  J  ->  (
w  e.  c  ->  w  e.  J )
)
9 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( w  e.  J  <->  w  e.  ( topGen `
 ( fi `  x ) ) ) )
10 tg2 19261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  t  e.  w )  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) )
1110ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) ) )
129, 11syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( w  e.  J  ->  ( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) ) ) )
138, 12sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
w  e.  c  -> 
( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  y  C_  w
) ) ) )
14133impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) ) )
15 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  w  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  w ) )
1615rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  c  /\  y  C_  w )  ->  E. z  e.  c 
y  C_  z )
1716ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  c  ->  (
y  C_  w  ->  E. z  e.  c  y 
C_  z ) )
18173ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
y  C_  w  ->  E. z  e.  c  y 
C_  z ) )
1918anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
( t  e.  y  /\  y  C_  w
)  ->  ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) ) )
2019reximdv 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  ( E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  y  C_  w )  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y 
C_  z ) ) )
2114, 20syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y 
C_  z ) ) )
22213expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
w  e.  c  -> 
( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
t  e.  w  -> 
( w  e.  c  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) ) )
2423impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
( t  e.  w  /\  w  e.  c
)  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) ) )
2524exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e.  c )  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) ) )
267, 25syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
t  e.  U. c  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) )
27263adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  U. c  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) )
286, 27sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) )
29 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
C_  z  ->  (
t  e.  y  -> 
t  e.  z ) )
30 elunii 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( t  e.  z  /\  z  e.  c )  ->  t  e.  U. c
)
3130expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  c  ->  (
t  e.  z  -> 
t  e.  U. c
) )
326biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  U. c  ->  t  e.  X
) )
3331, 32sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  z  e.  c )  ->  ( t  e.  z  ->  t  e.  X
) )
3429, 33syl9r 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  z  e.  c )  ->  ( y  C_  z  ->  ( t  e.  y  ->  t  e.  X
) ) )
3534rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( E. z  e.  c  y  C_  z  ->  ( t  e.  y  ->  t  e.  X
) ) )
3635com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  y  ->  ( E. z  e.  c  y  C_  z  ->  t  e.  X
) ) )
3736impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z )  ->  t  e.  X ) )
3837rexlimdvw 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z )  ->  t  e.  X ) )
3928, 38impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  <->  E. y  e.  ( fi
`  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y 
C_  z ) ) )
40 elunirab 4257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  <->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) )
4139, 40syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  <->  t  e.  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } ) )
4241eqrdv 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  ->  X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } )
43 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  C_  ( fi `  x )
44 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( fi
`  x )  e. 
_V
4544elpw2 4611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  e.  ~P ( fi `  x )  <->  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  C_  ( fi
`  x ) )
4643, 45mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  e.  ~P ( fi `  x )
47 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  U. a  =  U. { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z } )
4847eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( X  =  U. a  <->  X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } ) )
49 pweq 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ~P a  =  ~P { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z } )
5049ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( ~P a  i^i  Fin )  =  ( ~P {
y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) )
5150rexeqdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b  <->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
5248, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  <->  ( X  =  U. { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
5352rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  e.  ~P ( fi `  x )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  ->  ( X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
5446, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  ->  ( X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
5542, 54syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( A. a  e. 
~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
56 elfpw 7822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( ~P {
y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin )  <->  ( b  C_ 
{ y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  /\  b  e.  Fin ) )
57 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b 
C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( t  e.  b  ->  t  e.  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } ) )
58 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  t  ->  (
y  C_  z  <->  t  C_  z ) )
5958rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  t  ->  ( E. z  e.  c 
y  C_  z  <->  E. z  e.  c  t  C_  z ) )
6059elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  e.  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  <->  ( t  e.  ( fi `  x
)  /\  E. z  e.  c  t  C_  z ) )
6160simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. z  e.  c  t  C_  z )
6257, 61syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b 
C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( t  e.  b  ->  E. z  e.  c  t  C_  z ) )
6362ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b 
C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  A. t  e.  b  E. z  e.  c  t  C_  z )
64 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( f `  t )  ->  (
t  C_  z  <->  t  C_  ( f `  t
) ) )
6564ac6sfi 7764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A. t  e.  b  E. z  e.  c  t  C_  z )  ->  E. f
( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) )
6665ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( A. t  e.  b  E. z  e.  c 
t  C_  z  ->  E. f ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) ) )
6763, 66syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
b  C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. f
( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) ) )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. f
( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) ) )
69 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  f : b --> c )
70 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : b --> c  ->  ran  f  C_  c )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  C_  c )
72 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  b  e.  Fin )
73 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : b --> c  -> 
f  Fn  b )
74 dffn4 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  b  <->  f :
b -onto-> ran  f )
7573, 74sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : b --> c  -> 
f : b -onto-> ran  f )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  (
f `  t )
)  ->  f :
b -onto-> ran  f )
7776ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  f : b
-onto->
ran  f )
78 fodomfi 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  f : b -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  ~<_  b )
7972, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  ~<_  b )
80 domfi 7741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  ran  f  ~<_  b )  ->  ran  f  e.  Fin )
8172, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
8271, 81jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ( ran  f  C_  c  /\  ran  f  e.  Fin ) )
83 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  e.  ~P c  /\  ran  f  e. 
Fin ) )
84 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  c  e. 
_V
8584elpw2 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ran  f  e.  ~P c  <->  ran  f  C_  c )
8685anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ran  f  e.  ~P c  /\  ran  f  e. 
Fin )  <->  ( ran  f  C_  c  /\  ran  f  e.  Fin )
)
8783, 86bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ran  f  C_  c  /\  ran  f  e.  Fin ) 
<->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
8882, 87sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
89 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  X  =  U. b )
90 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  U. b  =  U_ t  e.  b  t
91 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t ) )
92 ss2iun 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
)  ->  U_ t  e.  b  t  C_  U_ t  e.  b  ( f `  t ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U_ t  e.  b  t  C_  U_ t  e.  b  ( f `  t ) )
9490, 93syl5eqss 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U. b  C_  U_ t  e.  b  ( f `  t ) )
95 fniunfv 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  b  ->  U_ t  e.  b  ( f `  t )  =  U. ran  f )
9669, 73, 953syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U_ t  e.  b  ( f `  t
)  =  U. ran  f )
9794, 96sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U. b  C_  U. ran  f )
9889, 97eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  X  C_  U. ran  f )
99 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  c  C_  J
)
10071, 99sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  C_  J )
101 uniss 4266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  U. J
)
102101, 1syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  X
)
103100, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U. ran  f  C_  X )
10498, 103eqssd 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  X  =  U. ran  f )
105 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  =  ran  f  ->  U. d  =  U. ran  f )
106105eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  =  ran  f  -> 
( X  =  U. d 
<->  X  =  U. ran  f ) )
107106rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d )
10888, 104, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )
109108exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
110109exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  (
f `  t )
)  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) )
11168, 110syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( b  e.  Fin  ->  ( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) ) )
113112com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  (
b  e.  Fin  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) ) )
114113impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( ( b  C_  { y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  /\  b  e.  Fin )  ->  ( X  = 
U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) )
11556, 114syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin )  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
116115rexlimdv 2953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )
11755, 116syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( A. a  e. 
~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) )
1181173exp 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( c  C_  J  ->  ( X  = 
U. c  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) ) )
119118com34 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( c  C_  J  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) ) )
120119com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( c  C_  J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) ) )
1214, 120syl7bi 230 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( c  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) ) )
122121ralrimdv 2880 . . . . . . 7  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
123 fibas 19273 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
124 tgcl 19265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( fi `  x )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  e.  Top )
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  ( fi `  x
) )  e.  Top
126 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( J  e. 
Top 
<->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  e. 
Top ) )
127125, 126mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  J  e.  Top )
128122, 127jctild 543 . . . . . 6  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) ) )
1291iscmp 19682 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
130128, 129syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  J  e.  Comp ) )
1313, 130syld 44 . . . 4  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. c  e.  ~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  ->  J  e.  Comp ) )
132131imp 429 . . 3  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )  ->  J  e.  Comp )
133132exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. x ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )  ->  J  e.  Comp )
1342, 133impbii 188 1  |-  ( J  e.  Comp  <->  E. x ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   ficfi 7870   topGenctg 14693   Topctop 19189   TopBasesctb 19193   Compccmp 19680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-rpss 6564  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-fi 7871  df-card 8320  df-ac 8497  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-cmp 19681
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