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Theorem alexsubALT 21144
Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALT  |-  ( J  e.  Comp  <->  E. x ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
Distinct variable groups:    c, d, x, J    X, c, d, x

Proof of Theorem alexsubALT
Dummy variables  a 
b  f  t  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexsubALT.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21alexsubALTlem1 21140 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  E. x
( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
31alexsubALTlem4 21143 . . . . 5  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. c  e.  ~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  ->  A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
4 selpw 3949 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ~P J  <->  c  C_  J )
5 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  U. c  -> 
( t  e.  X  <->  t  e.  U. c ) )
653ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  <->  t  e.  U. c ) )
7 eluni 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  U. c  <->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  c
) )
8 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c 
C_  J  ->  (
w  e.  c  ->  w  e.  J )
)
9 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( w  e.  J  <->  w  e.  ( topGen `
 ( fi `  x ) ) ) )
10 tg2 20057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  t  e.  w )  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) )
1110ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) ) )
129, 11syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( w  e.  J  ->  ( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) ) ) )
138, 12sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
w  e.  c  -> 
( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  y  C_  w
) ) ) )
14133impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  y  C_  w ) ) )
15 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  w  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  w ) )
1615rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  c  /\  y  C_  w )  ->  E. z  e.  c 
y  C_  z )
1716ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  c  ->  (
y  C_  w  ->  E. z  e.  c  y 
C_  z ) )
18173ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
y  C_  w  ->  E. z  e.  c  y 
C_  z ) )
1918anim2d 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
( t  e.  y  /\  y  C_  w
)  ->  ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) ) )
2019reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  ( E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  y  C_  w )  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y 
C_  z ) ) )
2114, 20syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  w  e.  c )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y 
C_  z ) ) )
22213expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
w  e.  c  -> 
( t  e.  w  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) ) )
2322com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
t  e.  w  -> 
( w  e.  c  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) ) )
2423impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
( t  e.  w  /\  w  e.  c
)  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) ) )
2524exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e.  c )  ->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) ) )
267, 25syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J )  ->  (
t  e.  U. c  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) )
27263adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  U. c  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) )
286, 27sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  ->  E. y  e.  ( fi `  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z
) ) )
29 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
C_  z  ->  (
t  e.  y  -> 
t  e.  z ) )
30 elunii 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( t  e.  z  /\  z  e.  c )  ->  t  e.  U. c
)
3130expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  c  ->  (
t  e.  z  -> 
t  e.  U. c
) )
326biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  U. c  ->  t  e.  X
) )
3331, 32sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  z  e.  c )  ->  ( t  e.  z  ->  t  e.  X
) )
3429, 33syl9r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  z  e.  c )  ->  ( y  C_  z  ->  ( t  e.  y  ->  t  e.  X
) ) )
3534rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( E. z  e.  c  y  C_  z  ->  ( t  e.  y  ->  t  e.  X
) ) )
3635com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  y  ->  ( E. z  e.  c  y  C_  z  ->  t  e.  X
) ) )
3736impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z )  ->  t  e.  X ) )
3837rexlimdvw 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z )  ->  t  e.  X ) )
3928, 38impbid 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  <->  E. y  e.  ( fi
`  x ) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y 
C_  z ) ) )
40 elunirab 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  <->  E. y  e.  ( fi `  x
) ( t  e.  y  /\  E. z  e.  c  y  C_  z ) )
4139, 40syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( t  e.  X  <->  t  e.  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } ) )
4241eqrdv 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  ->  X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } )
43 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  C_  ( fi `  x )
44 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( fi
`  x )  e. 
_V
4544elpw2 4565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  e.  ~P ( fi `  x )  <->  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  C_  ( fi
`  x ) )
4643, 45mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  e.  ~P ( fi `  x )
47 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  U. a  =  U. { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z } )
4847eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( X  =  U. a  <->  X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } ) )
49 pweq 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ~P a  =  ~P { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z } )
5049ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( ~P a  i^i  Fin )  =  ( ~P {
y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) )
5150rexeqdv 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b  <->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
5248, 51imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  <->  ( X  =  U. { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
5352rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  e.  ~P ( fi `  x )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  ->  ( X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
5446, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  ->  ( X  =  U. { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
5542, 54syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( A. a  e. 
~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
56 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( ~P {
y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin )  <->  ( b  C_ 
{ y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  /\  b  e.  Fin ) )
57 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b 
C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( t  e.  b  ->  t  e.  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z } ) )
58 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  t  ->  (
y  C_  z  <->  t  C_  z ) )
5958rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  t  ->  ( E. z  e.  c 
y  C_  z  <->  E. z  e.  c  t  C_  z ) )
6059elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  e.  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  <->  ( t  e.  ( fi `  x
)  /\  E. z  e.  c  t  C_  z ) )
6160simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. z  e.  c  t  C_  z )
6257, 61syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b 
C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( t  e.  b  ->  E. z  e.  c  t  C_  z ) )
6362ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b 
C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  A. t  e.  b  E. z  e.  c  t  C_  z )
64 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( f `  t )  ->  (
t  C_  z  <->  t  C_  ( f `  t
) ) )
6564ac6sfi 7833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A. t  e.  b  E. z  e.  c  t  C_  z )  ->  E. f
( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) )
6665ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( A. t  e.  b  E. z  e.  c 
t  C_  z  ->  E. f ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) ) )
6763, 66syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
b  C_  { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. f
( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) ) )
6867adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  E. f
( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) ) ) )
69 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  f : b --> c )
70 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : b --> c  ->  ran  f  C_  c )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  C_  c )
72 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  b  e.  Fin )
73 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : b --> c  -> 
f  Fn  b )
74 dffn4 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  b  <->  f :
b -onto-> ran  f )
7573, 74sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : b --> c  -> 
f : b -onto-> ran  f )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  (
f `  t )
)  ->  f :
b -onto-> ran  f )
7776ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  f : b
-onto->
ran  f )
78 fodomfi 7868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  f : b -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  ~<_  b )
7972, 77, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  ~<_  b )
80 domfi 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  ran  f  ~<_  b )  ->  ran  f  e.  Fin )
8172, 79, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
8271, 81jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ( ran  f  C_  c  /\  ran  f  e.  Fin ) )
83 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  e.  ~P c  /\  ran  f  e. 
Fin ) )
84 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  c  e. 
_V
8584elpw2 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ran  f  e.  ~P c  <->  ran  f  C_  c )
8685anbi1i 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ran  f  e.  ~P c  /\  ran  f  e. 
Fin )  <->  ( ran  f  C_  c  /\  ran  f  e.  Fin )
)
8783, 86bitr2i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ran  f  C_  c  /\  ran  f  e.  Fin ) 
<->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
8882, 87sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
89 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  X  =  U. b )
90 uniiun 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  U. b  =  U_ t  e.  b  t
91 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t ) )
92 ss2iun 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
)  ->  U_ t  e.  b  t  C_  U_ t  e.  b  ( f `  t ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U_ t  e.  b  t  C_  U_ t  e.  b  ( f `  t ) )
9490, 93syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U. b  C_  U_ t  e.  b  ( f `  t ) )
95 fniunfv 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  b  ->  U_ t  e.  b  ( f `  t )  =  U. ran  f )
9669, 73, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U_ t  e.  b  ( f `  t
)  =  U. ran  f )
9794, 96sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U. b  C_  U. ran  f )
9889, 97eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  X  C_  U. ran  f )
99 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  c  C_  J
)
10071, 99sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  ran  f  C_  J )
101 uniss 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  U. J
)
102101, 1syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  X
)
103100, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  U. ran  f  C_  X )
10498, 103eqssd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  X  =  U. ran  f )
105 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  =  ran  f  ->  U. d  =  U. ran  f )
106105eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  =  ran  f  -> 
( X  =  U. d 
<->  X  =  U. ran  f ) )
107106rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d )
10888, 104, 107syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  /\  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  /\  X  =  U. b ) )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d )
109108exp32 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  ( f `  t
) )  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
110109exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : b --> c  /\  A. t  e.  b  t  C_  (
f `  t )
)  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) )
11168, 110syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  =  (
topGen `  ( fi `  x ) )  /\  c  C_  J  /\  X  =  U. c )  /\  b  e.  Fin )  ->  ( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
112111ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( b  e.  Fin  ->  ( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) ) )
113112com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( b  C_  { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  ->  (
b  e.  Fin  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) ) )
114113impd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( ( b  C_  { y  e.  ( fi
`  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  /\  b  e.  Fin )  ->  ( X  = 
U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) )
11556, 114syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x
)  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin )  ->  ( X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
116115rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( E. b  e.  ( ~P { y  e.  ( fi `  x )  |  E. z  e.  c  y  C_  z }  i^i  Fin ) X  =  U. b  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )
11755, 116syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  -> 
( A. a  e. 
~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) )
1181173exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( c  C_  J  ->  ( X  = 
U. c  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) ) )
119118com34 85 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( c  C_  J  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) ) )
120119com23 80 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( c  C_  J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) ) )
1214, 120syl7bi 238 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( c  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) ) )
122121ralrimdv 2811 . . . . . . 7  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
123 fibas 20070 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
124 tgcl 20062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( fi `  x )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  e.  Top )
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  ( fi `  x
) )  e.  Top
126 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( J  e. 
Top 
<->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  e. 
Top ) )
127125, 126mpbiri 241 . . . . . . 7  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  J  e.  Top )
128122, 127jctild 552 . . . . . 6  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) ) )
1291iscmp 20480 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
130128, 129syl6ibr 235 . . . . 5  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  ( fi `  x ) ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)  ->  J  e.  Comp ) )
1313, 130syld 44 . . . 4  |-  ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  ->  ( A. c  e.  ~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)  ->  J  e.  Comp ) )
132131imp 436 . . 3  |-  ( ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x
) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )  ->  J  e.  Comp )
133132exlimiv 1784 . 2  |-  ( E. x ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e.  ~P  x
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )  ->  J  e.  Comp )
1342, 133impbii 192 1  |-  ( J  e.  Comp  <->  E. x ( J  =  ( topGen `  ( fi `  x ) )  /\  A. c  e. 
~P  x ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589    ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587   ficfi 7942   topGenctg 15414   Topctop 19994   TopBasesctb 19997   Compccmp 20478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-card 8391  df-ac 8565  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-cmp 20479
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