Theorem alexsubALT 19645

Description: The Alexander Subbase Theorem: a space is compact iff it has a subbase such that any cover taken from the subbase has a finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
alexsubALT.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
alexsubALT	|- ( J e. Comp <-> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, x, J   X, c, d, x

Proof of Theorem alexsubALT

Dummy variables a b f t w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexsubALT.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	alexsubALTlem1 19641	. 2 |- ( J e. Comp -> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
3	1	alexsubALTlem4 19644	. . . . 5 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
4		selpw 3888	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J <-> c C_ J )
5		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X = U. c -> ( t e. X <-> t e. U. c ) )
6	5	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> t e. U. c ) )
7		eluni 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t e. U. c <-> E. w ( t e. w /\ w e. c ) )
8		ssel 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( c C_ J -> ( w e. c -> w e. J ) )
9		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( w e. J <-> w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) ) )
10		tg2 18592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ t e. w ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) )
11	10	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) )
12	9, 11	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( w e. J -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) ) )
13	8, 12	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( w e. c -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) ) )
14	13	3impia 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) ) )
15		sseq2 3399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z = w -> ( y C_ z <-> y C_ w ) )
16	15	rspcev 3094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( w e. c /\ y C_ w ) -> E. z e. c y C_ z )
17	16	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. c -> ( y C_ w -> E. z e. c y C_ z ) )
18	17	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( y C_ w -> E. z e. c y C_ z ) )
19	18	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( ( t e. y /\ y C_ w ) -> ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
20	19	reximdv 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ y C_ w ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
21	14, 20	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ w e. c ) -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
22	21	3expia 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( w e. c -> ( t e. w -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( t e. w -> ( w e. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) ) )
24	23	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( ( t e. w /\ w e. c ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
25	24	exlimdv 1690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( E. w ( t e. w /\ w e. c ) -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
26	7, 25	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J ) -> ( t e. U. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
27	26	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. U. c -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
28	6, 27	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X -> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
29		ssel 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y C_ z -> ( t e. y -> t e. z ) )
30		elunii 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t e. z /\ z e. c ) -> t e. U. c )
31	30	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. c -> ( t e. z -> t e. U. c ) )
32	6	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. U. c -> t e. X ) )
33	31, 32	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ z e. c ) -> ( t e. z -> t e. X ) )
34	29, 33	syl9r 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ z e. c ) -> ( y C_ z -> ( t e. y -> t e. X ) ) )
35	34	rexlimdva 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. z e. c y C_ z -> ( t e. y -> t e. X ) ) )
36	35	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. y -> ( E. z e. c y C_ z -> t e. X ) ) )
37	36	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) -> t e. X ) )
38	37	rexlimdvw 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) -> t e. X ) )
39	28, 38	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) ) )
40		elunirab 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } <-> E. y e. ( fi ` x ) ( t e. y /\ E. z e. c y C_ z ) )
41	39, 40	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( t e. X <-> t e. U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
42	41	eqrdv 2441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
43		ssrab2 3458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } C_ ( fi ` x )
44		fvex 5722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( fi ` x ) e. _V
45	44	elpw2 4477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x ) <-> { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } C_ ( fi ` x ) )
46	43, 45	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x )
47		unieq 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> U. a = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
48	47	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. a <-> X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
49		pweq 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ~P a = ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } )
50	49	ineq1d 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( ~P a i^i Fin ) = ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) )
51	50	rexeqdv 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b <-> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
52	48, 51	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) <-> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) ) )
53	52	rspcv 3090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } e. ~P ( fi ` x ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) ) )
54	46, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
55	42, 54	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b ) )
56		elfpw 7634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) <-> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } /\ b e. Fin ) )
57		ssel 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( t e. b -> t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } ) )
58		sseq1 3398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = t -> ( y C_ z <-> t C_ z ) )
59	58	rexbidv 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = t -> ( E. z e. c y C_ z <-> E. z e. c t C_ z ) )
60	59	elrab 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } <-> ( t e. ( fi ` x ) /\ E. z e. c t C_ z ) )
61	60	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t e. { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. z e. c t C_ z )
62	57, 61	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( t e. b -> E. z e. c t C_ z ) )
63	62	ralrimiv 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> A. t e. b E. z e. c t C_ z )
64		sseq2 3399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( f ` t ) -> ( t C_ z <-> t C_ ( f ` t ) ) )
65	64	ac6sfi 7577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( b e. Fin /\ A. t e. b E. z e. c t C_ z ) -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) )
66	65	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b e. Fin -> ( A. t e. b E. z e. c t C_ z -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
67	63, 66	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. Fin -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
68	67	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) ) )
69		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> f : b --> c )
70		frn 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f : b --> c -> ran f C_ c )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f C_ c )
72		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> b e. Fin )
73		ffn 5580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f : b --> c -> f Fn b )
74		dffn4 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f Fn b <-> f : b -onto-> ran f )
75	73, 74	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f : b --> c -> f : b -onto-> ran f )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> f : b -onto-> ran f )
77	76	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> f : b -onto-> ran f )
78		fodomfi 7611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. Fin /\ f : b -onto-> ran f ) -> ran f ~<_ b )
79	72, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f ~<_ b )
80		domfi 7555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. Fin /\ ran f ~<_ b ) -> ran f e. Fin )
81	72, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f e. Fin )
82	71, 81	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) )
83		elin 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ran f e. ~P c /\ ran f e. Fin ) )
84		vex 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- c e. _V
85	84	elpw2 4477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ran f e. ~P c <-> ran f C_ c )
86	85	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f e. ~P c /\ ran f e. Fin ) <-> ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) )
87	83, 86	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ran f C_ c /\ ran f e. Fin ) <-> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
88	82, 87	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f e. ( ~P c i^i Fin ) )
89		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X = U. b )
90		uniiun 4244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U. b = U_ t e. b t
91		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> A. t e. b t C_ ( f ` t ) )
92		ss2iun 4207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. t e. b t C_ ( f ` t ) -> U_ t e. b t C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U_ t e. b t C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
94	90, 93	syl5eqss 3421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. b C_ U_ t e. b ( f ` t ) )
95		fniunfv 5985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn b -> U_ t e. b ( f ` t ) = U. ran f )
96	69, 73, 95	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U_ t e. b ( f ` t ) = U. ran f )
97	94, 96	sseqtrd 3413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. b C_ U. ran f )
98	89, 97	eqsstrd 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X C_ U. ran f )
99		simpll2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> c C_ J )
100	71, 99	sstrd 3387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> ran f C_ J )
101		uniss 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ran f C_ J -> U. ran f C_ U. J )
102	101, 1	syl6sseqr 3424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ran f C_ J -> U. ran f C_ X )
103	100, 102	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> U. ran f C_ X )
104	98, 103	eqssd 3394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> X = U. ran f )
105		unieq 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ran f -> U. d = U. ran f )
106	105	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ran f -> ( X = U. d <-> X = U. ran f ) )
107	106	rspcev 3094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ran f e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ran f ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
108	88, 104, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) /\ ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) /\ X = U. b ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
109	108	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
110	109	exlimdv 1690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( E. f ( f : b --> c /\ A. t e. b t C_ ( f ` t ) ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
111	68, 110	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) /\ b e. Fin ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
112	111	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b e. Fin -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
113	112	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } -> ( b e. Fin -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
114	113	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( ( b C_ { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } /\ b e. Fin ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
115	56, 114	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) -> ( X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
116	115	rexlimdv 2861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( E. b e. ( ~P { y e. ( fi ` x ) | E. z e. c y C_ z } i^i Fin ) X = U. b -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
117	55, 116	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
118	117	3exp 1186	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
119	118	com34 83	. . . . . . . . . 10 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( c C_ J -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
120	119	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
121	4, 120	syl7bi 230	. . . . . . . 8 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
122	121	ralrimdv 2826	. . . . . . 7 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
123		fibas 18604	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` x ) e. TopBases
124		tgcl 18596	. . . . . . . . 9 |- ( ( fi ` x ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top )
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top
126		eleq1 2503	. . . . . . . 8 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( J e. Top <-> ( topGen ` ( fi ` x ) ) e. Top ) )
127	125, 126	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> J e. Top )
128	122, 127	jctild 543	. . . . . 6 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) )
129	1	iscmp 19013	. . . . . 6 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
130	128, 129	syl6ibr 227	. . . . 5 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) -> J e. Comp ) )
131	3, 130	syld 44	. . . 4 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> J e. Comp ) )
132	131	imp 429	. . 3 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> J e. Comp )
133	132	exlimiv 1688	. 2 |- ( E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> J e. Comp )
134	2, 133	impbii 188	1 |- ( J e. Comp <-> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   i^i cin 3348   C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   U_ciun 4192   class class class wbr 4313   ran crn 4862   Fn wfn 5434   -->wf 5435   -onto->wfo 5437   ` cfv 5439   ~<_ cdom 7329   Fincfn 7331   ficfi 7681   topGenctg 14397   Topctop 18520   TopBasesctb 18524   Compccmp 19011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-ac2 8653

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-rpss 6381  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-fin 7335  df-fi 7682  df-card 8130  df-ac 8307  df-topgen 14403  df-top 18525  df-bases 18527  df-cmp 19012

This theorem is referenced by: (None)