Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem alephval3 8559
 Description: An alternate way to express the value of the aleph function: it is the least infinite cardinal different from all values at smaller arguments. Definition of aleph in [Enderton] p. 212 and definition of aleph in [BellMachover] p. 490 . (Contributed by NM, 16-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval3
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem alephval3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephcard 8519 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 alephgeom 8531 . . . 4
43biimpi 199 . . 3
5 alephord2i 8526 . . . . 5
6 elirr 8131 . . . . . . 7
7 eleq2 2538 . . . . . . 7
86, 7mtbiri 310 . . . . . 6
98con2i 124 . . . . 5
105, 9syl6 33 . . . 4
1110ralrimiv 2808 . . 3
12 fvex 5889 . . . 4
13 fveq2 5879 . . . . . 6
14 id 22 . . . . . 6
1513, 14eqeq12d 2486 . . . . 5
16 sseq2 3440 . . . . 5
17 eqeq1 2475 . . . . . . 7
1817notbid 301 . . . . . 6
1918ralbidv 2829 . . . . 5
2015, 16, 193anbi123d 1365 . . . 4
2112, 20elab 3173 . . 3
222, 4, 11, 21syl3anbrc 1214 . 2
23 cardalephex 8539 . . . . . . . . . 10
2423biimpac 494 . . . . . . . . 9
25 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 alephord2 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27sylan9bbr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . 14
30 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31jcad 542 . . . . . . . . . . . . 13
3332exp4c 619 . . . . . . . . . . . 12
3433com3r 81 . . . . . . . . . . 11
3534imp4b 601 . . . . . . . . . 10
3635reximdv2 2855 . . . . . . . . 9
3724, 36syl5 32 . . . . . . . 8
3837imp 436 . . . . . . 7
39 dfrex2 2837 . . . . . . 7
4038, 39sylib 201 . . . . . 6
41 nan 590 . . . . . 6
4240, 41mpbir 214 . . . . 5
4342ex 441 . . . 4
44 vex 3034 . . . . . . 7
45 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
46 id 22 . . . . . . . . 9
4745, 46eqeq12d 2486 . . . . . . . 8
48 sseq2 3440 . . . . . . . 8
49 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
5049notbid 301 . . . . . . . . 9
5150ralbidv 2829 . . . . . . . 8
5247, 48, 513anbi123d 1365 . . . . . . 7
5344, 52elab 3173 . . . . . 6
54 df-3an 1009 . . . . . 6
5553, 54bitri 257 . . . . 5
5655notbii 303 . . . 4
5743, 56syl6ibr 235 . . 3
5857ralrimiv 2808 . 2
59 cardon 8396 . . . . . 6
60 eleq1 2537 . . . . . 6
6159, 60mpbii 216 . . . . 5
62613ad2ant1 1051 . . . 4
6362abssi 3490 . . 3
64 oneqmini 5481 . . 3
6563, 64ax-mp 5 . 2
6622, 58, 65syl2anc 673 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  cint 4226  con0 5430  cfv 5589  com 6711  ccrd 8387  cale 8388 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-har 8091  df-card 8391  df-aleph 8392 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator