Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval3 Structured version   Unicode version

Theorem alephval3 8508
 Description: An alternate way to express the value of the aleph function: it is the least infinite cardinal different from all values at smaller arguments. Definition of aleph in [Enderton] p. 212 and definition of aleph in [BellMachover] p. 490 . (Contributed by NM, 16-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval3
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem alephval3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephcard 8468 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 alephgeom 8480 . . . 4
43biimpi 194 . . 3
5 alephord2i 8475 . . . . 5
6 elirr 8042 . . . . . . 7
7 eleq2 2530 . . . . . . 7
86, 7mtbiri 303 . . . . . 6
98con2i 120 . . . . 5
105, 9syl6 33 . . . 4
1110ralrimiv 2869 . . 3
12 fvex 5882 . . . 4
13 fveq2 5872 . . . . . 6
14 id 22 . . . . . 6
1513, 14eqeq12d 2479 . . . . 5
16 sseq2 3521 . . . . 5
17 eqeq1 2461 . . . . . . 7
1817notbid 294 . . . . . 6
1918ralbidv 2896 . . . . 5
2015, 16, 193anbi123d 1299 . . . 4
2112, 20elab 3246 . . 3
222, 4, 11, 21syl3anbrc 1180 . 2
23 cardalephex 8488 . . . . . . . . . 10
2423biimpac 486 . . . . . . . . 9
25 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 alephord2 8474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . 14
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31jcad 533 . . . . . . . . . . . . 13
3332exp4c 608 . . . . . . . . . . . 12
3433com3r 79 . . . . . . . . . . 11
3534imp4b 590 . . . . . . . . . 10
3635reximdv2 2928 . . . . . . . . 9
3724, 36syl5 32 . . . . . . . 8
3837imp 429 . . . . . . 7
39 dfrex2 2908 . . . . . . 7
4038, 39sylib 196 . . . . . 6
41 nan 580 . . . . . 6
4240, 41mpbir 209 . . . . 5
4342ex 434 . . . 4
44 vex 3112 . . . . . . 7
45 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
46 id 22 . . . . . . . . 9
4745, 46eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
48 sseq2 3521 . . . . . . . 8
49 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
5049notbid 294 . . . . . . . . 9
5150ralbidv 2896 . . . . . . . 8
5247, 48, 513anbi123d 1299 . . . . . . 7
5344, 52elab 3246 . . . . . 6
54 df-3an 975 . . . . . 6
5553, 54bitri 249 . . . . 5
5655notbii 296 . . . 4
5743, 56syl6ibr 227 . . 3
5857ralrimiv 2869 . 2
59 cardon 8342 . . . . . 6
60 eleq1 2529 . . . . . 6
6159, 60mpbii 211 . . . . 5
62613ad2ant1 1017 . . . 4
6362abssi 3571 . . 3
64 oneqmini 4938 . . 3
6563, 64ax-mp 5 . 2
6622, 58, 65syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442  wral 2807  wrex 2808   wss 3471  cint 4288  con0 4887  cfv 5594  com 6699  ccrd 8333  cale 8334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-reg 8036  ax-inf2 8075 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-har 8002  df-card 8337  df-aleph 8338 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator