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Theorem alephval2 8860
Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem alephval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordi 8368 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
21ralrimiv 2794 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) )
3 alephon 8363 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  e.  On
42, 3jctil 535 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
5 breq2 4371 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( ( aleph `  y )  ~<  x 
<->  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
65ralbidv 2821 . . . . 5  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x 
<-> 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
76elrab 3182 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  <->  ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
84, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
98adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
10 cardsdomelir 8267 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( card `  ( aleph `  A ) )  ->  z  ~<  ( aleph `  A ) )
11 alephcard 8364 . . . . . 6  |-  ( card `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A )
1211eqcomi 2395 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  =  (
card `  ( aleph `  A
) )
1310, 12eleq2s 2490 . . . 4  |-  ( z  e.  ( aleph `  A
)  ->  z  ~<  (
aleph `  A ) )
14 omex 7974 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
15 vex 3037 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
16 entri3 8847 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om ) )
1714, 15, 16mp2an 670 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )
18 carddom 8842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  z
)  <->  om  ~<_  z ) )
1914, 15, 18mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  ~<_  z )
20 cardom 8280 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  om )  =  om
2120sseq1i 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  C_  ( card `  z
) )
2219, 21bitr3i 251 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  z  <->  om  C_  ( card `  z ) )
23 cardidm 8253 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )
24 cardalephex 8384 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )  <->  E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x )
) )
2523, 24mpbii 211 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  E. x  e.  On  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )
26 alephord 8369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2726ancoms 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2815cardid 8835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( card `  z )  ~~  z
29 sdomen1 7580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
)
31 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( card `  z )  ~< 
( aleph `  A )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
3230, 31syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3327, 32sylan9bb 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
34 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( aleph `  y )  =  ( aleph `  x )
)
3534breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( aleph `  y )  ~<  z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  z ) )
3635rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  ( aleph `  x )  ~<  z
) )
37 sdomirr 7573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
38 sdomen2 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z ) )
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z )
40 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
) )
4139, 40syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  ( aleph `  x
) ) )
4237, 41mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  ( aleph `  x )  ~< 
z )
4336, 42nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
4443com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
4544adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
4633, 45sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
4746exp31 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( card `  z
)  =  ( aleph `  x )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) ) )
4847rexlimdv 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
4925, 48syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5022, 49syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( om 
~<_  z  ->  ( z 
~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5150adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( om  ~<_  z  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) ) )
52 ne0i 3717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
53 onelon 4817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
54 alephgeom 8376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  y ) )
55 alephon 8363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( aleph `  y )  e.  On
56 ssdomg 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
aleph `  y )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) )
5854, 57sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  y ) )
59 domtr 7487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  y ) )  -> 
z  ~<_  ( aleph `  y
) )
6058, 59sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  z  ~<_  ( aleph `  y )
)
61 domnsym 7562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  ~<_  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  ~<  z )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6353, 62sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6463expr 613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
6564ralrimiv 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
66 r19.2z 3834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
6766ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
6852, 65, 67syl2im 38 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
69 rexnal 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  <->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
)
7068, 69syl6ib 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7170com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7271expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
7372a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7473com3r 79 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) ) )
7551, 74jaod 378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7617, 75mpi 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
77 breq2 4371 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( aleph `  y )  ~<  x  <->  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
7877ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x  <->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
7978elrab 3182 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } 
<->  ( z  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
8079simprbi 462 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z )
8180con3i 135 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
8213, 76, 81syl56 34 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  e.  (
aleph `  A )  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8382ralrimiv 2794 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
84 ssrab2 3499 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On
85 oneqmini 4843 . . 3  |-  ( { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On  ->  ( ( ( aleph `  A )  e.  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8684, 85ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
879, 83, 86syl2anc 659 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   |^|cint 4199   class class class wbr 4367   Oncon0 4792   ` cfv 5496   omcom 6599    ~~ cen 7432    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434   cardccrd 8229   alephcale 8230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-ac2 8756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-oi 7850  df-har 7899  df-card 8233  df-aleph 8234  df-ac 8410
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