Theorem alephval2 8860

Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephval2	|- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem alephval2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 8368	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( y e. A -> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
2	1	ralrimiv 2794	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) )
3		alephon 8363	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) e. On
4	2, 3	jctil 535	. . . 4 |- ( A e. On -> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
5		breq2 4371	. . . . . 6 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
6	5	ralbidv 2821	. . . . 5 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
7	6	elrab 3182	. . . 4 |- ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
8	4, 7	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. On -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
9	8	adantr 463	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
10		cardsdomelir 8267	. . . . 5 |- ( z e. ( card ` ( aleph ` A ) ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
11		alephcard 8364	. . . . . 6 |- ( card ` ( aleph ` A ) ) = ( aleph ` A )
12	11	eqcomi 2395	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) = ( card ` ( aleph ` A ) )
13	10, 12	eleq2s 2490	. . . 4 |- ( z e. ( aleph ` A ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
14		omex 7974	. . . . . 6 |- om e. _V
15		vex 3037	. . . . . 6 |- z e. _V
16		entri3 8847	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) )
17	14, 15, 16	mp2an 670	. . . . 5 |- ( om ~<_ z \/ z ~<_ om )
18		carddom 8842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z ) )
19	14, 15, 18	mp2an 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z )
20		cardom 8280	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` om ) = om
21	20	sseq1i 3441	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om C_ ( card ` z ) )
22	19, 21	bitr3i 251	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ z <-> om C_ ( card ` z ) )
23		cardidm 8253	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z )
24		cardalephex 8384	. . . . . . . . . 10 |- ( om C_ ( card ` z ) -> ( ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z ) <-> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) )
25	23, 24	mpbii 211	. . . . . . . . 9 |- ( om C_ ( card ` z ) -> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) )
26		alephord 8369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
27	26	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
28	15	cardid 8835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( card ` z ) ~~ z
29		sdomen1 7580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) )
31		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
32	30, 31	syl5rbbr 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
33	27, 32	sylan9bb 697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
34		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( aleph ` y ) = ( aleph ` x ) )
35	34	breq1d 4377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( aleph ` y ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
36	35	rspcv 3131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> ( aleph ` x ) ~< z ) )
37		sdomirr 7573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x )
38		sdomen2 7581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z )
40		breq2 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
41	39, 40	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
42	37, 41	mtbiri 301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. ( aleph ` x ) ~< z )
43	36, 42	nsyli 141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
44	43	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
45	44	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
46	33, 45	sylbird 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
47	46	exp31 602	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( x e. On -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2872	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
49	25, 48	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( om C_ ( card ` z ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
50	22, 49	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
51	50	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
52		ne0i 3717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. A -> A =/= (/) )
53		onelon 4817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
54		alephgeom 8376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On <-> om C_ ( aleph ` y ) )
55		alephon 8363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( aleph ` y ) e. On
56		ssdomg 7480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( aleph ` y ) e. On -> ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
58	54, 57	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. On -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
59		domtr 7487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z ~<_ om /\ om ~<_ ( aleph ` y ) ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
60	58, 59	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
61		domnsym 7562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z ~<_ ( aleph ` y ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
63	53, 62	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z ~<_ om /\ ( A e. On /\ y e. A ) ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
64	63	expr 613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( y e. A -> -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
65	64	ralrimiv 2794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
66		r19.2z 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
67	66	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
68	52, 65, 67	syl2im 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
69		rexnal 2830	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z <-> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
70	68, 69	syl6ib 226	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
71	70	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( (/) e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
72	71	expimpd 601	. . . . . . . 8 |- ( z ~<_ om -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
73	72	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
74	73	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
75	51, 74	jaod 378	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
76	17, 75	mpi 17	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
77		breq2 4371	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< z ) )
78	77	ralbidv 2821	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
79	78	elrab 3182	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( z e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
80	79	simprbi 462	. . . . 5 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
81	80	con3i 135	. . . 4 |- ( -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
82	13, 76, 81	syl56 34	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z e. ( aleph ` A ) -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
83	82	ralrimiv 2794	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
84		ssrab2 3499	. . 3 |- { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On
85		oneqmini 4843	. . 3 |- ( { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On -> ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
87	9, 83, 86	syl2anc 659	1 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034   C_ wss 3389   (/)c0 3711   |^|cint 4199   class class class wbr 4367   Oncon0 4792   ` cfv 5496   omcom 6599   ~~ cen 7432   ~<_ cdom 7433   ~< csdm 7434   cardccrd 8229   alephcale 8230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-ac2 8756

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-oi 7850  df-har 7899  df-card 8233  df-aleph 8234  df-ac 8410

This theorem is referenced by: (None)