Theorem alephval2 8945

Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephval2	|- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem alephval2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 8453	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( y e. A -> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
2	1	ralrimiv 2853	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) )
3		alephon 8448	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) e. On
4	2, 3	jctil 537	. . . 4 |- ( A e. On -> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
5		breq2 4437	. . . . . 6 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
6	5	ralbidv 2880	. . . . 5 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
7	6	elrab 3241	. . . 4 |- ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
8	4, 7	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. On -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
9	8	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
10		cardsdomelir 8352	. . . . 5 |- ( z e. ( card ` ( aleph ` A ) ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
11		alephcard 8449	. . . . . 6 |- ( card ` ( aleph ` A ) ) = ( aleph ` A )
12	11	eqcomi 2454	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) = ( card ` ( aleph ` A ) )
13	10, 12	eleq2s 2549	. . . 4 |- ( z e. ( aleph ` A ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
14		omex 8058	. . . . . 6 |- om e. _V
15		vex 3096	. . . . . 6 |- z e. _V
16		entri3 8932	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) )
17	14, 15, 16	mp2an 672	. . . . 5 |- ( om ~<_ z \/ z ~<_ om )
18		carddom 8927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z ) )
19	14, 15, 18	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z )
20		cardom 8365	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` om ) = om
21	20	sseq1i 3510	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om C_ ( card ` z ) )
22	19, 21	bitr3i 251	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ z <-> om C_ ( card ` z ) )
23		cardidm 8338	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z )
24		cardalephex 8469	. . . . . . . . . 10 |- ( om C_ ( card ` z ) -> ( ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z ) <-> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) )
25	23, 24	mpbii 211	. . . . . . . . 9 |- ( om C_ ( card ` z ) -> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) )
26		alephord 8454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
27	26	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
28	15	cardid 8920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( card ` z ) ~~ z
29		sdomen1 7659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) )
31		breq1 4436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
32	30, 31	syl5rbbr 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
33	27, 32	sylan9bb 699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
34		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( aleph ` y ) = ( aleph ` x ) )
35	34	breq1d 4443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( aleph ` y ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
36	35	rspcv 3190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> ( aleph ` x ) ~< z ) )
37		sdomirr 7652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x )
38		sdomen2 7660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z )
40		breq2 4437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
41	39, 40	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
42	37, 41	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. ( aleph ` x ) ~< z )
43	36, 42	nsyli 141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
44	43	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
45	44	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
46	33, 45	sylbird 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
47	46	exp31 604	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( x e. On -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2931	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
49	25, 48	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( om C_ ( card ` z ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
50	22, 49	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
51	50	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
52		ne0i 3773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. A -> A =/= (/) )
53		onelon 4889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
54		alephgeom 8461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On <-> om C_ ( aleph ` y ) )
55		alephon 8448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( aleph ` y ) e. On
56		ssdomg 7559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( aleph ` y ) e. On -> ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
58	54, 57	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. On -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
59		domtr 7566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z ~<_ om /\ om ~<_ ( aleph ` y ) ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
60	58, 59	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
61		domnsym 7641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z ~<_ ( aleph ` y ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
63	53, 62	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z ~<_ om /\ ( A e. On /\ y e. A ) ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
64	63	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( y e. A -> -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
65	64	ralrimiv 2853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
66		r19.2z 3900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
67	66	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
68	52, 65, 67	syl2im 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
69		rexnal 2889	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z <-> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
70	68, 69	syl6ib 226	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
71	70	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( (/) e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
72	71	expimpd 603	. . . . . . . 8 |- ( z ~<_ om -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
73	72	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
74	73	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
75	51, 74	jaod 380	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
76	17, 75	mpi 17	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
77		breq2 4437	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< z ) )
78	77	ralbidv 2880	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
79	78	elrab 3241	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( z e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
80	79	simprbi 464	. . . . 5 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
81	80	con3i 135	. . . 4 |- ( -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
82	13, 76, 81	syl56 34	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z e. ( aleph ` A ) -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
83	82	ralrimiv 2853	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
84		ssrab2 3567	. . 3 |- { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On
85		oneqmini 4915	. . 3 |- ( { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On -> ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
87	9, 83, 86	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795   _Vcvv 3093   C_ wss 3458   (/)c0 3767   |^|cint 4267   class class class wbr 4433   Oncon0 4864   ` cfv 5574   omcom 6681   ~~ cen 7511   ~<_ cdom 7512   ~< csdm 7513   cardccrd 8314   alephcale 8315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-ac2 8841

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-oi 7933  df-har 7982  df-card 8318  df-aleph 8319  df-ac 8495

This theorem is referenced by: (None)