MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval2 Structured version   Unicode version

Theorem alephval2 8999
Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem alephval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordi 8507 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
21ralrimiv 2838 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) )
3 alephon 8502 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  e.  On
42, 3jctil 540 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
5 breq2 4425 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( ( aleph `  y )  ~<  x 
<->  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
65ralbidv 2865 . . . . 5  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x 
<-> 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
76elrab 3230 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  <->  ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
84, 7sylibr 216 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
98adantr 467 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
10 cardsdomelir 8410 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( card `  ( aleph `  A ) )  ->  z  ~<  ( aleph `  A ) )
11 alephcard 8503 . . . . . 6  |-  ( card `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A )
1211eqcomi 2436 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  =  (
card `  ( aleph `  A
) )
1310, 12eleq2s 2531 . . . 4  |-  ( z  e.  ( aleph `  A
)  ->  z  ~<  (
aleph `  A ) )
14 omex 8152 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
15 vex 3085 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
16 entri3 8986 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om ) )
1714, 15, 16mp2an 677 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )
18 carddom 8981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  z
)  <->  om  ~<_  z ) )
1914, 15, 18mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  ~<_  z )
20 cardom 8423 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  om )  =  om
2120sseq1i 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  C_  ( card `  z
) )
2219, 21bitr3i 255 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  z  <->  om  C_  ( card `  z ) )
23 cardidm 8396 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )
24 cardalephex 8523 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )  <->  E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x )
) )
2523, 24mpbii 215 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  E. x  e.  On  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )
26 alephord 8508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2726ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2815cardid 8974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( card `  z )  ~~  z
29 sdomen1 7720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
)
31 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( card `  z )  ~< 
( aleph `  A )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
3230, 31syl5rbbr 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3327, 32sylan9bb 705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
34 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( aleph `  y )  =  ( aleph `  x )
)
3534breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( aleph `  y )  ~<  z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  z ) )
3635rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  ( aleph `  x )  ~<  z
) )
37 sdomirr 7713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
38 sdomen2 7721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z ) )
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z )
40 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
) )
4139, 40syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  ( aleph `  x
) ) )
4237, 41mtbiri 305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  ( aleph `  x )  ~< 
z )
4336, 42nsyli 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
4443com12 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
4633, 45sylbird 239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
4746exp31 608 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( card `  z
)  =  ( aleph `  x )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) ) )
4847rexlimdv 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
4925, 48syl5 34 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5022, 49syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( om 
~<_  z  ->  ( z 
~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5150adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( om  ~<_  z  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) ) )
52 ne0i 3768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
53 onelon 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
54 alephgeom 8515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  y ) )
55 alephon 8502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( aleph `  y )  e.  On
56 ssdomg 7620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
aleph `  y )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) )
5854, 57sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  y ) )
59 domtr 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  y ) )  -> 
z  ~<_  ( aleph `  y
) )
6058, 59sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  z  ~<_  ( aleph `  y )
)
61 domnsym 7702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  ~<_  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  ~<  z )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6353, 62sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6463expr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
6564ralrimiv 2838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
66 r19.2z 3887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
6766ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
6852, 65, 67syl2im 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
69 rexnal 2874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  <->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
)
7068, 69syl6ib 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7170com12 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7271expimpd 607 . . . . . . . 8  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
7372a1d 27 . . . . . . 7  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7473com3r 83 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) ) )
7551, 74jaod 382 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7617, 75mpi 21 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
77 breq2 4425 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( aleph `  y )  ~<  x  <->  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
7877ralbidv 2865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x  <->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
7978elrab 3230 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } 
<->  ( z  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
8079simprbi 466 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z )
8180con3i 141 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
8213, 76, 81syl56 36 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  e.  (
aleph `  A )  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8382ralrimiv 2838 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
84 ssrab2 3547 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On
85 oneqmini 5491 . . 3  |-  ( { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On  ->  ( ( ( aleph `  A )  e.  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8684, 85ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
879, 83, 86syl2anc 666 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   (/)c0 3762   |^|cint 4253   class class class wbr 4421   Oncon0 5440   ` cfv 5599   omcom 6704    ~~ cen 7572    ~<_ cdom 7573    ~< csdm 7574   cardccrd 8372   alephcale 8373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-oi 8029  df-har 8077  df-card 8376  df-aleph 8377  df-ac 8549
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator