MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem alephval2 9015
Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem alephval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordi 8523 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  A  -> 
( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
21ralrimiv 2808 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) )
3 alephon 8518 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  e.  On
42, 3jctil 546 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
5 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( ( aleph `  y )  ~<  x 
<->  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
65ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  ( aleph `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x 
<-> 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A )
) )
76elrab 3184 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  <->  ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  ( aleph `  A ) ) )
84, 7sylibr 217 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  A )  e. 
{ x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
98adantr 472 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
10 cardsdomelir 8425 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( card `  ( aleph `  A ) )  ->  z  ~<  ( aleph `  A ) )
11 alephcard 8519 . . . . . 6  |-  ( card `  ( aleph `  A )
)  =  ( aleph `  A )
1211eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( aleph `  A )  =  (
card `  ( aleph `  A
) )
1310, 12eleq2s 2567 . . . 4  |-  ( z  e.  ( aleph `  A
)  ->  z  ~<  (
aleph `  A ) )
14 omex 8166 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
15 vex 3034 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
16 entri3 9002 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om ) )
1714, 15, 16mp2an 686 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )
18 carddom 8997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  z
)  <->  om  ~<_  z ) )
1914, 15, 18mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  ~<_  z )
20 cardom 8438 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  om )  =  om
2120sseq1i 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  om )  C_  ( card `  z )  <->  om  C_  ( card `  z
) )
2219, 21bitr3i 259 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  z  <->  om  C_  ( card `  z ) )
23 cardidm 8411 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )
24 cardalephex 8539 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( ( card `  ( card `  z
) )  =  (
card `  z )  <->  E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x )
) )
2523, 24mpbii 216 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  E. x  e.  On  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )
26 alephord 8524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2726ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  A  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
2815cardid 8990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( card `  z )  ~~  z
29 sdomen1 7734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  ~<  ( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
)
31 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( card `  z )  ~< 
( aleph `  A )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )
) )
3230, 31syl5rbbr 268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  A )  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
3327, 32sylan9bb 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  <->  z 
~<  ( aleph `  A )
) )
34 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( aleph `  y )  =  ( aleph `  x )
)
3534breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( aleph `  y )  ~<  z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  z ) )
3635rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  ( aleph `  x )  ~<  z
) )
37 sdomirr 7727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  ( aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
38 sdomen2 7735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  z )  ~~  z  ->  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z ) )
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
z )
40 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
( card `  z )  <->  (
aleph `  x )  ~< 
( aleph `  x )
) )
4139, 40syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( ( aleph `  x )  ~< 
z  <->  ( aleph `  x
)  ~<  ( aleph `  x
) ) )
4237, 41mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  ( aleph `  x )  ~< 
z )
4336, 42nsyli 148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
4443com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
4544adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( x  e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
4633, 45sylbird 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  ( card `  z
)  =  ( aleph `  x ) )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
4746exp31 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( card `  z
)  =  ( aleph `  x )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) ) )
4847rexlimdv 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  On  ( card `  z )  =  ( aleph `  x
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
4925, 48syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  ( card `  z
)  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5022, 49syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( om 
~<_  z  ->  ( z 
~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y
)  ~<  z ) ) )
5150adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( om  ~<_  z  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) ) )
52 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
53 onelon 5455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
54 alephgeom 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  y ) )
55 alephon 8518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( aleph `  y )  e.  On
56 ssdomg 7633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
aleph `  y )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( om  C_  ( aleph `  y )  ->  om  ~<_  ( aleph `  y
) )
5854, 57sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  y ) )
59 domtr 7640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  y ) )  -> 
z  ~<_  ( aleph `  y
) )
6058, 59sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  z  ~<_  ( aleph `  y )
)
61 domnsym 7716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  ~<_  ( aleph `  y )  ->  -.  ( aleph `  y
)  ~<  z )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6353, 62sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  A ) )  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )
6463expr 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
6564ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
66 r19.2z 3849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z )
6766ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
6852, 65, 67syl2im 38 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~< 
z ) )
69 rexnal 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  -.  ( aleph `  y )  ~<  z  <->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
)
7068, 69syl6ib 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7170com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ~<_  om  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) )
7271expimpd 614 . . . . . . . 8  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) )
7372a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7473com3r 81 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<_  om  ->  ( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  (
aleph `  y )  ~< 
z ) ) )
7551, 74jaod 387 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( ( om  ~<_  z  \/  z  ~<_  om )  ->  (
z  ~<  ( aleph `  A
)  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z
) ) )
7617, 75mpi 20 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  ~<  ( aleph `  A )  ->  -.  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
77 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( aleph `  y )  ~<  x  <->  ( aleph `  y
)  ~<  z ) )
7877ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x  <->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
7978elrab 3184 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } 
<->  ( z  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z ) )
8079simprbi 471 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  ->  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z )
8180con3i 142 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  z  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
8213, 76, 81syl56 34 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( z  e.  (
aleph `  A )  ->  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8382ralrimiv 2808 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
84 ssrab2 3500 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On
85 oneqmini 5481 . . 3  |-  ( { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  C_  On  ->  ( ( ( aleph `  A )  e.  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } ) )
8684, 85ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x }  /\  A. z  e.  ( aleph `  A )  -.  z  e.  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
879, 83, 86syl2anc 673 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( aleph `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( aleph `  y )  ~<  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   Oncon0 5430   ` cfv 5589   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   cardccrd 8387   alephcale 8388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-har 8091  df-card 8391  df-aleph 8392  df-ac 8565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator