Theorem alephval2 8999

Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephval2	|- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem alephval2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 8507	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( y e. A -> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
2	1	ralrimiv 2838	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) )
3		alephon 8502	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) e. On
4	2, 3	jctil 540	. . . 4 |- ( A e. On -> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
5		breq2 4425	. . . . . 6 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
6	5	ralbidv 2865	. . . . 5 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
7	6	elrab 3230	. . . 4 |- ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
8	4, 7	sylibr 216	. . 3 |- ( A e. On -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
9	8	adantr 467	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
10		cardsdomelir 8410	. . . . 5 |- ( z e. ( card ` ( aleph ` A ) ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
11		alephcard 8503	. . . . . 6 |- ( card ` ( aleph ` A ) ) = ( aleph ` A )
12	11	eqcomi 2436	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) = ( card ` ( aleph ` A ) )
13	10, 12	eleq2s 2531	. . . 4 |- ( z e. ( aleph ` A ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
14		omex 8152	. . . . . 6 |- om e. _V
15		vex 3085	. . . . . 6 |- z e. _V
16		entri3 8986	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) )
17	14, 15, 16	mp2an 677	. . . . 5 |- ( om ~<_ z \/ z ~<_ om )
18		carddom 8981	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z ) )
19	14, 15, 18	mp2an 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z )
20		cardom 8423	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` om ) = om
21	20	sseq1i 3489	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om C_ ( card ` z ) )
22	19, 21	bitr3i 255	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ z <-> om C_ ( card ` z ) )
23		cardidm 8396	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z )
24		cardalephex 8523	. . . . . . . . . 10 |- ( om C_ ( card ` z ) -> ( ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z ) <-> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) )
25	23, 24	mpbii 215	. . . . . . . . 9 |- ( om C_ ( card ` z ) -> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) )
26		alephord 8508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
27	26	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
28	15	cardid 8974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( card ` z ) ~~ z
29		sdomen1 7720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) )
31		breq1 4424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
32	30, 31	syl5rbbr 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
33	27, 32	sylan9bb 705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
34		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( aleph ` y ) = ( aleph ` x ) )
35	34	breq1d 4431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( aleph ` y ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
36	35	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> ( aleph ` x ) ~< z ) )
37		sdomirr 7713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x )
38		sdomen2 7721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z )
40		breq2 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
41	39, 40	syl5bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
42	37, 41	mtbiri 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. ( aleph ` x ) ~< z )
43	36, 42	nsyli 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
44	43	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
45	44	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
46	33, 45	sylbird 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
47	46	exp31 608	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( x e. On -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2916	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
49	25, 48	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( om C_ ( card ` z ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
50	22, 49	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
51	50	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
52		ne0i 3768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. A -> A =/= (/) )
53		onelon 5465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
54		alephgeom 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On <-> om C_ ( aleph ` y ) )
55		alephon 8502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( aleph ` y ) e. On
56		ssdomg 7620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( aleph ` y ) e. On -> ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
58	54, 57	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. On -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
59		domtr 7627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z ~<_ om /\ om ~<_ ( aleph ` y ) ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
60	58, 59	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
61		domnsym 7702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z ~<_ ( aleph ` y ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
63	53, 62	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z ~<_ om /\ ( A e. On /\ y e. A ) ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
64	63	expr 619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( y e. A -> -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
65	64	ralrimiv 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
66		r19.2z 3887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
67	66	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
68	52, 65, 67	syl2im 40	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
69		rexnal 2874	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z <-> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
70	68, 69	syl6ib 230	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
71	70	com12 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( (/) e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
72	71	expimpd 607	. . . . . . . 8 |- ( z ~<_ om -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
73	72	a1d 27	. . . . . . 7 |- ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
74	73	com3r 83	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
75	51, 74	jaod 382	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
76	17, 75	mpi 21	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
77		breq2 4425	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< z ) )
78	77	ralbidv 2865	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
79	78	elrab 3230	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( z e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
80	79	simprbi 466	. . . . 5 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
81	80	con3i 141	. . . 4 |- ( -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
82	13, 76, 81	syl56 36	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z e. ( aleph ` A ) -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
83	82	ralrimiv 2838	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
84		ssrab2 3547	. . 3 |- { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On
85		oneqmini 5491	. . 3 |- ( { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On -> ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
87	9, 83, 86	syl2anc 666	1 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   C_ wss 3437   (/)c0 3762   |^|cint 4253   class class class wbr 4421   Oncon0 5440   ` cfv 5599   omcom 6704   ~~ cen 7572   ~<_ cdom 7573   ~< csdm 7574   cardccrd 8372   alephcale 8373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-oi 8029  df-har 8077  df-card 8376  df-aleph 8377  df-ac 8549

This theorem is referenced by: (None)