Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsuc2 Structured version   Unicode version

Theorem alephsuc2 8364
 Description: An alternate representation of a successor aleph. The aleph function is the function obtained from the hartogs 7872 function by transfinite recursion, starting from . Using this theorem we could define the aleph function with in place of in df-aleph 8224. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsuc2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephsuc2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephsucdom 8363 . . 3
21rabbidv 3070 . 2
3 alephon 8353 . . . . . . 7
43oneli 4937 . . . . . 6
5 alephcard 8354 . . . . . . . . 9
6 iscard 8259 . . . . . . . . 9
75, 6mpbi 208 . . . . . . . 8
87simpri 462 . . . . . . 7
98rspec 2898 . . . . . 6
104, 9jca 532 . . . . 5
11 sdomel 7571 . . . . . . 7
123, 11mpan2 671 . . . . . 6
1312imp 429 . . . . 5
1410, 13impbii 188 . . . 4
15 breq1 4406 . . . . 5
1615elrab 3224 . . . 4
1714, 16bitr4i 252 . . 3
1817eqriv 2450 . 2
192, 18syl6reqr 2514 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799  crab 2803   class class class wbr 4403  con0 4830   csuc 4832  cfv 5529   cdom 7421   csdm 7422  ccrd 8219  cale 8220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-oi 7838  df-har 7887  df-card 8223  df-aleph 8224 This theorem is referenced by:  alephsuc3  8858
 Copyright terms: Public domain W3C validator