Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsing Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem alephsing 8724
 Description: The cofinality of a limit aleph is the same as the cofinality of its argument, so if , then is singular. Conversely, if is regular (i.e. weakly inaccessible), then , so has to be rather large (see alephfp 8557). Proposition 11.13 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsing

Proof of Theorem alephsing
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfnon 8514 . . . . . . 7
2 fnfun 5683 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6
4 simpl 464 . . . . . 6
5 resfunexg 6146 . . . . . 6
63, 4, 5sylancr 676 . . . . 5
7 limelon 5493 . . . . . . . 8
8 onss 6636 . . . . . . . 8
97, 8syl 17 . . . . . . 7
10 fnssres 5699 . . . . . . 7
111, 9, 10sylancr 676 . . . . . 6
12 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 473 . . . . . . . . . 10
14 alephord2i 8526 . . . . . . . . . . 11
1514imp 436 . . . . . . . . . 10
1613, 15eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
177, 16sylan 479 . . . . . . . 8
1817ralrimiva 2809 . . . . . . 7
19 fnfvrnss 6066 . . . . . . 7
2011, 18, 19syl2anc 673 . . . . . 6
21 df-f 5593 . . . . . 6
2211, 20, 21sylanbrc 677 . . . . 5
23 alephsmo 8551 . . . . . 6
24 fndm 5685 . . . . . . . 8
251, 24ax-mp 5 . . . . . . 7
267, 25syl6eleqr 2560 . . . . . 6
27 smores 7089 . . . . . 6
2823, 26, 27sylancr 676 . . . . 5
29 alephlim 8516 . . . . . . . 8
3029eleq2d 2534 . . . . . . 7
31 eliun 4274 . . . . . . . 8
32 alephon 8518 . . . . . . . . . 10
3332onelssi 5538 . . . . . . . . 9
3433reximi 2852 . . . . . . . 8
3531, 34sylbi 200 . . . . . . 7
3630, 35syl6bi 236 . . . . . 6
3736ralrimiv 2808 . . . . 5
38 feq1 5720 . . . . . . . 8
39 smoeq 7087 . . . . . . . 8
40 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
4140, 12sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . 11
4241sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10
4342rexbidva 2889 . . . . . . . . 9
4443ralbidv 2829 . . . . . . . 8
4538, 39, 443anbi123d 1365 . . . . . . 7
4645spcegv 3121 . . . . . 6
4746imp 436 . . . . 5
486, 22, 28, 37, 47syl13anc 1294 . . . 4
49 alephon 8518 . . . . 5
50 cfcof 8722 . . . . 5
5149, 7, 50sylancr 676 . . . 4
5248, 51mpd 15 . . 3
5352expcom 442 . 2
54 cf0 8699 . . 3
55 fvprc 5873 . . . 4
5655fveq2d 5883 . . 3
57 fvprc 5873 . . 3
5854, 56, 573eqtr4a 2531 . 2
5953, 58pm2.61d1 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  ciun 4269   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  con0 5430   wlim 5431   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589   wsmo 7082  cale 8388  ccf 8389 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-smo 7083  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-har 8091  df-card 8391  df-aleph 8392  df-cf 8393  df-acn 8394 This theorem is referenced by:  alephom  9028  winafp  9140
 Copyright terms: Public domain W3C validator