Theorem alephprc 4958

Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
alephprc	|- -. ran aleph e. V

Proof of Theorem alephprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardprc 4926	. . 3 |- -. {x | (card` x) = x} e. V
2		cardnum 4954	. . . 4 |- {x | (card` x) = x} = (om u. ran aleph)
3	2	eleq1i 1584	. . 3 |- ({x | (card` x) = x} e. V <-> (om u. ran aleph) e. V)
4	1, 3	mtbi 198	. 2 |- -. (om u. ran aleph) e. V
5		omex 4689	. . 3 |- om e. V
6		unexg 2930	. . 3 |- ((om e. V /\ ran aleph e. V) -> (om u. ran aleph) e. V)
7	5, 6	mpan 707	. 2 |- (ran aleph e. V -> (om u. ran aleph) e. V)
8	4, 7	mto 112	1 |- -. ran aleph e. V

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 997   e. wcel 999  {cab 1509  Vcvv 1858   u. cun 2096  omcom 3188  ran crn 3228  ` cfv 3239  cardccrd 4875  alephcale 4876

This theorem is referenced by:  unialeph 4960

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432  df-card 4878  df-aleph 4879

Copyright terms: Public domain