Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephinit Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem alephinit 8544
 Description: An infinite initial ordinal is characterized by the property of being initial - that is, it is a subset of any dominating ordinal. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
alephinit
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephinit
StepHypRef Expression
1 isinfcard 8541 . . . . 5
21bicomi 207 . . . 4
32baib 919 . . 3
5 onenon 8401 . . . . . . . 8
65adantr 472 . . . . . . 7
7 onenon 8401 . . . . . . 7
8 carddom2 8429 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2an 485 . . . . . 6
10 cardonle 8409 . . . . . . . 8
1110adantl 473 . . . . . . 7
12 sstr 3426 . . . . . . . 8
1312expcom 442 . . . . . . 7
1411, 13syl 17 . . . . . 6
159, 14sylbird 243 . . . . 5
16 sseq1 3439 . . . . . 6
1716imbi2d 323 . . . . 5
1815, 17syl5ibcom 228 . . . 4
1918ralrimdva 2812 . . 3
20 oncardid 8408 . . . . . . 7
21 ensym 7636 . . . . . . 7
22 endom 7614 . . . . . . 7
2320, 21, 223syl 18 . . . . . 6
2423adantr 472 . . . . 5
25 cardon 8396 . . . . . 6
26 breq2 4399 . . . . . . . 8
27 sseq2 3440 . . . . . . . 8
2826, 27imbi12d 327 . . . . . . 7
2928rspcv 3132 . . . . . 6
3025, 29ax-mp 5 . . . . 5
3124, 30syl5com 30 . . . 4
32 cardonle 8409 . . . . . . 7
3332adantr 472 . . . . . 6
3433biantrurd 516 . . . . 5
35 eqss 3433 . . . . 5
3634, 35syl6bbr 271 . . . 4
3731, 36sylibd 222 . . 3
3819, 37impbid 195 . 2
394, 38bitrd 261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   wss 3390   class class class wbr 4395   cdm 4839   crn 4840  con0 5430  cfv 5589  com 6711   cen 7584   cdom 7585  ccrd 8387  cale 8388 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-har 8091  df-card 8391  df-aleph 8392 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator