Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem alephfp 8557
 Description: The aleph function has a fixed point. Similar to Proposition 11.18 of [TakeutiZaring] p. 104, except that we construct an actual example of a fixed point rather than just showing its existence. See alephfp2 8558 for an abbreviated version just showing existence. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1
Assertion
Ref Expression
alephfp

Proof of Theorem alephfp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfplem.1 . . 3
21alephfplem4 8556 . 2
3 isinfcard 8541 . . 3
4 cardalephex 8539 . . . 4
54biimpa 492 . . 3
63, 5sylbir 218 . 2
7 alephle 8537 . . . . . . . . 9
8 alephon 8518 . . . . . . . . . . 11
98onirri 5536 . . . . . . . . . 10
10 frfnom 7170 . . . . . . . . . . . . . 14
111fneq1i 5680 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13
13 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . 13
14 eluniima 6173 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
16 alephsson 8549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171alephfplem3 8555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1816, 17sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 alephord2i 8526 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
211alephfplem2 8554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 peano2 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2412, 23mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 fnima 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2921, 28eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . 14
3320, 32syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
3433rexlimiv 2867 . . . . . . . . . . . 12
3515, 34sylbi 200 . . . . . . . . . . 11
36 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
37 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
3935, 38mpbii 216 . . . . . . . . . 10
409, 39mtoi 183 . . . . . . . . 9
417, 40anim12i 576 . . . . . . . 8
42 eloni 5440 . . . . . . . . . 10
438onordi 5534 . . . . . . . . . 10
44 ordtri4 5467 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44sylancl 675 . . . . . . . . 9
4645adantr 472 . . . . . . . 8
4741, 46mpbird 240 . . . . . . 7
48 eqeq2 2482 . . . . . . . 8
4948adantl 473 . . . . . . 7
5047, 49mpbird 240 . . . . . 6
5150eqcomd 2477 . . . . 5
5251fveq2d 5883 . . . 4
53 eqeq2 2482 . . . . 5
5453adantl 473 . . . 4
5552, 54mpbird 240 . . 3
5655rexlimiva 2868 . 2
572, 6, 56mp2b 10 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757   wss 3390  cuni 4190   crn 4840   cres 4841  cima 4842   word 5429  con0 5430   csuc 5432   wfun 5583   wfn 5584  cfv 5589  com 6711  crdg 7145  ccrd 8387  cale 8388 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-har 8091  df-card 8391  df-aleph 8392 This theorem is referenced by:  alephfp2  8558
 Copyright terms: Public domain W3C validator