Theorem alephfnon 5873

Description: The aleph function is a function on the class of ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
alephfnon	|- aleph Fn On

Proof of Theorem alephfnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 5147	. 2 |- rec({<.x, y>. | y = |^|{z e. On | x ~< z}}, om) Fn On
2		df-aleph 5863	. . 3 |- aleph = rec({<.x, y>. | y = |^|{z e. On | x ~< z}}, om)
3	2	fneq1i 4507	. 2 |- (aleph Fn On <-> rec({<.x, y>. | y = |^|{z e. On | x ~< z}}, om) Fn On)
4	1, 3	mpbir 207	1 |- aleph Fn On

Syntax hints:   = wceq 1298  {crab 2108  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  {copab 3395  Oncon0 3657  omcom 3949   Fn wfn 3993  reccrdg 5139   ~< csdm 5425  alephcale 5860

This theorem is referenced by:  alephon 5876  infenomsub 5889  omsubinit 5890  alephcard 6015  alephnbtwn 6016  alephgeom 6030  isinfcard 6035  alephiso 6040  alephfplem1 6044  alephfplem3 6046  alephadd 8851  infenomsubOLD 15398  omsubinitOLD 15399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-aleph 5863

Copyright terms: Public domain