Theorem alephadd 7674

Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephadd	|- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Proof of Theorem alephadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2766	. . . . . . . 8 |- (/) e. V
2	1, 1	cdavali 4985	. . . . . . 7 |- ((/) +c (/)) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
3		xpundi 3282	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3296	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (/)
5	2, 3, 4	3eqtr2i 1548	. . . . . 6 |- ((/) +c (/)) = (/)
6		ndmfv 3802	. . . . . . 7 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
7		ndmfv 3802	. . . . . . 7 |- (-. B e. dom aleph -> (aleph` B) = (/))
8	6, 7	opreqan12d 4037	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((/) +c (/)))
9	6	adantr 398	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` A) = (/))
10	7	adantl 397	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` B) = (/))
11	9, 10	uneq12d 2236	. . . . . . 7 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = ((/) u. (/)))
12		un0 2349	. . . . . . 7 |- ((/) u. (/)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1570	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = (/))
14	5, 8, 13	3eqtr4a 1579	. . . . 5 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
15		alephfnon 4927	. . . . . . . 8 |- aleph Fn On
16		fndm 3644	. . . . . . . 8 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom aleph = On
18	17	eleq2i 1585	. . . . . 6 |- (A e. dom aleph <-> A e. On)
19	18	notbii 194	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph <-> -. A e. On)
20	17	eleq2i 1585	. . . . . 6 |- (B e. dom aleph <-> B e. On)
21	20	notbii 194	. . . . 5 |- (-. B e. dom aleph <-> -. B e. On)
22	14, 19, 21	syl2anbr 467	. . . 4 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
23		oprex 4041	. . . . 5 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V
24		eqeng 4453	. . . . 5 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V -> (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
26	22, 25	syl 10	. . 3 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
27	26	ex 380	. 2 |- (-. A e. On -> (-. B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
28		alephgeom 4947	. . 3 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
29		fvex 3789	. . . . 5 |- (aleph` A) e. V
30		ssdom2g 4470	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
32		fvex 3789	. . . . 5 |- (aleph` B) e. V
33	29, 32	infcda 7659	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
34	31, 33	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
35	28, 34	sylbi 206	. 2 |- (A e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
36		alephgeom 4947	. . 3 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
37		ssdom2g 4470	. . . . 5 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
38	32, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
39	32, 29	infcda 7659	. . . . . 6 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
40	29, 32	cdacomen 4994	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A))
41		entr 4475	. . . . . . 7 |- ((((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A)) /\ ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A))) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
42	40, 41	mpan 707	. . . . . 6 |- (((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
43	39, 42	syl 10	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
44		uncom 2227	. . . . 5 |- ((aleph` B) u. (aleph` A)) = ((aleph` A) u. (aleph` B))
45	43, 44	syl6breq 2709	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
46	38, 45	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
47	36, 46	sylbi 206	. 2 |- (B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
48	27, 35, 47	pm2.61ii 136	1 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858   u. cun 2096   (_ wss 2098  (/)c0 2331  {csn 2461   class class class wbr 2674  Oncon0 3005  omcom 3188   X. cxp 3225  dom cdm 3227   Fn wfn 3234  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  1oc1o 4186   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426  alephcale 4876   +c ccda 4982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-iso 3256  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-2o 4192  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432  df-card 4878  df-aleph 4879  df-cda 4983  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-seq1 6567  df-exp 6658

Copyright terms: Public domain