Theorem aleph1re 7552

Description: There are at least aleph-one real numbers.

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	|- (aleph` 1o) ~<_ RR

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 4874	. . . . . 6 |- (aleph` (/)) = om
2		omex 4636	. . . . . . 7 |- om e. V
3		nnenom 7499	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
4	2, 3	ensymi 4419	. . . . . 6 |- om ~~ NN
5	1, 4	eqbrtr 2639	. . . . 5 |- (aleph` (/)) ~~ NN
6		ruc 7550	. . . . 5 |- NN ~< RR
7		ensdomtr 4477	. . . . 5 |- (((aleph` (/)) ~~ NN /\ NN ~< RR) -> (aleph` (/)) ~< RR)
8	5, 6, 7	mp2an 699	. . . 4 |- (aleph` (/)) ~< RR
9		alephnbtwn2 4880	. . . . 5 |- -. ((aleph` (/)) ~< RR /\ RR ~< (aleph` suc (/)))
10		imnan 242	. . . . 5 |- (((aleph` (/)) ~< RR -> -. RR ~< (aleph` suc (/))) <-> -. ((aleph` (/)) ~< RR /\ RR ~< (aleph` suc (/))))
11	9, 10	mpbir 190	. . . 4 |- ((aleph` (/)) ~< RR -> -. RR ~< (aleph` suc (/)))
12	8, 11	ax-mp 7	. . 3 |- -. RR ~< (aleph` suc (/))
13		df-1o 4139	. . . . 5 |- 1o = suc (/)
14	13	fveq2i 3733	. . . 4 |- (aleph` 1o) = (aleph` suc (/))
15	14	breq2i 2632	. . 3 |- (RR ~< (aleph` 1o) <-> RR ~< (aleph` suc (/)))
16	12, 15	mtbir 192	. 2 |- -. RR ~< (aleph` 1o)
17		fvex 3738	. . 3 |- (aleph` 1o) e. V
18		reex 5324	. . 3 |- RR e. V
19		domtri 4848	. . 3 |- (((aleph` 1o) e. V /\ RR e. V) -> ((aleph` 1o) ~<_ RR <-> -. RR ~< (aleph` 1o)))
20	17, 18, 19	mp2an 699	. 2 |- ((aleph` 1o) ~<_ RR <-> -. RR ~< (aleph` 1o))
21	16, 20	mpbir 190	1 |- (aleph` 1o) ~<_ RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  Vcvv 1814  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  suc csuc 2956  omcom 3137  ` cfv 3188  1oc1o 4134   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372  alephcale 4824  RRcr 5245  NNcn 5308

This theorem is referenced by:  aleph1irr 7580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-sup 4583  df-card 4826  df-aleph 4827  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309

Copyright terms: Public domain