MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1re Unicode version

Theorem aleph1re 12799
Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1re  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR

Proof of Theorem aleph1re
StepHypRef Expression
1 aleph0 7903 . . . . . 6  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 nnenom 11274 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7116 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
41, 3eqbrtri 4191 . . . . 5  |-  ( aleph `  (/) )  ~~  NN
5 ruc 12797 . . . . 5  |-  NN  ~<  RR
6 ensdomtr 7202 . . . . 5  |-  ( ( ( aleph `  (/) )  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  ( aleph `  (/) )  ~<  RR )
74, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  ( aleph `  (/) )  ~<  RR
8 alephnbtwn2 7909 . . . 4  |-  -.  (
( aleph `  (/) )  ~<  RR  /\  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
97, 8mpto1 1539 . . 3  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) )
10 df-1o 6683 . . . . 5  |-  1o  =  suc  (/)
1110fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( aleph `  1o )  =  (
aleph `  suc  (/) )
1211breq2i 4180 . . 3  |-  ( RR 
~<  ( aleph `  1o )  <->  RR 
~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
139, 12mtbir 291 . 2  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o )
14 fvex 5701 . . 3  |-  ( aleph `  1o )  e.  _V
15 reex 9037 . . 3  |-  RR  e.  _V
16 domtri 8387 . . 3  |-  ( ( ( aleph `  1o )  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) ) )
1714, 15, 16mp2an 654 . 2  |-  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) )
1813, 17mpbir 201 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   suc csuc 4543   omcom 4804   ` cfv 5413   1oc1o 6676    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   alephcale 7779   RRcr 8945   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  aleph1irr  12800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-har 7482  df-card 7782  df-aleph 7783  df-ac 7953  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279
  Copyright terms: Public domain W3C validator