MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1re Structured version   Unicode version

Theorem aleph1re 13615
Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1re  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR

Proof of Theorem aleph1re
StepHypRef Expression
1 aleph0 8323 . . . . . 6  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 nnenom 11889 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7445 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
41, 3eqbrtri 4395 . . . . 5  |-  ( aleph `  (/) )  ~~  NN
5 ruc 13613 . . . . 5  |-  NN  ~<  RR
6 ensdomtr 7533 . . . . 5  |-  ( ( ( aleph `  (/) )  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  ( aleph `  (/) )  ~<  RR )
74, 5, 6mp2an 672 . . . 4  |-  ( aleph `  (/) )  ~<  RR
8 alephnbtwn2 8329 . . . 4  |-  -.  (
( aleph `  (/) )  ~<  RR  /\  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
97, 8mptnan 1576 . . 3  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  suc  (/) )
10 df-1o 7006 . . . . 5  |-  1o  =  suc  (/)
1110fveq2i 5778 . . . 4  |-  ( aleph `  1o )  =  (
aleph `  suc  (/) )
1211breq2i 4384 . . 3  |-  ( RR 
~<  ( aleph `  1o )  <->  RR 
~<  ( aleph `  suc  (/) ) )
139, 12mtbir 299 . 2  |-  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o )
14 fvex 5785 . . 3  |-  ( aleph `  1o )  e.  _V
15 reex 9460 . . 3  |-  RR  e.  _V
16 domtri 8807 . . 3  |-  ( ( ( aleph `  1o )  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) ) )
1714, 15, 16mp2an 672 . 2  |-  ( (
aleph `  1o )  ~<_  RR  <->  -.  RR  ~<  ( aleph `  1o ) )
1813, 17mpbir 209 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   (/)c0 3721   class class class wbr 4376   suc csuc 4805   ` cfv 5502   omcom 6562   1oc1o 6999    ~~ cen 7393    ~<_ cdom 7394    ~< csdm 7395   alephcale 8193   RRcr 9368   NNcn 10409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-ac2 8719  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-har 7860  df-card 8196  df-aleph 8197  df-ac 8373  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-seq 11894
This theorem is referenced by:  aleph1irr  13616
  Copyright terms: Public domain W3C validator