MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1irr Structured version   Unicode version

Theorem aleph1irr 14063
Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1irr  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )

Proof of Theorem aleph1irr
StepHypRef Expression
1 aleph1re 14062 . 2  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
2 reex 9572 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
3 numth3 8841 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  RR  e.  dom  card )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  RR  e.  dom  card
5 nnenom 12072 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7558 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
7 ruc 14060 . . . . . 6  |-  NN  ~<  RR
8 ensdomtr 7646 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  om  ~<  RR )
96, 7, 8mp2an 670 . . . . 5  |-  om  ~<  RR
10 sdomdom 7536 . . . . 5  |-  ( om 
~<  RR  ->  om  ~<_  RR )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  om  ~<_  RR
12 resdomq 14061 . . . 4  |-  QQ  ~<  RR
13 infdif 8580 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  RR  /\  QQ  ~<  RR )  ->  ( RR  \  QQ )  ~~  RR )
144, 11, 12, 13mp3an 1322 . . 3  |-  ( RR 
\  QQ )  ~~  RR
1514ensymi 7558 . 2  |-  RR  ~~  ( RR  \  QQ )
16 domentr 7567 . 2  |-  ( ( ( aleph `  1o )  ~<_  RR  /\  RR  ~~  ( RR  \  QQ ) )  ->  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR  \  QQ ) )
171, 15, 16mp2an 670 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ` cfv 5570   omcom 6673   1oc1o 7115    ~~ cen 7506    ~<_ cdom 7507    ~< csdm 7508   cardccrd 8307   alephcale 8308   RRcr 9480   NNcn 10531   QQcq 11183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-har 7976  df-card 8311  df-aleph 8312  df-acn 8314  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-fz 11676  df-seq 12090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator