Theorem aleph1irr 8847

Description: There are at least aleph-one irrationals.

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	|- (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 8820	. 2 |- (aleph` 1o) ~<_ RR
2		reex 6465	. . 3 |- RR e. _V
3		omex 5733	. . . . . . 7 |- om e. _V
4		nnenom 8767	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
5	3, 4	ensymi 5472	. . . . . 6 |- om ~~ NN
6		ruc 8818	. . . . . 6 |- NN ~< RR
7		ensdomtr 5534	. . . . . 6 |- ((om ~~ NN /\ NN ~< RR) -> om ~< RR)
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . 5 |- om ~< RR
9		sdomdom 5445	. . . . 5 |- (om ~< RR -> om ~<_ RR)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- om ~<_ RR
11		resdomq 8819	. . . 4 |- QQ ~< RR
12		qex 7448	. . . . 5 |- QQ e. _V
13	2, 12	infdif 8837	. . . 4 |- ((om ~<_ RR /\ QQ ~< RR) -> (RR \ QQ) ~~ RR)
14	10, 11, 13	mp2an 761	. . 3 |- (RR \ QQ) ~~ RR
15	2, 14	ensymi 5472	. 2 |- RR ~~ (RR \ QQ)
16		domentr 5480	. 2 |- (((aleph` 1o) ~<_ RR /\ RR ~~ (RR \ QQ)) -> (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ))
17	1, 15, 16	mp2an 761	1 |- (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ)

Syntax hints:   \ cdif 2590   class class class wbr 3338  omcom 3949  ` cfv 3998  1oc1o 5172   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425  alephcale 5860  RRcr 6385  NNcn 6449  QQcq 6452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-card 5862  df-aleph 5863  df-cda 6066  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain