Theorem aleph1irr 7670

Description: There are at least aleph-one irrationals.

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	|- (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 7643	. 2 |- (aleph` 1o) ~<_ RR
2		reex 5377	. . 3 |- RR e. V
3		omex 4689	. . . . . . 7 |- om e. V
4		nnenom 7590	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
5	3, 4	ensymi 4474	. . . . . 6 |- om ~~ NN
6		ruc 7641	. . . . . 6 |- NN ~< RR
7		ensdomtr 4534	. . . . . 6 |- ((om ~~ NN /\ NN ~< RR) -> om ~< RR)
8	5, 6, 7	mp2an 709	. . . . 5 |- om ~< RR
9		sdomdom 4447	. . . . 5 |- (om ~< RR -> om ~<_ RR)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- om ~<_ RR
11		resdomq 7642	. . . 4 |- QQ ~< RR
12		qex 6320	. . . . 5 |- QQ e. V
13	2, 12	infdif 7660	. . . 4 |- ((om ~<_ RR /\ QQ ~< RR) -> (RR \ QQ) ~~ RR)
14	10, 11, 13	mp2an 709	. . 3 |- (RR \ QQ) ~~ RR
15	2, 14	ensymi 4474	. 2 |- RR ~~ (RR \ QQ)
16		domentr 4482	. 2 |- (((aleph` 1o) ~<_ RR /\ RR ~~ (RR \ QQ)) -> (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ))
17	1, 15, 16	mp2an 709	1 |- (aleph` 1o) ~<_ (RR \ QQ)

Syntax hints:   \ cdif 2095   class class class wbr 2674  omcom 3188  ` cfv 3239  1oc1o 4186   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426   ~< csdm 4427  alephcale 4876  RRcr 5298  NNcn 5361  QQcq 5364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-iso 3256  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-2o 4192  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432  df-sup 4634  df-card 4878  df-aleph 4879  df-cda 4983  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-seq1 6567  df-exp 6658

Copyright terms: Public domain