MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1irr Structured version   Unicode version

Theorem aleph1irr 13641
Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1irr  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )

Proof of Theorem aleph1irr
StepHypRef Expression
1 aleph1re 13640 . 2  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  RR
2 reex 9479 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
3 numth3 8745 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  RR  e.  dom  card )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  RR  e.  dom  card
5 nnenom 11914 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7464 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
7 ruc 13638 . . . . . 6  |-  NN  ~<  RR
8 ensdomtr 7552 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN  ~<  RR )  ->  om  ~<  RR )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . 5  |-  om  ~<  RR
10 sdomdom 7442 . . . . 5  |-  ( om 
~<  RR  ->  om  ~<_  RR )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  om  ~<_  RR
12 resdomq 13639 . . . 4  |-  QQ  ~<  RR
13 infdif 8484 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  RR  /\  QQ  ~<  RR )  ->  ( RR  \  QQ )  ~~  RR )
144, 11, 12, 13mp3an 1315 . . 3  |-  ( RR 
\  QQ )  ~~  RR
1514ensymi 7464 . 2  |-  RR  ~~  ( RR  \  QQ )
16 domentr 7473 . 2  |-  ( ( ( aleph `  1o )  ~<_  RR  /\  RR  ~~  ( RR  \  QQ ) )  ->  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR  \  QQ ) )
171, 15, 16mp2an 672 1  |-  ( aleph `  1o )  ~<_  ( RR 
\  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   _Vcvv 3072    \ cdif 3428   class class class wbr 4395   dom cdm 4943   ` cfv 5521   omcom 6581   1oc1o 7018    ~~ cen 7412    ~<_ cdom 7413    ~< csdm 7414   cardccrd 8211   alephcale 8212   RRcr 9387   NNcn 10428   QQcq 11059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-ac2 8738  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-har 7879  df-card 8215  df-aleph 8216  df-acn 8218  df-ac 8392  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-fz 11550  df-seq 11919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator