Theorem aleph1 6019

Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1	|- (aleph` 1o) ~<_ (2o ^m (aleph` (/)))

Proof of Theorem aleph1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 5177	. . 3 |- 1o = suc (/)
2	1	fveq2i 4684	. 2 |- (aleph` 1o) = (aleph` suc (/))
3		alephsucpw 6018	. . 3 |- (aleph` suc (/)) ~<_ ~P(aleph` (/))
4		oprex 4907	. . . 4 |- (2o ^m (aleph` (/))) e. _V
5		fvex 4689	. . . . 5 |- (aleph` (/)) e. _V
6	5	pw2en 5505	. . . 4 |- ~P(aleph` (/)) ~~ (2o ^m (aleph` (/)))
7		domen2 5543	. . . 4 |- (((2o ^m (aleph` (/))) e. _V /\ ~P(aleph` (/)) ~~ (2o ^m (aleph` (/)))) -> ((aleph` suc (/)) ~<_ ~P(aleph` (/)) <-> (aleph` suc (/)) ~<_ (2o ^m (aleph` (/)))))
8	4, 6, 7	mp2an 761	. . 3 |- ((aleph` suc (/)) ~<_ ~P(aleph` (/)) <-> (aleph` suc (/)) ~<_ (2o ^m (aleph` (/))))
9	3, 8	mpbi 206	. 2 |- (aleph` suc (/)) ~<_ (2o ^m (aleph` (/)))
10	2, 9	eqbrtri 3356	1 |- (aleph` 1o) ~<_ (2o ^m (aleph` (/)))

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032   class class class wbr 3338  suc csuc 3659  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ^m cmap 5381   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424  alephcale 5860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862  df-aleph 5863

Copyright terms: Public domain