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Theorem ajval 26479
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajval.3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ajval.4  |-  Q  =  ( .iOLD `  W )
ajval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajval  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, T    U, s, x, y    W, s, x, y    X, s, x, y    Y, s, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, s)    P( x, y, s)    Q( x, y, s)    Y( x)

Proof of Theorem ajval
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 26431 . . . . 5  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 ajval.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ajval.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 ajval.3 . . . . . 6  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
5 ajval.4 . . . . . 6  |-  Q  =  ( .iOLD `  W )
6 ajval.5 . . . . . 6  |-  A  =  ( U adj W
)
72, 3, 4, 5, 6ajfval 26426 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
81, 7sylan 473 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
98fveq1d 5875 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
1093adant3 1025 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( {
<. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T ) )
11 fvex 5883 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
122, 11eqeltri 2504 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
13 fex 6145 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
1412, 13mpan2 675 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  ->  T  e.  _V )
15 eqid 2420 . . . . . 6  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }
16 feq1 5720 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
t : X --> Y  <->  T : X
--> Y ) )
17 fveq1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
t `  x )  =  ( T `  x ) )
1817oveq1d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( t `  x
) Q y )  =  ( ( T `
 x ) Q y ) )
1918eqeq1d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
20192ralbidv 2867 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2116, 203anbi13d 1337 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( t `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  <->  ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2215, 21fvopab5 5981 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  ( { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2314, 22syl 17 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
24 3anass 986 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  (
s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2524baib 911 . . . . 5  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( T : X
--> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2625iotabidv 5578 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( iota s ( T : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) )  =  ( iota s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) ) )
2723, 26eqtrd 2461 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
28273ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } `
 T )  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2910, 28eqtrd 2461 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> Y )  -> 
( A `  T
)  =  ( iota s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078   {copab 4475   iotacio 5555   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   NrmCVeccnv 26179   BaseSetcba 26181   .iOLDcdip 26312   adjcaj 26365   CPreHil OLDccphlo 26429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-map 7474  df-aj 26367  df-ph 26430
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