MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ajmoi Structured version   Unicode version

Theorem ajmoi 26486
Description: Every operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip2eqi.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip2eqi.u  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ajmoi  |-  E* s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )
Distinct variable groups:    x, s, P    Q, s    x, y, s, T    x, U    X, s, x, y    Y, s, x, y
Allowed substitution hints:    P( y)    Q( x, y)    U( y, s)

Proof of Theorem ajmoi
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2956 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( t `
 y ) ) ) )
2 eqtr2 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  ->  ( x P ( s `  y
) )  =  ( x P ( t `
 y ) ) )
32ralimi 2818 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  ->  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) ) )
43ralimi 2818 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) ) )
51, 4sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) ) )
6 ip2eqi.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 ip2eqi.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
8 ip2eqi.u . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
96, 7, 8phoeqi 26485 . . . . . 6  |-  ( ( s : Y --> X  /\  t : Y --> X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x P ( s `  y ) )  =  ( x P ( t `  y ) )  <->  s  =  t ) )
109biimpa 486 . . . . 5  |-  ( ( ( s : Y --> X  /\  t : Y --> X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
x P ( s `
 y ) )  =  ( x P ( t `  y
) ) )  -> 
s  =  t )
115, 10sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( ( s : Y --> X  /\  t : Y --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) ) )  ->  s  =  t )
1211an4s 833 . . 3  |-  ( ( ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  /\  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) ) )  ->  s  =  t )
1312gen2 1666 . 2  |-  A. s A. t ( ( ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  /\  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( t `
 y ) ) ) )  ->  s  =  t )
14 feq1 5725 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  (
s : Y --> X  <->  t : Y
--> X ) )
15 fveq1 5877 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
s `  y )  =  ( t `  y ) )
1615oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
x P ( s `
 y ) )  =  ( x P ( t `  y
) ) )
1716eqeq2d 2436 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) ) )
18172ralbidv 2869 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `  x ) Q y )  =  ( x P ( t `  y ) ) ) )
1914, 18anbi12d 715 . . 3  |-  ( s  =  t  ->  (
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )  <->  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( t `  y
) ) ) ) )
2019mo4 2313 . 2  |-  ( E* s ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  A. s A. t ( ( ( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( T `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  /\  ( t : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( t `
 y ) ) ) )  ->  s  =  t ) )
2113, 20mpbir 212 1  |-  E* s
( s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( T `
 x ) Q y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   E*wmo 2266   A.wral 2775   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   BaseSetcba 26191   .iOLDcdip 26322   CPreHil OLDccphlo 26439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-t1 20317  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-grpo 25905  df-gid 25906  df-ginv 25907  df-gdiv 25908  df-ablo 25996  df-vc 26151  df-nv 26197  df-va 26200  df-ba 26201  df-sm 26202  df-0v 26203  df-vs 26204  df-nmcv 26205  df-ims 26206  df-dip 26323  df-ph 26440
This theorem is referenced by:  ajfuni  26487
  Copyright terms: Public domain W3C validator