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Theorem ajfval 26295
Description: The adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajfval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajfval.3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ajfval.4  |-  Q  =  ( .iOLD `  W )
ajfval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajfval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, U    W, s,
t, x, y    X, s, t, x    Y, s, t, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, t, s)    P( x, y, t, s)    Q( x, y, t, s)    X( y)    Y( x)

Proof of Theorem ajfval
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ajfval.5 . 2  |-  A  =  ( U adj W
)
2 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  ( BaseSet `  U )
)
3 ajfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
42, 3syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  X )
54feq2d 5733 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> ( BaseSet `  w )
) )
64feq3d 5734 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> ( BaseSet `  u )  <->  s :
( BaseSet `  w ) --> X ) )
7 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( .iOLD `  u )  =  ( .iOLD `  U ) )
8 ajfval.3 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( .iOLD `  u )  =  P )
109oveqd 6322 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
x ( .iOLD `  u ) ( s `
 y ) )  =  ( x P ( s `  y
) ) )
1110eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u ) ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
1211ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
134, 12raleqbidv 3046 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  u ) A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
145, 6, 133anbi123d 1335 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( t : (
BaseSet `  u ) --> (
BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
1514opabbidv 4489 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
16 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  W )
)
17 ajfval.2 . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
1816, 17syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  Y )
1918feq3d 5734 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> Y ) )
2018feq2d 5733 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> X  <->  s : Y
--> X ) )
21 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .iOLD `  w )  =  ( .iOLD `  W ) )
22 ajfval.4 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( .iOLD `  W )
2321, 22syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( .iOLD `  w )  =  Q )
2423oveqd 6322 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( ( t `
 x ) Q y ) )
2524eqeq1d 2431 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2618, 25raleqbidv 3046 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2726ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2819, 20, 273anbi123d 1335 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
2928opabbidv 4489 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
30 df-aj 26236 . . 3  |-  adj  =  ( u  e.  NrmCVec ,  w  e.  NrmCVec  |->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) ) ) } )
31 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
32 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( X  ^m  Y )  e. 
_V
3331, 32xpex 6609 . . . 4  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  e. 
_V
34 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
3517, 34eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  Y  e. 
_V
36 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
373, 36eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
3835, 37elmap 7508 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  <->  t : X
--> Y )
3937, 35elmap 7508 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( X  ^m  Y )  <->  s : Y
--> X )
4038, 39anbi12i 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X ) )
4140biimpri 209 . . . . . . 7  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X )  ->  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
42413adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  -> 
( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
4342ssopab2i 4749 . . . . 5  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  { <. t ,  s >.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
44 df-xp 4860 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
4543, 44sseqtr4i 3503 . . . 4  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y
) )
4633, 45ssexi 4570 . . 3  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  e.  _V
4715, 29, 30, 46ovmpt2 6446 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U adj W )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
481, 47syl5eq 2482 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   {copab 4483    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   .iOLDcdip 26181   adjcaj 26234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-aj 26236
This theorem is referenced by:  ajfuni  26346  ajval  26348
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