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Theorem ajfval 25428
Description: The adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ajfval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
ajfval.3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ajfval.4  |-  Q  =  ( .iOLD `  W )
ajfval.5  |-  A  =  ( U adj W
)
Assertion
Ref Expression
ajfval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, U    W, s,
t, x, y    X, s, t, x    Y, s, t, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, t, s)    P( x, y, t, s)    Q( x, y, t, s)    X( y)    Y( x)

Proof of Theorem ajfval
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ajfval.5 . 2  |-  A  =  ( U adj W
)
2 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  ( BaseSet `  U )
)
3 ajfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
42, 3syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  X )
54feq2d 5718 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> ( BaseSet `  w )
) )
6 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  w )
)
76, 4feq23d 5726 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> ( BaseSet `  u )  <->  s :
( BaseSet `  w ) --> X ) )
8 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( .iOLD `  u )  =  ( .iOLD `  U ) )
9 ajfval.3 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
108, 9syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( .iOLD `  u )  =  P )
1110oveqd 6301 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
x ( .iOLD `  u ) ( s `
 y ) )  =  ( x P ( s `  y
) ) )
1211eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u ) ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
1312ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
144, 13raleqbidv 3072 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  u ) A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w )
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) ) ) )
155, 7, 143anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( t : (
BaseSet `  u ) --> (
BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
1615opabbidv 4510 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
17 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  X  =  X )
18 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  W )
)
19 ajfval.2 . . . . . . 7  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2018, 19syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  Y )
2117, 20feq23d 5726 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  w )  <->  t : X
--> Y ) )
2220feq2d 5718 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( BaseSet `  w ) --> X  <->  s : Y
--> X ) )
23 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .iOLD `  w )  =  ( .iOLD `  W ) )
24 ajfval.4 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( .iOLD `  W )
2523, 24syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( .iOLD `  w )  =  Q )
2625oveqd 6301 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( ( t `
 x ) Q y ) )
2726eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `
 y ) )  <-> 
( ( t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2820, 27raleqbidv 3072 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
2928ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( (
t `  x ) Q y )  =  ( x P ( s `  y ) ) ) )
3021, 22, 293anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) ) )
3130opabbidv 4510 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  ( BaseSet `  w ) ( ( t `  x ) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  =  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
32 df-aj 25369 . . 3  |-  adj  =  ( u  e.  NrmCVec ,  w  e.  NrmCVec  |->  { <. t ,  s >.  |  ( t : ( BaseSet `  u ) --> ( BaseSet `  w )  /\  s : ( BaseSet `  w
) --> ( BaseSet `  u
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  u ) A. y  e.  ( BaseSet
`  w ) ( ( t `  x
) ( .iOLD `  w ) y )  =  ( x ( .iOLD `  u
) ( s `  y ) ) ) } )
33 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
34 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( X  ^m  Y )  e. 
_V
3533, 34xpex 6588 . . . 4  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  e. 
_V
36 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
3719, 36eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10  |-  Y  e. 
_V
38 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
393, 38eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
4037, 39elmap 7447 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  <->  t : X
--> Y )
4139, 37elmap 7447 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( X  ^m  Y )  <->  s : Y
--> X )
4240, 41anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) )  <->  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X ) )
4342biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X )  ->  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
44433adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) )  -> 
( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) )
4544ssopab2i 4775 . . . . 5  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  { <. t ,  s >.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X )  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
46 df-xp 5005 . . . . 5  |-  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y ) )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  s  e.  ( X  ^m  Y ) ) }
4745, 46sseqtr4i 3537 . . . 4  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } 
C_  ( ( Y  ^m  X )  X.  ( X  ^m  Y
) )
4835, 47ssexi 4592 . . 3  |-  { <. t ,  s >.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) }  e.  _V
4916, 31, 32, 48ovmpt2 6422 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U adj W )  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
501, 49syl5eq 2520 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A  =  { <. t ,  s
>.  |  ( t : X --> Y  /\  s : Y --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( t `  x
) Q y )  =  ( x P ( s `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {copab 4504    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   NrmCVeccnv 25181   BaseSetcba 25183   .iOLDcdip 25314   adjcaj 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-aj 25369
This theorem is referenced by:  ajfuni  25479  ajval  25481
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