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Theorem afvres 27903
Description: The value of a restricted function, analogous to fvres 5704. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvres  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )

Proof of Theorem afvres
StepHypRef Expression
1 elin 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  i^i  dom 
F )  <->  ( A  e.  B  /\  A  e. 
dom  F ) )
21biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  A  e.  ( B  i^i  dom  F
) )
3 dmres 5126 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
42, 3syl6eleqr 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  A  e.  dom  ( F  |`  B ) )
54ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  dom  F  ->  A  e.  dom  ( F  |`  B ) ) )
6 snssi 3902 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
7 resabs1 5134 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  B  ->  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } ) )
98eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( F  |`  { A }
)  =  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )
109funeqd 5434 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
1110biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) )
125, 11anim12d 547 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) ) )
1312impcom 420 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) )
14 df-dfat 27841 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  B ) defAt  A  <-> 
( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
15 afvfundmfveq 27869 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  B ) defAt  A  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
1614, 15sylbir 205 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) )  -> 
( ( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
1713, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
18 fvres 5704 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
1918adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
20 df-dfat 27841 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
21 afvfundmfveq 27869 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
2220, 21sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
2322eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F `  A )  =  ( F''' A ) )
2423adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( F `  A )  =  ( F''' A ) )
2517, 19, 243eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
26 pm3.4 545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
271, 26sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  i^i  dom 
F )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
2827, 3eleq2s 2496 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
2928com12 29 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  ->  A  e.  dom  F ) )
308funeqd 5434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  <->  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
3130biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
3229, 31anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  (
( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
3332con3d 127 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) ) )
3433impcom 420 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
35 afvnfundmuv 27870 . . . . 5  |-  ( -.  ( F  |`  B ) defAt 
A  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  _V )
3614, 35sylnbir 299 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  _V )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  _V )
38 afvnfundmuv 27870 . . . . . 6  |-  ( -.  F defAt  A  ->  ( F''' A )  =  _V )
3920, 38sylnbir 299 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  _V )
4039eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  _V  =  ( F''' A ) )
4140adantr 452 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  _V  =  ( F''' A ) )
4237, 41eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
4325, 42pm2.61ian 766 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   dom cdm 4837    |` cres 4839   Fun wfun 5407   ` cfv 5413   defAt wdfat 27838  '''cafv 27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-dfat 27841  df-afv 27842
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