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Theorem afvres 29924
Description: The value of a restricted function, analogous to fvres 5692. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvres  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )

Proof of Theorem afvres
StepHypRef Expression
1 elin 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  i^i  dom 
F )  <->  ( A  e.  B  /\  A  e. 
dom  F ) )
21biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  A  e.  ( B  i^i  dom  F
) )
3 dmres 5119 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
42, 3syl6eleqr 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  A  e.  dom  ( F  |`  B ) )
54ex 434 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  dom  F  ->  A  e.  dom  ( F  |`  B ) ) )
6 snssi 4005 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  { A }  C_  B )
7 resabs1 5127 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  B  ->  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } ) )
98eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( F  |`  { A }
)  =  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )
109funeqd 5427 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
1110biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) )
125, 11anim12d 558 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) ) )
1312impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) )
14 df-dfat 29866 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  B ) defAt  A  <-> 
( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
15 afvfundmfveq 29890 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  B ) defAt  A  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
1614, 15sylbir 213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) )  -> 
( ( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
1713, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( ( F  |`  B ) `
 A ) )
18 fvres 5692 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
1918adantl 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 A )  =  ( F `  A
) )
20 df-dfat 29866 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
21 afvfundmfveq 29890 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
2220, 21sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
2322eqcomd 2438 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F `  A )  =  ( F''' A ) )
2423adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  ( F `  A )  =  ( F''' A ) )
2517, 19, 243eqtrd 2469 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
26 pm3.4 556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  dom  F )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
271, 26sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  i^i  dom 
F )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
2827, 3eleq2s 2525 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  dom  F ) )
2928com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  ->  A  e.  dom  F ) )
308funeqd 5427 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  <->  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
3130biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } )  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
3229, 31anim12d 558 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  (
( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
3332con3d 133 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |`  { A } ) ) ) )
3433impcom 430 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) ) )
35 afvnfundmuv 29891 . . . . 5  |-  ( -.  ( F  |`  B ) defAt 
A  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  _V )
3614, 35sylnbir 307 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  dom  ( F  |`  B )  /\  Fun  ( ( F  |`  B )  |` 
{ A } ) )  ->  ( ( F  |`  B )''' A )  =  _V )
3734, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  _V )
38 afvnfundmuv 29891 . . . . . 6  |-  ( -.  F defAt  A  ->  ( F''' A )  =  _V )
3920, 38sylnbir 307 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  _V )
4039eqcomd 2438 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  _V  =  ( F''' A ) )
4140adantr 462 . . 3  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  _V  =  ( F''' A ) )
4237, 41eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( -.  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) )  /\  A  e.  B )  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
4325, 42pm2.61ian 781 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( F  |`  B )''' A )  =  ( F''' A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    i^i cin 3315    C_ wss 3316   {csn 3865   dom cdm 4827    |` cres 4829   Fun wfun 5400   ` cfv 5406   defAt wdfat 29863  '''cafv 29864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-res 4839  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-dfat 29866  df-afv 29867
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