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Theorem afvco2 38110
Description: Value of a function composition, analogous to fvco2 5947. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvco2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )

Proof of Theorem afvco2
StepHypRef Expression
1 fvco2 5947 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
21adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
3 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( G `  X
)  e.  dom  F
)
4 df-fn 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( G  Fn  A  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  A ) )
5 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  G )
6 eleq2 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  dom  G  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
76eqcoms 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
87biimpd 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
98adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
109imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  X  e.  dom  G )
115, 10jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
124, 11sylanb 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
1312adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
14 dmfco 5946 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
163, 15mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )
17 funcoressn 38061 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
18 df-dfat 38050 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
19 afvfundmfveq 38072 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `
 X ) )
2018, 19sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `  X ) )
2116, 17, 20syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G
) `  X )
)
22 df-dfat 38050 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  <->  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) ) )
23 afvfundmfveq 38072 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2422, 23sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2524adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( F''' ( G `  X
) )  =  ( F `  ( G `
 X ) ) )
262, 21, 253eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
27 ianor 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  <->  ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
2814funfni 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
2928bicomd 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  e.  dom  F  <-> 
X  e.  dom  ( F  o.  G )
) )
3029notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  <->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G
) ) )
3130biimpd 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  ->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G ) ) )
32 ndmafv 38074 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3331, 32syl6com 36 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( G `  X
)  e.  dom  F  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
34 funressnfv 38062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3534ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
36 afvnfundmuv 38073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F  o.  G
) defAt  X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3718, 36sylnbir 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3835, 37nsyl4 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
3938com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
4039con1d 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4140com12 32 . . . . . . 7  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
)''' X )  =  _V ) )
4233, 41jaoi 380 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4327, 42sylbi 198 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V ) )
4443imp 430 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
45 afvnfundmuv 38073 . . . . . . 7  |-  ( -.  F defAt  ( G `  X )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  _V )
4622, 45sylnbir 308 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  _V )
4746eqcomd 2428 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4847adantr 466 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4944, 48eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X ) ) )
5026, 49pm2.61ian 797 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
51 eqidd 2421 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  F  =  F )
524, 9sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G ) )
5352imp 430 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  dom  G
)
54 fnfun 5682 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
55 funres 5631 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5654, 55syl 17 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5756adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
58 df-dfat 38050 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X }
) ) )
59 afvfundmfveq 38072 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  ->  ( G''' X )  =  ( G `
 X ) )
6058, 59sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X } ) )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6153, 57, 60syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6261eqcomd 2428 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G `  X
)  =  ( G''' X ) )
6351, 62afveq12d 38067 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
6450, 63eqtrd 2461 1  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078   {csn 3993   dom cdm 4845    |` cres 4847    o. ccom 4849   Fun wfun 5586    Fn wfn 5587   ` cfv 5592   defAt wdfat 38047  '''cafv 38048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-fv 5600  df-dfat 38050  df-afv 38051
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