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Theorem afvco2 30007
Description: Value of a function composition, analogous to fvco2 5763. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
afvco2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )

Proof of Theorem afvco2
StepHypRef Expression
1 fvco2 5763 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
21adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  X
)  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
3 simpll 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( G `  X
)  e.  dom  F
)
4 df-fn 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( G  Fn  A  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  A ) )
5 simpll 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  G )
6 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  dom  G  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
76eqcoms 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  <->  X  e.  dom  G ) )
87biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
G  =  A  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
98adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  -> 
( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G
) )
109imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  X  e.  dom  G )
115, 10jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  A )  /\  X  e.  A
)  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
124, 11sylanb 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
1312adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( Fun  G  /\  X  e.  dom  G ) )
14 dmfco 5762 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
163, 15mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )
17 funcoressn 29958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
18 df-dfat 29945 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
19 afvfundmfveq 29969 . . . . . 6  |-  ( ( F  o.  G ) defAt 
X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `
 X ) )
2018, 19sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G ) `  X ) )
2116, 17, 20syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( ( F  o.  G
) `  X )
)
22 df-dfat 29945 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  <->  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) ) )
23 afvfundmfveq 29969 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
( G `  X
)  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2422, 23sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  ( F `
 ( G `  X ) ) )
2524adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( F''' ( G `  X
) )  =  ( F `  ( G `
 X ) ) )
262, 21, 253eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
27 ianor 485 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  <->  ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
2814funfni 5508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
2928bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  e.  dom  F  <-> 
X  e.  dom  ( F  o.  G )
) )
3029notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  <->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G
) ) )
3130biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( G `
 X )  e. 
dom  F  ->  -.  X  e.  dom  ( F  o.  G ) ) )
32 ndmafv 29971 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3331, 32syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( G `  X
)  e.  dom  F  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
34 funressnfv 29959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
36 afvnfundmuv 29970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F  o.  G
) defAt  X  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3718, 36sylnbir 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
3835, 37nsyl4 142 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
3938com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) ) )
4039con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4140com12 31 . . . . . . 7  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
)''' X )  =  _V ) )
4233, 41jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( G `  X )  e.  dom  F  \/  -.  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
)
4327, 42sylbi 195 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V ) )
4443imp 429 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  _V )
45 afvnfundmuv 29970 . . . . . . 7  |-  ( -.  F defAt  ( G `  X )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  _V )
4622, 45sylnbir 307 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  ( F''' ( G `  X ) )  =  _V )
4746eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( G `  X )  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4847adantr 462 . . . 4  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  _V  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
4944, 48eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( -.  ( ( G `
 X )  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X ) ) )
5026, 49pm2.61ian 783 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G `  X
) ) )
51 eqidd 2442 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  F  =  F )
524, 9sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  dom  G ) )
5352imp 429 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  dom  G
)
54 fnfun 5505 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
55 funres 5454 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5654, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
5756adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  Fun  ( G  |`  { X } ) )
58 df-dfat 29945 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  <->  ( X  e. 
dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X }
) ) )
59 afvfundmfveq 29969 . . . . . 6  |-  ( G defAt 
X  ->  ( G''' X )  =  ( G `
 X ) )
6058, 59sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  dom  G  /\  Fun  ( G  |`  { X } ) )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6153, 57, 60syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G''' X )  =  ( G `  X ) )
6261eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G `  X
)  =  ( G''' X ) )
6351, 62afveq12d 29964 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( F''' ( G `  X
) )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
6450, 63eqtrd 2473 1  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G )''' X )  =  ( F''' ( G''' X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   {csn 3874   dom cdm 4836    |` cres 4838    o. ccom 4840   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   ` cfv 5415   defAt wdfat 29942  '''cafv 29943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423  df-dfat 29945  df-afv 29946
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