Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aean Structured version   Unicode version

Theorem aean 29075
 Description: A conjunction holds almost everywhere if and only if both its terms do. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aean.1
Assertion
Ref Expression
aean measures a.e. a.e. a.e.
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem aean
StepHypRef Expression
1 unrab 3744 . . . . . 6
2 ianor 490 . . . . . . . 8
32a1i 11 . . . . . . 7
43rabbiia 3068 . . . . . 6
51, 4eqtr4i 2454 . . . . 5
65fveq2i 5884 . . . 4
76eqeq1i 2429 . . 3
8 measbasedom 29032 . . . . . . . . 9 measures measures
98biimpi 197 . . . . . . . 8 measures measures
1093ad2ant1 1026 . . . . . . 7 measures measures
1110adantr 466 . . . . . 6 measures measures
12 simp2 1006 . . . . . . 7 measures
1312adantr 466 . . . . . 6 measures
14 dmmeas 29031 . . . . . . . . . 10 measures sigAlgebra
15 unelsiga 28964 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
1614, 15syl3an1 1297 . . . . . . . . 9 measures
17 ssun1 3629 . . . . . . . . . 10
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
1910, 12, 16, 18measssd 29045 . . . . . . . 8 measures
2019adantr 466 . . . . . . 7 measures
21 simpr 462 . . . . . . 7 measures
2220, 21breqtrd 4448 . . . . . 6 measures
23 measle0 29038 . . . . . 6 measures
2411, 13, 22, 23syl3anc 1264 . . . . 5 measures
25 simp3 1007 . . . . . . 7 measures
2625adantr 466 . . . . . 6 measures
27 ssun2 3630 . . . . . . . . . 10
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
2910, 25, 16, 28measssd 29045 . . . . . . . 8 measures
3029adantr 466 . . . . . . 7 measures
3130, 21breqtrd 4448 . . . . . 6 measures
32 measle0 29038 . . . . . 6 measures
3311, 26, 31, 32syl3anc 1264 . . . . 5 measures
3424, 33jca 534 . . . 4 measures
3510adantr 466 . . . . 5 measures measures
36 measbase 29027 . . . . . . 7 measures sigAlgebra
3735, 36syl 17 . . . . . 6 measures sigAlgebra
3812adantr 466 . . . . . 6 measures
3925adantr 466 . . . . . 6 measures
4037, 38, 39, 15syl3anc 1264 . . . . 5 measures
4135, 38, 39measunl 29046 . . . . . 6 measures
42 simprl 762 . . . . . . . 8 measures
43 simprr 764 . . . . . . . 8 measures
4442, 43oveq12d 6323 . . . . . . 7 measures
45 0xr 9694 . . . . . . . 8
46 xaddid1 11539 . . . . . . . 8
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7
4844, 47syl6eq 2479 . . . . . 6 measures
4941, 48breqtrd 4448 . . . . 5 measures
50 measle0 29038 . . . . 5 measures
5135, 40, 49, 50syl3anc 1264 . . . 4 measures
5234, 51impbida 840 . . 3 measures
537, 52syl5bbr 262 . 2 measures
54 aean.1 . . . 4
5554braew 29073 . . 3 measures a.e.
56553ad2ant1 1026 . 2 measures a.e.
5754braew 29073 . . . 4 measures a.e.
5854braew 29073 . . . 4 measures a.e.
5957, 58anbi12d 715 . . 3 measures a.e. a.e.
60593ad2ant1 1026 . 2 measures a.e. a.e.
6153, 56, 603bitr4d 288 1 measures a.e. a.e. a.e.
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  crab 2775   cun 3434   wss 3436  cuni 4219   class class class wbr 4423   cdm 4853   crn 4854  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9546  cxr 9681   cle 9683  cxad 11414  sigAlgebracsiga 28937  measurescmeas 29025  a.e.cae 29068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857  df-siga 28938  df-meas 29026  df-ae 29070 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator