Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aean Structured version   Unicode version

Theorem aean 28009
 Description: A conjunction holds almost everywhere if and only if both its terms do. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aean.1
Assertion
Ref Expression
aean measures a.e. a.e. a.e.
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem aean
StepHypRef Expression
1 unrab 3774 . . . . . 6
2 ianor 488 . . . . . . . 8
32a1i 11 . . . . . . 7
43rabbiia 3107 . . . . . 6
51, 4eqtr4i 2499 . . . . 5
65fveq2i 5874 . . . 4
76eqeq1i 2474 . . 3
8 measbasedom 27966 . . . . . . . . 9 measures measures
98biimpi 194 . . . . . . . 8 measures measures
1093ad2ant1 1017 . . . . . . 7 measures measures
1110adantr 465 . . . . . 6 measures measures
12 simp2 997 . . . . . . 7 measures
1312adantr 465 . . . . . 6 measures
14 measbase 27961 . . . . . . . . . . 11 measures sigAlgebra
159, 14syl 16 . . . . . . . . . 10 measures sigAlgebra
16 unelsiga 27927 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
1715, 16syl3an1 1261 . . . . . . . . 9 measures
18 ssun1 3672 . . . . . . . . . 10
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
2010, 12, 17, 19measssd 27979 . . . . . . . 8 measures
2120adantr 465 . . . . . . 7 measures
22 simpr 461 . . . . . . 7 measures
2321, 22breqtrd 4476 . . . . . 6 measures
24 measle0 27972 . . . . . 6 measures
2511, 13, 23, 24syl3anc 1228 . . . . 5 measures
26 simp3 998 . . . . . . 7 measures
2726adantr 465 . . . . . 6 measures
28 ssun2 3673 . . . . . . . . . 10
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
3010, 26, 17, 29measssd 27979 . . . . . . . 8 measures
3130adantr 465 . . . . . . 7 measures
3231, 22breqtrd 4476 . . . . . 6 measures
33 measle0 27972 . . . . . 6 measures
3411, 27, 32, 33syl3anc 1228 . . . . 5 measures
3525, 34jca 532 . . . 4 measures
3610adantr 465 . . . . 5 measures measures
3736, 14syl 16 . . . . . 6 measures sigAlgebra
3812adantr 465 . . . . . 6 measures
3926adantr 465 . . . . . 6 measures
4037, 38, 39, 16syl3anc 1228 . . . . 5 measures
4136, 38, 39measunl 27980 . . . . . 6 measures
42 simprl 755 . . . . . . . 8 measures
43 simprr 756 . . . . . . . 8 measures
4442, 43oveq12d 6312 . . . . . . 7 measures
45 0xr 9650 . . . . . . . 8
46 xaddid1 11448 . . . . . . . 8
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7
4844, 47syl6eq 2524 . . . . . 6 measures
4941, 48breqtrd 4476 . . . . 5 measures
50 measle0 27972 . . . . 5 measures
5136, 40, 49, 50syl3anc 1228 . . . 4 measures
5235, 51impbida 830 . . 3 measures
537, 52syl5bbr 259 . 2 measures
54 aean.1 . . . 4
5554braew 28007 . . 3 measures a.e.
56553ad2ant1 1017 . 2 measures a.e.
5754braew 28007 . . . 4 measures a.e.
5854braew 28007 . . . 4 measures a.e.
5957, 58anbi12d 710 . . 3 measures a.e. a.e.
60593ad2ant1 1017 . 2 measures a.e. a.e.
6153, 56, 603bitr4d 285 1 measures a.e. a.e. a.e.
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  crab 2821   cun 3479   wss 3481  cuni 4250   class class class wbr 4452   cdm 5004   crn 5005  cfv 5593  (class class class)co 6294  cc0 9502  cxr 9637   cle 9639  cxad 11326  sigAlgebracsiga 27900  measurescmeas 27959  a.e.cae 28002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-ac2 8853  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-acn 8333  df-ac 8507  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-ordt 14768  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-ps 15699  df-tsr 15700  df-plusf 15740  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-cring 17050  df-subrg 17275  df-abv 17314  df-lmod 17362  df-scaf 17363  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-tmd 20416  df-tgp 20417  df-tsms 20470  df-trg 20507  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-nm 20948  df-ngp 20949  df-nrg 20951  df-nlm 20952  df-ii 21226  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-esum 27834  df-siga 27901  df-meas 27960  df-ae 28004 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator