Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aean Structured version   Unicode version

Theorem aean 26665
Description: A conjunction holds almost everywhere if and only if both its terms do. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aean.1  |-  U. dom  M  =  O
Assertion
Ref Expression
aean  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M ) ) )
Distinct variable group:    x, O
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    M( x)

Proof of Theorem aean
StepHypRef Expression
1 unrab 3626 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  =  { x  e.  O  |  ( -.  ph  \/  -.  ps ) }
2 ianor 488 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ph  /\  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  -.  ps ) )
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  O  ->  ( -.  ( ph  /\  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  -.  ps ) ) )
43rabbiia 2966 . . . . . 6  |-  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) }  =  { x  e.  O  |  ( -.  ph  \/  -.  ps ) }
51, 4eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  =  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) }
65fveq2i 5699 . . . 4  |-  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )
76eqeq1i 2450 . . 3  |-  ( ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 )
8 measbasedom 26621 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  U. ran measures  <->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
98biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
1093ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
12 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M
)
14 measbase 26616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  dom  M )  ->  dom  M  e. 
U. ran sigAlgebra )
159, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  dom  M  e.  U. ran sigAlgebra )
16 unelsiga 26582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M
)  ->  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  e. 
dom  M )
1715, 16syl3an1 1251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } )  e.  dom  M )
18 ssun1 3524 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  O  |  -.  ph }  C_  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  C_  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )
2010, 12, 17, 19measssd 26634 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
2321, 22breqtrd 4321 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  0
)
24 measle0 26627 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  <_ 
0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
2511, 13, 23, 24syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
26 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M
)
28 ssun2 3525 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  O  |  -.  ps }  C_  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  C_  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )
3010, 26, 17, 29measssd 26634 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
3231, 22breqtrd 4321 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  0
)
33 measle0 26627 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M  /\  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  <_ 
0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
3411, 27, 32, 33syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
3525, 34jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  (
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )
3610adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
3736, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  dom  M  e.  U.
ran sigAlgebra )
3812adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M )
3926adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )
4037, 38, 39, 16syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } )  e.  dom  M )
4136, 38, 39measunl 26635 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
42 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
43 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
4442, 43oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  ( 0 +e 0 ) )
45 0xr 9435 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
46 xaddid1 11214 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0 +e 0 )  =  0 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 +e 0 )  =  0
4844, 47syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
4941, 48breqtrd 4321 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  0 )
50 measle0 26627 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  e. 
dom  M  /\  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  0 )  -> 
( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
5136, 40, 49, 50syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
5235, 51impbida 828 . . 3  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0  <->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
537, 52syl5bbr 259 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0  <->  (
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
54 aean.1 . . . 4  |-  U. dom  M  =  O
5554braew 26663 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 ) )
56553ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 ) )
5754braew 26663 . . . 4  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 ) )
5854braew 26663 . . . 4  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ps }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )
5957, 58anbi12d 710 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  (
( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M )  <->  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
60593ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  {
x  e.  O  |  ps }a.e. M )  <->  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
6153, 56, 603bitr4d 285 1  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724    u. cun 3331    C_ wss 3333   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ran crn 4846   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   RR*cxr 9422    <_ cle 9424   +ecxad 11092  sigAlgebracsiga 26555  measurescmeas 26614  a.e.cae 26658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-ac2 8637  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-ac 8291  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-ordt 14444  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-ps 15375  df-tsr 15376  df-mnd 15420  df-plusf 15421  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-abv 16907  df-lmod 16955  df-scaf 16956  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-tmd 19648  df-tgp 19649  df-tsms 19702  df-trg 19739  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-nm 20180  df-ngp 20181  df-nrg 20183  df-nlm 20184  df-ii 20458  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-esum 26489  df-siga 26556  df-meas 26615  df-ae 26660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator