Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aean Structured version   Unicode version

Theorem aean 29075
Description: A conjunction holds almost everywhere if and only if both its terms do. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aean.1  |-  U. dom  M  =  O
Assertion
Ref Expression
aean  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M ) ) )
Distinct variable group:    x, O
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    M( x)

Proof of Theorem aean
StepHypRef Expression
1 unrab 3744 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  =  { x  e.  O  |  ( -.  ph  \/  -.  ps ) }
2 ianor 490 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ph  /\  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  -.  ps ) )
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  O  ->  ( -.  ( ph  /\  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  -.  ps ) ) )
43rabbiia 3068 . . . . . 6  |-  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) }  =  { x  e.  O  |  ( -.  ph  \/  -.  ps ) }
51, 4eqtr4i 2454 . . . . 5  |-  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  =  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) }
65fveq2i 5884 . . . 4  |-  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )
76eqeq1i 2429 . . 3  |-  ( ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 )
8 measbasedom 29032 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  U. ran measures  <->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
98biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
1093ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
1110adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
12 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M )
1312adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M
)
14 dmmeas 29031 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  dom  M  e.  U. ran sigAlgebra )
15 unelsiga 28964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M
)  ->  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  e. 
dom  M )
1614, 15syl3an1 1297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } )  e.  dom  M )
17 ssun1 3629 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  O  |  -.  ph }  C_  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  C_  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )
1910, 12, 16, 18measssd 29045 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
2019adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
21 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
2220, 21breqtrd 4448 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  0
)
23 measle0 29038 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  <_ 
0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
2411, 13, 22, 23syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
25 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )
2625adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M
)
27 ssun2 3630 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  O  |  -.  ps }  C_  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )
2827a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  C_  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )
2910, 25, 16, 28measssd 29045 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
3029adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
3130, 21breqtrd 4448 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  0
)
32 measle0 29038 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M  /\  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  <_ 
0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
3311, 26, 31, 32syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
3424, 33jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  (
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )
3510adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
36 measbase 29027 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  dom  M )  ->  dom  M  e. 
U. ran sigAlgebra )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  dom  M  e.  U.
ran sigAlgebra )
3812adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M )
3925adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )
4037, 38, 39, 15syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } )  e.  dom  M )
4135, 38, 39measunl 29046 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
42 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
43 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
4442, 43oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  ( 0 +e 0 ) )
45 0xr 9694 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
46 xaddid1 11539 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0 +e 0 )  =  0 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 +e 0 )  =  0
4844, 47syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
4941, 48breqtrd 4448 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  0 )
50 measle0 29038 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  e. 
dom  M  /\  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  0 )  -> 
( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
5135, 40, 49, 50syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
5234, 51impbida 840 . . 3  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0  <->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
537, 52syl5bbr 262 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0  <->  (
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
54 aean.1 . . . 4  |-  U. dom  M  =  O
5554braew 29073 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 ) )
56553ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 ) )
5754braew 29073 . . . 4  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 ) )
5854braew 29073 . . . 4  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ps }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )
5957, 58anbi12d 715 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  (
( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M )  <->  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
60593ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  {
x  e.  O  |  ps }a.e. M )  <->  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
6153, 56, 603bitr4d 288 1  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2775    u. cun 3434    C_ wss 3436   U.cuni 4219   class class class wbr 4423   dom cdm 4853   ran crn 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9546   RR*cxr 9681    <_ cle 9683   +ecxad 11414  sigAlgebracsiga 28937  measurescmeas 29025  a.e.cae 29068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857  df-siga 28938  df-meas 29026  df-ae 29070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator