Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aean Structured version   Unicode version

Theorem aean 28009
Description: A conjunction holds almost everywhere if and only if both its terms do. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
aean.1  |-  U. dom  M  =  O
Assertion
Ref Expression
aean  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M ) ) )
Distinct variable group:    x, O
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    M( x)

Proof of Theorem aean
StepHypRef Expression
1 unrab 3774 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  =  { x  e.  O  |  ( -.  ph  \/  -.  ps ) }
2 ianor 488 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ph  /\  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  -.  ps ) )
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  O  ->  ( -.  ( ph  /\  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  -.  ps ) ) )
43rabbiia 3107 . . . . . 6  |-  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) }  =  { x  e.  O  |  ( -.  ph  \/  -.  ps ) }
51, 4eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  =  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) }
65fveq2i 5874 . . . 4  |-  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )
76eqeq1i 2474 . . 3  |-  ( ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 )
8 measbasedom 27966 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  U. ran measures  <->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
98biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
1093ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
12 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M
)
14 measbase 27961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  dom  M )  ->  dom  M  e. 
U. ran sigAlgebra )
159, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  dom  M  e.  U. ran sigAlgebra )
16 unelsiga 27927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  M  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M
)  ->  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  e. 
dom  M )
1715, 16syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } )  e.  dom  M )
18 ssun1 3672 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  O  |  -.  ph }  C_  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  C_  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )
2010, 12, 17, 19measssd 27979 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
2321, 22breqtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  <_  0
)
24 measle0 27972 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  <_ 
0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
2511, 13, 23, 24syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
26 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M
)
28 ssun2 3673 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  O  |  -.  ps }  C_  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  C_  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )
3010, 26, 17, 29measssd 27979 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
3231, 22breqtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  <_  0
)
33 measle0 27972 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M  /\  ( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  <_ 
0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
3411, 27, 32, 33syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
3525, 34jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )  ->  (
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )
3610adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  M  e.  (measures `  dom  M ) )
3736, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  dom  M  e.  U.
ran sigAlgebra )
3812adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M )
3926adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )
4037, 38, 39, 16syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } )  e.  dom  M )
4136, 38, 39measunl 27980 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) ) )
42 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 )
43 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 )
4442, 43oveq12d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  ( 0 +e 0 ) )
45 0xr 9650 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
46 xaddid1 11448 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( 0 +e 0 )  =  0 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 +e 0 )  =  0
4844, 47syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } ) +e
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
4941, 48breqtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  0 )
50 measle0 27972 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  dom  M )  /\  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } )  e. 
dom  M  /\  ( M `  ( {
x  e.  O  |  -.  ph }  u.  {
x  e.  O  |  -.  ps } ) )  <_  0 )  -> 
( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
5136, 40, 49, 50syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  U. ran measures 
/\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  /\  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )  ->  ( M `  ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0 )
5235, 51impbida 830 . . 3  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( M `
 ( { x  e.  O  |  -.  ph }  u.  { x  e.  O  |  -.  ps } ) )  =  0  <->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
537, 52syl5bbr 259 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0  <->  (
( M `  {
x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `
 { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
54 aean.1 . . . 4  |-  U. dom  M  =  O
5554braew 28007 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 ) )
56553ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ( ph  /\  ps ) } )  =  0 ) )
5754braew 28007 . . . 4  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0 ) )
5854braew 28007 . . . 4  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  ( { x  e.  O  |  ps }a.e. M  <->  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) )
5957, 58anbi12d 710 . . 3  |-  ( M  e.  U. ran measures  ->  (
( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M )  <->  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
60593ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  {
x  e.  O  |  ps }a.e. M )  <->  ( ( M `  { x  e.  O  |  -.  ph } )  =  0  /\  ( M `  { x  e.  O  |  -.  ps } )  =  0 ) ) )
6153, 56, 603bitr4d 285 1  |-  ( ( M  e.  U. ran measures  /\  { x  e.  O  |  -.  ph }  e.  dom  M  /\  { x  e.  O  |  -.  ps }  e.  dom  M )  ->  ( { x  e.  O  |  ( ph  /\  ps ) }a.e. M  <->  ( { x  e.  O  |  ph }a.e. M  /\  { x  e.  O  |  ps }a.e. M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    u. cun 3479    C_ wss 3481   U.cuni 4250   class class class wbr 4452   dom cdm 5004   ran crn 5005   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   RR*cxr 9637    <_ cle 9639   +ecxad 11326  sigAlgebracsiga 27900  measurescmeas 27959  a.e.cae 28002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-ac2 8853  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-acn 8333  df-ac 8507  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-ordt 14768  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-ps 15699  df-tsr 15700  df-plusf 15740  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-cring 17050  df-subrg 17275  df-abv 17314  df-lmod 17362  df-scaf 17363  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-tmd 20416  df-tgp 20417  df-tsms 20470  df-trg 20507  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-nm 20948  df-ngp 20949  df-nrg 20951  df-nlm 20952  df-ii 21226  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-esum 27834  df-siga 27901  df-meas 27960  df-ae 28004
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator