MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Unicode version

Theorem advlog 22121
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9395 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3 rpre 11018 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
54recnd 9433 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
6 1cnd 9423 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
7 recn 9393 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
9 1red 9422 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
102dvmptid 21453 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
11 rpssre 11022 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
13 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413tgioo2 20402 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
15 ioorp 11394 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
16 iooretop 20367 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1715, 16eqeltrri 2514 . . . . . 6  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
192, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 18dvmptres 21459 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
20 relogcl 22049 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
22 peano2rem 9696 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  RR  ->  (
( log `  x
)  -  1 )  e.  RR )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  1 )  e.  RR )
2423recnd 9433 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  1 )  e.  CC )
25 rpreccl 11035 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
2726rpcnd 11050 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
2821recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
29 dvrelog 22104 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
30 relogf1o 22040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
31 f1of 5662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
3230, 31mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
3332feqmptd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
34 fvres 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
3534mpteq2ia 4395 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
3633, 35syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
3736oveq2d 6128 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
3829, 37syl5reqr 2490 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
39 0cnd 9400 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
40 1cnd 9423 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
41 0cnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
42 1cnd 9423 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
432, 42dvmptc 21454 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
442, 40, 41, 43, 12, 14, 13, 18dvmptres 21459 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 21463 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  /  x )  -  0 ) ) )
4627subid1d 9729 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  x )  -  0 )  =  ( 1  /  x
) )
4746mpteq2dva 4399 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  /  x )  -  0 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
4845, 47eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 21457 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x
)  x.  x ) ) ) )
5024mulid2d 9425 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  =  ( ( log `  x
)  -  1 ) )
51 rpne0 11027 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
5251adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
535, 52recid2d 10124 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  x )  x.  x )  =  1 )
5450, 53oveq12d 6130 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( log `  x )  -  1 )  +  1 ) )
55 ax-1cn 9361 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
56 npcan 9640 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( log `  x
) )
5728, 55, 56sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x
)  -  1 )  +  1 )  =  ( log `  x
) )
5854, 57eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )  =  ( log `  x
) )
5958mpteq2dva 4399 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
6049, 59eqtrd 2475 . 2  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
6160trud 1378 1  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2620    C_ wss 3349   {cpr 3900    e. cmpt 4371   ran crn 4862    |` cres 4863   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   +oocpnf 9436    - cmin 9616    / cdiv 10014   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   TopOpenctopn 14381   topGenctg 14397  ℂfldccnfld 17840    _D cdv 21360   logclog 22028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  22584
  Copyright terms: Public domain W3C validator