MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Unicode version

Theorem advlog 22860
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9585 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3 rpre 11227 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
54recnd 9623 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
6 1cnd 9613 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
7 recn 9583 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
9 1red 9612 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
102dvmptid 22187 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
11 rpssre 11231 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413tgioo2 21135 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
15 ioorp 11603 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
16 iooretop 21100 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1715, 16eqeltrri 2552 . . . . . 6  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
192, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 18dvmptres 22193 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
20 relogcl 22788 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
22 peano2rem 9887 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  RR  ->  (
( log `  x
)  -  1 )  e.  RR )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  1 )  e.  RR )
2423recnd 9623 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  1 )  e.  CC )
25 rpreccl 11244 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
2726rpcnd 11259 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
2821recnd 9623 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
29 dvrelog 22843 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
30 relogf1o 22779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
31 f1of 5816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
3230, 31mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
3332feqmptd 5921 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
) ) )
34 fvres 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
3534mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
3633, 35syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
3736oveq2d 6301 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) ) )
3829, 37syl5reqr 2523 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
39 0cnd 9590 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  CC )
40 1cnd 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
41 0cnd 9590 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
42 1cnd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
432, 42dvmptc 22188 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
442, 40, 41, 43, 12, 14, 13, 18dvmptres 22193 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 22197 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  /  x )  -  0 ) ) )
4627subid1d 9920 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  x )  -  0 )  =  ( 1  /  x
) )
4746mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  /  x )  -  0 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
4845, 47eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 22191 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x
)  x.  x ) ) ) )
5024mulid2d 9615 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  =  ( ( log `  x
)  -  1 ) )
51 rpne0 11236 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
5251adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
535, 52recid2d 10317 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  /  x )  x.  x )  =  1 )
5450, 53oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( log `  x )  -  1 )  +  1 ) )
55 ax-1cn 9551 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
56 npcan 9830 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( log `  x
) )
5728, 55, 56sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x
)  -  1 )  +  1 )  =  ( log `  x
) )
5854, 57eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) )  =  ( log `  x
) )
5958mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  +  ( ( 1  /  x )  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
6049, 59eqtrd 2508 . 2  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )
6160trud 1388 1  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   {cpr 4029    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498   +oocpnf 9626    - cmin 9806    / cdiv 10207   RR+crp 11221   (,)cioo 11530   TopOpenctopn 14680   topGenctg 14696  ℂfldccnfld 18231    _D cdv 22094   logclog 22767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-sin 13670  df-cos 13671  df-pi 13673  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098  df-log 22769
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  23323
  Copyright terms: Public domain W3C validator