HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjsym Structured version   Unicode version

Theorem adjsym 26456
Description: Symmetry property of an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjsym  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, T, y

Proof of Theorem adjsym
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2 ax-his1 25703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) ) )
31, 2sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) ) )
43adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( ( T `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) ) )
5 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
6 ax-his1 25703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( S `  x )  e.  ~H )  -> 
( y  .ih  ( S `  x )
)  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) ) )
75, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( * `  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
87adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( y  .ih  ( S `  x )
)  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) ) )
94, 8eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x )  .ih  y
) ) ) )
109ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x )  .ih  y
) ) ) )
11 hicl 25701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
121, 11sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  e.  CC )
1312adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
14 hicl 25701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
155, 14sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1615adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
17 cj11 12958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( T `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( S `  x
)  .ih  y )
) )
1910, 18bitr2d 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( ( T `  y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
2019an4s 824 . . . . . 6  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
2120anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( ( T `  y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
22 eqcom 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `  x ) )  <->  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
2321, 22syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( ( ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
2423ralbidva 2900 . . 3  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
2524ralbidva 2900 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
26 ralcom 3022 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) )
27 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( S `  z )  =  ( S `  y ) )
2827oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( x  .ih  ( S `  y )
) )
29 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( T `  x
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y ) )
3028, 29eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( S `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
) )
3130ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 z ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) ) )
3231cbvralv 3088 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) )
3326, 32bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. z  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z ) )
34 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( y  .ih  ( S `  z )
) )
35 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
3635oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( T `  x
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 y )  .ih  z ) )
3734, 36eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  ( y  .ih  ( S `  z
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  z )
) )
3837cbvralv 3088 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  z
)  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
3938ralbii 2895 . . 3  |-  ( A. z  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  A. z  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
40 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( S `  z )  =  ( S `  x ) )
4140oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( y  .ih  ( S `  x )
) )
42 oveq2 6292 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T `  y
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 y )  .ih  x ) )
4341, 42eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
4443ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
4544cbvralv 3088 . . 3  |-  ( A. z  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
4633, 39, 453bitri 271 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
4725, 46syl6rbbr 264 1  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   *ccj 12892   ~Hchil 25540    .ih csp 25543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-hfi 25700  ax-his1 25703
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897
This theorem is referenced by:  dfadj2  26508  adjval2  26514  cnlnadjeui  26700  cnlnssadj  26703  adjbdln  26706
  Copyright terms: Public domain W3C validator