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Theorem adjsym 26950
Description: Symmetry property of an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjsym  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, T, y

Proof of Theorem adjsym
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
2 ax-his1 26197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  y
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) ) )
31, 2sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( * `  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) ) )
43adantrl 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( ( T `  y )  .ih  x
)  =  ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) ) )
5 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
6 ax-his1 26197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( S `  x )  e.  ~H )  -> 
( y  .ih  ( S `  x )
)  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) ) )
75, 6sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( * `  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
87adantll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( y  .ih  ( S `  x )
)  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) ) )
94, 8eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( S : ~H
--> ~H  /\  x  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x )  .ih  y
) ) ) )
109ancoms 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) )  <-> 
( * `  (
x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x )  .ih  y
) ) ) )
11 hicl 26195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
121, 11sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  e.  CC )
1312adantll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
14 hicl 26195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
155, 14sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 x )  .ih  y )  e.  CC )
1615adantrl 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
17 cj11 13077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC  /\  ( ( S `  x )  .ih  y
)  e.  CC )  ->  ( ( * `
 ( x  .ih  ( T `  y ) ) )  =  ( * `  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) )  <-> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( * `  ( x  .ih  ( T `
 y ) ) )  =  ( * `
 ( ( S `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( S `  x
)  .ih  y )
) )
1910, 18bitr2d 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( ( T `  y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
2019an4s 824 . . . . . 6  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  y
)  <->  ( ( T `
 y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
2120anassrs 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( ( T `  y )  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `
 x ) ) ) )
22 eqcom 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  y
)  .ih  x )  =  ( y  .ih  ( S `  x ) )  <->  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
2321, 22syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( ( ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H )  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y )  <->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
2423ralbidva 2890 . . 3  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  .ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
2524ralbidva 2890 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
26 ralcom 3015 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) )
27 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( S `  z )  =  ( S `  y ) )
2827oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( x  .ih  ( S `  y )
) )
29 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( T `  x
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y ) )
3028, 29eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( S `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
) )
3130ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 z ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) ) )
3231cbvralv 3081 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y ) )
3326, 32bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. z  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z ) )
34 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( y  .ih  ( S `  z )
) )
35 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
3635oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( T `  x
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 y )  .ih  z ) )
3734, 36eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  ( y  .ih  ( S `  z
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  z )
) )
3837cbvralv 3081 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  z
)  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
3938ralbii 2885 . . 3  |-  ( A. z  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  z )  <->  A. z  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
40 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( S `  z )  =  ( S `  x ) )
4140oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( y  .ih  ( S `  x )
) )
42 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T `  y
)  .ih  z )  =  ( ( T `
 y )  .ih  x ) )
4341, 42eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( y  .ih  ( S `  x
) )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
4443ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
4544cbvralv 3081 . . 3  |-  ( A. z  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( S `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
4633, 39, 453bitri 271 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( T `  x ) 
.ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( y  .ih  ( S `  x ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) )
4725, 46syl6rbbr 264 1  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( S `  x ) 
.ih  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   *ccj 13011   ~Hchil 26034    .ih csp 26037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-hfi 26194  ax-his1 26197
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016
This theorem is referenced by:  dfadj2  27002  adjval2  27008  cnlnadjeui  27194  cnlnssadj  27197  adjbdln  27200
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