Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjmul Structured version   Unicode version

Theorem adjmul 27137
 Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmul

Proof of Theorem adjmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 26933 . . 3
2 homulcl 26804 . . 3
31, 2sylan2 474 . 2
4 cjcl 12949 . . 3
5 dmadjrn 26940 . . . 4
6 dmadjop 26933 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
8 homulcl 26804 . . 3
94, 7, 8syl2an 477 . 2
10 adj2 26979 . . . . . . . 8
11103expb 1197 . . . . . . 7
1211adantll 713 . . . . . 6
1312oveq2d 6312 . . . . 5
141ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9
15 ax-his3 26127 . . . . . . . . 9
1614, 15syl3an2 1262 . . . . . . . 8
17163exp 1195 . . . . . . 7
1817expd 436 . . . . . 6
1918imp43 595 . . . . 5
20 simpll 753 . . . . . 6
21 simprl 756 . . . . . 6
22 adjcl 26977 . . . . . . 7
2322ad2ant2l 745 . . . . . 6
24 his52 26130 . . . . . 6
2520, 21, 23, 24syl3anc 1228 . . . . 5
2613, 19, 253eqtr4d 2508 . . . 4
27 homval 26786 . . . . . . . 8
281, 27syl3an2 1262 . . . . . . 7
29283expa 1196 . . . . . 6
3029adantrr 716 . . . . 5
3130oveq1d 6311 . . . 4
32 id 22 . . . . . . . 8
33 homval 26786 . . . . . . . 8
344, 7, 32, 33syl3an 1270 . . . . . . 7
35343expa 1196 . . . . . 6
3635adantrl 715 . . . . 5
3736oveq2d 6312 . . . 4
3826, 31, 373eqtr4d 2508 . . 3
3938ralrimivva 2878 . 2
40 adjeq 26980 . 2
413, 9, 39, 40syl3anc 1228 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807   cdm 5008  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507   cmul 9514  ccj 12940  chil 25962   csm 25964   csp 25965   chot 25982  cado 25998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-hvsub 26014  df-homul 26776  df-adjh 26894 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator