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Theorem adjmo 26877
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Distinct variable group:    x, y, u, T

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2985 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
2 eqtr2 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  -> 
( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
32ralimi 2850 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~H  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
43ralimi 2850 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)
51, 4sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
6 hoeq1 26875 . . . . . 6  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y )  <->  u  =  v ) )
76biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  u  =  v )
85, 7sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
98an4s 826 . . 3  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
109gen2 1620 . 2  |-  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  (
v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )  ->  u  =  v )
11 feq1 5719 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  v : ~H
--> ~H ) )
12 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u `  x )  =  ( v `  x ) )
1312oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
1413eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
) )
15142ralbidv 2901 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
1611, 15anbi12d 710 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1716mo4 2338 . 2  |-  ( E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v ) )
1810, 17mpbir 209 1  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395   E*wmo 2284   A.wral 2807   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ~Hchil 25962    .ih csp 25965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-hvsub 26014
This theorem is referenced by:  funadj  26931  adjeu  26934  cnlnadjeui  27122
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