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Theorem adjmo 27470
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Distinct variable group:    x, y, u, T

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2956 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
2 eqtr2 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  -> 
( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
32ralimi 2818 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~H  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
43ralimi 2818 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)
51, 4sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
6 hoeq1 27468 . . . . . 6  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y )  <->  u  =  v ) )
76biimpa 486 . . . . 5  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  u  =  v )
85, 7sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
98an4s 833 . . 3  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
109gen2 1666 . 2  |-  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  (
v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )  ->  u  =  v )
11 feq1 5724 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  v : ~H
--> ~H ) )
12 fveq1 5876 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u `  x )  =  ( v `  x ) )
1312oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
1413eqeq2d 2436 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
) )
15142ralbidv 2869 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
1611, 15anbi12d 715 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1716mo4 2313 . 2  |-  ( E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v ) )
1810, 17mpbir 212 1  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E*wmo 2266   A.wral 2775   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   ~Hchil 26557    .ih csp 26560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-hfvadd 26638  ax-hvcom 26639  ax-hvass 26640  ax-hv0cl 26641  ax-hvaddid 26642  ax-hfvmul 26643  ax-hvmulid 26644  ax-hvdistr2 26647  ax-hvmul0 26648  ax-hfi 26717  ax-his2 26721  ax-his3 26722  ax-his4 26723
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862  df-neg 9863  df-hvsub 26609
This theorem is referenced by:  funadj  27524  adjeu  27527  cnlnadjeui  27715
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