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Theorem adjmo 25234
Description: Every Hilbert space operator has at most one adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjmo  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Distinct variable group:    x, y, u, T

Proof of Theorem adjmo
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26-2 2848 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  <->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
2 eqtr2 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  -> 
( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
32ralimi 2789 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ~H  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  /\  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )
43ralimi 2789 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)
51, 4sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
6 hoeq1 25232 . . . . . 6  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( u `  x )  .ih  y
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y )  <->  u  =  v ) )
76biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( u `
 x )  .ih  y )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
)  ->  u  =  v )
85, 7sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
98an4s 822 . . 3  |-  ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) ) )  ->  u  =  v )
109gen2 1592 . 2  |-  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  /\  (
v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )  ->  u  =  v )
11 feq1 5540 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  v : ~H
--> ~H ) )
12 fveq1 5688 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  (
u `  x )  =  ( v `  x ) )
1312oveq1d 6104 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
( u `  x
)  .ih  y )  =  ( ( v `
 x )  .ih  y ) )
1413eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  (
( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y )  <->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  y )
) )
15142ralbidv 2755 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  y
) ) )
1611, 15anbi12d 710 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )  <->  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) ) )
1716mo4 2317 . 2  |-  ( E* u ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  <->  A. u A. v ( ( ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( u `  x ) 
.ih  y ) )  /\  ( v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( v `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  u  =  v ) )
1810, 17mpbir 209 1  |-  E* u
( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E*wmo 2254   A.wral 2713   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   ~Hchil 24319    .ih csp 24322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-ltxr 9421  df-sub 9595  df-neg 9596  df-hvsub 24371
This theorem is referenced by:  funadj  25288  adjeu  25291  cnlnadjeui  25479
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