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Theorem adjlnop 25625
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 25434 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
2 dmadjop 25427 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
4 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  w  e.  ~H )
5 adjcl 25471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
6 hvmulcl 24550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
75, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
87an12s 799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  e.  ~H )
98adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
1093adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
11 adjcl 25471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
1211adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
13123adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
14 his7 24627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) )  =  ( ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  +  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) ) )
154, 10, 13, 14syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )  =  ( ( w  .ih  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  +  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
16 adj2 25473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  y
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163adant3l 1215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  y )  =  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
* `  x )  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
19 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
20 dmadjop 25427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
2120ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w
)  e.  ~H )
22213adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
23 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
24 his5 24623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
26 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  w  e.  ~H )
275adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
28273adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
29 his5 24623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  (
( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3019, 26, 28, 29syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3118, 25, 303eqtr4d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
32313adant3r 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
x  .h  y ) )  =  ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
33 adj2 25473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
34333adant3l 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
3532, 34oveq12d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )  +  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
36213adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  w
)  e.  ~H )
37 hvmulcl 24550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y )  e.  ~H )
39383ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
40 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
z  e.  ~H )
41 his7 24627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  w
)  e.  ~H  /\  ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
4236, 39, 40, 41syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
43 hvaddcl 24549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
4437, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
45 adj2 25473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4644, 45syl3an3 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4742, 46eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4815, 35, 473eqtr2rd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
49483com23 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  (
w  .ih  ( ( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
50493expa 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
5150ralrimiva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
52 adjcl 25471 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
5344, 52sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
54 hvaddcl 24549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
558, 11, 54syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
5655anandis 826 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
57 hial2eq2 24644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H  /\  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5951, 58mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )
6059exp32 605 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) ) )
6160ralrimdv 2901 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
6261ralrimivv 2903 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )
63 ellnop 25397 . 2  |-  ( (
adjh `  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( adjh `  T
) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
643, 62, 63sylanbrc 664 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   dom cdm 4938   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381    + caddc 9386    x. cmul 9388   *ccj 12687   ~Hchil 24456    +h cva 24457    .h csm 24458    .ih csp 24459   LinOpclo 24484   adjhcado 24492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-hilex 24536  ax-hfvadd 24537  ax-hvcom 24538  ax-hvass 24539  ax-hv0cl 24540  ax-hvaddid 24541  ax-hfvmul 24542  ax-hvmulid 24543  ax-hvdistr2 24546  ax-hvmul0 24547  ax-hfi 24616  ax-his1 24619  ax-his2 24620  ax-his3 24621  ax-his4 24622
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-2 10481  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-hvsub 24508  df-lnop 25380  df-adjh 25388
This theorem is referenced by:  adjsslnop  25626
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