Theorem adjlnop 11448

Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
adjlnop	|- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. LinOp)

Proof of Theorem adjlnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 11250	. . . 4 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. dom adjh)
2		dmadjop 11249	. . . 4 |- ((adjh` T) e. dom adjh -> (adjh` T):~H-->~H)
3	1, 2	syl 12	. . 3 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T):~H-->~H)
4		his7 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T` w) e. ~H /\ (x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((T` w) .ih ((x .h y) +h z)) = (((T` w) .ih (x .h y)) + ((T` w) .ih z)))
5		ffvelrn 4598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T:~H-->~H /\ w e. ~H) -> (T` w) e. ~H)
6		dmadjop 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (T e. dom adjh -> T:~H-->~H)
7	5, 6	sylan 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H) -> (T` w) e. ~H)
8	7	3adant3 892	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (T` w) e. ~H)
9		hvmulcl 10307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
10	9	adantr 423	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
11	10	3ad2ant3 895	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (x .h y) e. ~H)
12		3simp3r 901	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> z e. ~H)
13	4, 8, 11, 12	syl3anc 975	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((T` w) .ih ((x .h y) +h z)) = (((T` w) .ih (x .h y)) + ((T` w) .ih z)))
14		adj2 11287	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x .h y) +h z) e. ~H) -> ((T` w) .ih ((x .h y) +h z)) = (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))))
15		hvaddcl 10306	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
16	15, 9	sylan 495	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
17	14, 16	syl3an3 979	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((T` w) .ih ((x .h y) +h z)) = (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))))
18		adj2 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` w) .ih y) = (w .ih ((adjh` T)` y)))
19	18	3adant3l 973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((T` w) .ih y) = (w .ih ((adjh` T)` y)))
20	19	opreq2d 4709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((*` x) x. ((T` w) .ih y)) = ((*` x) x. (w .ih ((adjh` T)` y))))
21		his5 10378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ (T` w) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` w) .ih (x .h y)) = ((*` x) x. ((T` w) .ih y)))
22		3simp3l 900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> x e. CC)
23	7	3adant3 892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (T` w) e. ~H)
24		3simp3r 901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> y e. ~H)
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((T` w) .ih (x .h y)) = ((*` x) x. ((T` w) .ih y)))
26		his5 10378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ w e. ~H /\ ((adjh` T)` y) e. ~H) -> (w .ih (x .h ((adjh` T)` y))) = ((*` x) x. (w .ih ((adjh` T)` y))))
27		3simp2 873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> w e. ~H)
28		adjcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((T e. dom adjh /\ y e. ~H) -> ((adjh` T)` y) e. ~H)
29	28	adantrl 428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((T e. dom adjh /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((adjh` T)` y) e. ~H)
30	29	3adant2 891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((adjh` T)` y) e. ~H)
31	26, 22, 27, 30	syl3anc 975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (w .ih (x .h ((adjh` T)` y))) = ((*` x) x. (w .ih ((adjh` T)` y))))
32	20, 25, 31	3eqtr4d 1774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((T` w) .ih (x .h y)) = (w .ih (x .h ((adjh` T)` y))))
33	32	3adant3r 974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((T` w) .ih (x .h y)) = (w .ih (x .h ((adjh` T)` y))))
34		adj2 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ z e. ~H) -> ((T` w) .ih z) = (w .ih ((adjh` T)` z)))
35	34	3adant3l 973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((T` w) .ih z) = (w .ih ((adjh` T)` z)))
36	33, 35	opreq12d 4711	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (((T` w) .ih (x .h y)) + ((T` w) .ih z)) = ((w .ih (x .h ((adjh` T)` y))) + (w .ih ((adjh` T)` z))))
37		his7 10381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. ~H /\ (x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H /\ ((adjh` T)` z) e. ~H) -> (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))) = ((w .ih (x .h ((adjh` T)` y))) + (w .ih ((adjh` T)` z))))
38		3simp2 873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> w e. ~H)
39		hvmulcl 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. CC /\ ((adjh` T)` y) e. ~H) -> (x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H)
40	39, 28	sylan2 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ (T e. dom adjh /\ y e. ~H)) -> (x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H)
41	40	an1s 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. dom adjh /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H)
42	41	adantrr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H)
43	42	3adant2 891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H)
44		adjcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. dom adjh /\ z e. ~H) -> ((adjh` T)` z) e. ~H)
45	44	adantrl 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((adjh` T)` z) e. ~H)
46	45	3adant2 891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((adjh` T)` z) e. ~H)
47	37, 38, 43, 46	syl3anc 975	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))) = ((w .ih (x .h ((adjh` T)` y))) + (w .ih ((adjh` T)` z))))
48	36, 47	eqtr4d 1765	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (((T` w) .ih (x .h y)) + ((T` w) .ih z)) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
49	13, 17, 48	3eqtr3d 1771	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
50	49	3com23 953	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
51	50	3expa 946	. . . . . . . 8 |- (((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) /\ w e. ~H) -> (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
52	51	r19.21aiva 2010	. . . . . . 7 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> A.w e. ~H (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
53		hial2eq2 10398	. . . . . . . 8 |- ((((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) e. ~H /\ ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)) e. ~H) -> (A.w e. ~H (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))) <-> ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
54		adjcl 11285	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ ((x .h y) +h z) e. ~H) -> ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
55	54, 16	sylan2 498	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
56		hvaddcl 10306	. . . . . . . . . 10 |- (((x .h ((adjh` T)` y)) e. ~H /\ ((adjh` T)` z) e. ~H) -> ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)) e. ~H)
57	56, 41, 44	syl2an 501	. . . . . . . . 9 |- (((T e. dom adjh /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ (T e. dom adjh /\ z e. ~H)) -> ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)) e. ~H)
58	57	anandis 567	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)) e. ~H)
59	53, 55, 58	sylanc 521	. . . . . . 7 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (A.w e. ~H (w .ih ((adjh` T)` ((x .h y) +h z))) = (w .ih ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))) <-> ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
60	52, 59	mpbid 211	. . . . . 6 |- ((T e. dom adjh /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)))
61	60	exp32 406	. . . . 5 |- (T e. dom adjh -> ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (z e. ~H -> ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)))))
62	61	r19.21adv 2015	. . . 4 |- (T e. dom adjh -> ((x e. CC /\ y e. ~H) -> A.z e. ~H ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
63	62	r19.21aivv 2017	. . 3 |- (T e. dom adjh -> A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z)))
64	3, 63	jca 308	. 2 |- (T e. dom adjh -> ((adjh` T):~H-->~H /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
65		ellnop 11213	. 2 |- ((adjh` T) e. LinOp <-> ((adjh` T):~H-->~H /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((adjh` T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((adjh` T)` y)) +h ((adjh` T)` z))))
66	64, 65	sylibr 216	1 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. LinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239   /\ w3a 855   = wceq 1136   e. wcel 1138  A.wral 1939  dom cdm 3797  -->wf 3805  ` cfv 3809  (class class class)co 4695  CCcc 6180   + caddc 6185   x. cmul 6187  *ccj 7794  ~Hchil 10212   +h cva 10213   .h csm 10214   .ih csp 10217  LinOpclo 10240  adj_hcado 10248

This theorem is referenced by:  adjsslnop 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540  ax-hilex 10293  ax-hfvadd 10294  ax-hvcom 10295  ax-hvass 10296  ax-hv0cl 10297  ax-hvaddid 10298  ax-hfvmul 10299  ax-hvmulid 10300  ax-hvdistr2 10303  ax-hvmul0 10304  ax-hfi 10371  ax-his1 10374  ax-his2 10375  ax-his3 10376  ax-his4 10377

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-map 5194  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-div 6688  df-re 7796  df-im 7797  df-cj 7798  df-hvsub 10264  df-lnop 11196  df-adjh 11204

Copyright terms: Public domain