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Theorem adjlnop 26669
Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjlnop  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )

Proof of Theorem adjlnop
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 26478 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
2 dmadjop 26471 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
4 simp2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  w  e.  ~H )
5 adjcl 26515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
6 hvmulcl 25594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
75, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
87an12s 799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  e.  ~H )
98adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
1093adant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H )
11 adjcl 26515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
1211adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
13123adant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  z )  e.  ~H )
14 his7 25671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) )  =  ( ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  +  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  z ) ) ) )
154, 10, 13, 14syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )  =  ( ( w  .ih  (
x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  +  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
16 adj2 26517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  y
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163adant3l 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  y )  =  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
* `  x )  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
19 simp3l 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
20 dmadjop 26471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
2120ffvelrnda 6014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w
)  e.  ~H )
22213adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
23 simp3r 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
24 his5 25667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
26 simp2 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  w  e.  ~H )
275adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
28273adant2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )
29 his5 25667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  (
( adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3019, 26, 28, 29syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( w  .ih  ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( * `
 x )  x.  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3118, 25, 303eqtr4d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  w )  .ih  ( x  .h  y
) )  =  ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) ) )
32313adant3r 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
x  .h  y ) )  =  ( w 
.ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
33 adj2 26517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
34333adant3l 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  z
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  z
) ) )
3532, 34oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( ( w  .ih  ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )  +  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
36213adant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  w
)  e.  ~H )
37 hvmulcl 25594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y )  e.  ~H )
39383ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
40 simp3r 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
z  e.  ~H )
41 his7 25671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  w
)  e.  ~H  /\  ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
4236, 39, 40, 41syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  w
)  .ih  ( x  .h  y ) )  +  ( ( T `  w )  .ih  z
) ) )
43 hvaddcl 25593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
4437, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
45 adj2 26517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4644, 45syl3an3 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  w )  .ih  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4742, 46eqtr3d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( T `
 w )  .ih  ( x  .h  y
) )  +  ( ( T `  w
)  .ih  z )
)  =  ( w 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
4815, 35, 473eqtr2rd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  w  e.  ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
49483com23 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  (
w  .ih  ( ( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
50493expa 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( w  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
5150ralrimiva 2873 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( w  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( w  .ih  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
52 adjcl 26515 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
5344, 52sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H )
54 hvaddcl 25593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  e. 
~H  /\  ( ( adjh `  T ) `  z )  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
558, 11, 54syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( T  e.  dom  adjh  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
5655anandis 827 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( adjh `  T
) `  y )
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  z ) )  e. 
~H )
57 hial2eq2 25688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  e.  ~H  /\  (
( x  .h  (
( adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A. w  e. 
~H  ( w  .ih  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( w 
.ih  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )  <-> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
5951, 58mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) )
6059exp32 605 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) ) )
6160ralrimdv 2875 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( adjh `  T ) `  y
) )  +h  (
( adjh `  T ) `  z ) ) ) )
6261ralrimivv 2879 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) )
63 ellnop 26441 . 2  |-  ( (
adjh `  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( adjh `  T
) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( adjh `  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( (
adjh `  T ) `  y ) )  +h  ( ( adjh `  T
) `  z )
) ) )
643, 62, 63sylanbrc 664 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  LinOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   dom cdm 4994   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481    + caddc 9486    x. cmul 9488   *ccj 12881   ~Hchil 25500    +h cva 25501    .h csm 25502    .ih csp 25503   LinOpclo 25528   adjhcado 25536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-hilex 25580  ax-hfvadd 25581  ax-hvcom 25582  ax-hvass 25583  ax-hv0cl 25584  ax-hvaddid 25585  ax-hfvmul 25586  ax-hvmulid 25587  ax-hvdistr2 25590  ax-hvmul0 25591  ax-hfi 25660  ax-his1 25663  ax-his2 25664  ax-his3 25665  ax-his4 25666
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-2 10585  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-hvsub 25552  df-lnop 26424  df-adjh 26432
This theorem is referenced by:  adjsslnop  26670
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