Theorem adjeq 11496

Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
adjeq	|- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))) -> (adjh` T) = S)

Distinct variable groups:   x,y,S   x,T,y

Proof of Theorem adjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 10501	. . . 4 |- ~H e. _V
2		fex 4595	. . . 4 |- ((S:~H-->~H /\ ~H e. _V) -> S e. _V)
3	1, 2	mpan2 760	. . 3 |- (S:~H-->~H -> S e. _V)
4	3	3ad2ant2 898	. 2 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))) -> S e. _V)
5		feq1 4551	. . . . . . . 8 |- (z = T -> (z:~H-->~H <-> T:~H-->~H))
6		fveq1 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (z = T -> (z` x) = (T` x))
7	6	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (z = T -> ((z` x) .ih y) = ((T` x) .ih y))
8	7	eqeq1d 1892	. . . . . . . . 9 |- (z = T -> (((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y)) <-> ((T` x) .ih y) = (x .ih (w` y))))
9	8	2ralbidv 2140	. . . . . . . 8 |- (z = T -> (A.x e. ~H A.y e. ~H ((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y)) <-> A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (w` y))))
10	5, 9	3anbi13d 1170	. . . . . . 7 |- (z = T -> ((z:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y))) <-> (T:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (w` y)))))
11		feq1 4551	. . . . . . . 8 |- (w = S -> (w:~H-->~H <-> S:~H-->~H))
12		fveq1 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (w = S -> (w` y) = (S` y))
13	12	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- (w = S -> (x .ih (w` y)) = (x .ih (S` y)))
14	13	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (w = S -> (((T` x) .ih y) = (x .ih (w` y)) <-> ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))))
15	14	2ralbidv 2140	. . . . . . . 8 |- (w = S -> (A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (w` y)) <-> A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))))
16	11, 15	3anbi23d 1171	. . . . . . 7 |- (w = S -> ((T:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (w` y))) <-> (T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y)))))
17	10, 16	opelopabg 3567	. . . . . 6 |- ((T e. _V /\ S e. _V) -> (<.T, S>. e. {<.z, w>. | (z:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y)))} <-> (T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y)))))
18		fex 4595	. . . . . . 7 |- ((T:~H-->~H /\ ~H e. _V) -> T e. _V)
19	1, 18	mpan2 760	. . . . . 6 |- (T:~H-->~H -> T e. _V)
20	17, 19, 3	syl2an 503	. . . . 5 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H) -> (<.T, S>. e. {<.z, w>. | (z:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y)))} <-> (T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y)))))
21		df-adjh 11412	. . . . . 6 |- adjh = {<.z, w>. | (z:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y)))}
22	21	eleq2i 1961	. . . . 5 |- (<.T, S>. e. adjh <-> <.T, S>. e. {<.z, w>. | (z:~H-->~H /\ w:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((z` x) .ih y) = (x .ih (w` y)))})
23	20, 22	syl5bb 591	. . . 4 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H) -> (<.T, S>. e. adjh <-> (T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y)))))
24		df-3an 860	. . . . 5 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))) <-> ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))))
25	24	baibr 750	. . . 4 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H) -> (A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y)) <-> (T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y)))))
26	23, 25	bitr4d 590	. . 3 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H) -> (<.T, S>. e. adjh <-> A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))))
27	26	biimp3ar 1195	. 2 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))) -> <.T, S>. e. adjh)
28		funadj 11450	. . 3 |- Fun adjh
29		funopfvg 4711	. . 3 |- ((S e. _V /\ Fun adjh) -> (<.T, S>. e. adjh -> (adjh` T) = S))
30	28, 29	mpan2 760	. 2 |- (S e. _V -> (<.T, S>. e. adjh -> (adjh` T) = S))
31	4, 27, 30	sylc 83	1 |- ((T:~H-->~H /\ S:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (S` y))) -> (adjh` T) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046  {copab 3395  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  adj_hcado 10456

This theorem is referenced by:  unopadj2 11499  hmopadj 11500  adj0 11556  adjmul 11662  adjadd 11663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hvsub 10472  df-adjh 11412

Copyright terms: Public domain