HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Structured version   Unicode version

Theorem adjcoi 27217
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) )

Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdln 27200 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
3 bdopf 26979 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8  |-  S  e.  BndLinOp
6 adjbdln 27200 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  S
)  e.  BndLinOp )
7 bdopf 26979 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  S )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  S
) : ~H --> ~H )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( adjh `  S ) : ~H --> ~H
94, 8hocoi 26881 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( ( adjh `  S ) `  y ) ) )
109oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .ih  ( (
( adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
1110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
12 bdopf 26979 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
135, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  S : ~H
--> ~H
14 bdopf 26979 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  T : ~H
--> ~H
1613, 15hocoi 26881 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  =  ( S `  ( T `  x ) ) )
1716oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( S  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( S `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
1817adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( S `  ( T `
 x ) ) 
.ih  y ) )
1915ffvelrni 6006 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
20 bdopadj 27199 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  dom  adjh )
215, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  S  e. 
dom  adjh
22 adj2 27051 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
2321, 22mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
2419, 23sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
258ffvelrni 6006 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( adjh `  S ) `  y )  e.  ~H )
26 bdopadj 27199 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  T  e. 
dom  adjh
28 adj2 27051 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
2927, 28mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
3025, 29sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  (
( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
3118, 24, 303eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( adjh `  S ) `  y ) ) ) )
325, 1bdopcoi 27215 . . . . . 6  |-  ( S  o.  T )  e.  BndLinOp
33 bdopadj 27199 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( S  o.  T )  e.  dom  adjh )
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( S  o.  T )  e. 
dom  adjh
35 adj2 27051 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  T
)  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T
) ) `  y
) ) )
3634, 35mp3an1 1309 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T
) ) `  y
) ) )
3711, 31, 363eqtr2rd 2502 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
( adjh `  ( S  o.  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) ) )
3837rgen2a 2881 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )
39 adjbdln 27200 . . . 4  |-  ( ( S  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  ( S  o.  T )
)  e.  BndLinOp )
40 bdopf 26979 . . . 4  |-  ( (
adjh `  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp 
->  ( adjh `  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H )
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) ) : ~H --> ~H
424, 8hocofi 26883 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) : ~H --> ~H
43 hoeq2 26948 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H  /\  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( (
adjh `  ( S  o.  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) )  <->  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) ) )
4441, 42, 43mp2an 670 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )  <->  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) )
4538, 44mpbi 208 1  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   dom cdm 4988    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ~Hchil 26034    .ih csp 26037   BndLinOpcbo 26063   adjhcado 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200  ax-hcompl 26317
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-lm 19897  df-t1 19982  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cfil 21860  df-cau 21861  df-cmet 21862  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-subgo 25502  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-dip 25809  df-ssp 25833  df-lno 25857  df-nmoo 25858  df-0o 25860  df-ph 25926  df-cbn 25977  df-hnorm 26083  df-hba 26084  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-hcau 26088  df-sh 26322  df-ch 26337  df-oc 26368  df-ch0 26369  df-shs 26424  df-pjh 26511  df-h0op 26865  df-nmop 26956  df-cnop 26957  df-lnop 26958  df-bdop 26959  df-unop 26960  df-hmop 26961  df-nmfn 26962  df-nlfn 26963  df-cnfn 26964  df-lnfn 26965  df-adjh 26966
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  27318
  Copyright terms: Public domain W3C validator