HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Structured version   Unicode version

Theorem adjcoi 25657
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) )

Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8  |-  T  e.  BndLinOp
2 adjbdln 25640 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
3 bdopf 25419 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8  |-  S  e.  BndLinOp
6 adjbdln 25640 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  S
)  e.  BndLinOp )
7 bdopf 25419 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  S )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  S
) : ~H --> ~H )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( adjh `  S ) : ~H --> ~H
94, 8hocoi 25321 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y )  =  ( ( adjh `  T
) `  ( ( adjh `  S ) `  y ) ) )
109oveq2d 6217 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .ih  ( (
( adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
12 bdopf 25419 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
135, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  S : ~H
--> ~H
14 bdopf 25419 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  T : ~H
--> ~H
1613, 15hocoi 25321 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  x )  =  ( S `  ( T `  x ) ) )
1716oveq1d 6216 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( S  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( S `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( S `  ( T `
 x ) ) 
.ih  y ) )
1915ffvelrni 5952 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
20 bdopadj 25639 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  dom  adjh )
215, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  S  e. 
dom  adjh
22 adj2 25491 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  ( T `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
2321, 22mp3an1 1302 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
2419, 23sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( T `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( ( adjh `  S
) `  y )
) )
258ffvelrni 5952 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( adjh `  S ) `  y )  e.  ~H )
26 bdopadj 25639 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  T  e. 
dom  adjh
28 adj2 25491 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
2927, 28mp3an1 1302 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( ( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
3025, 29sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  (
( adjh `  S ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  ( ( adjh `  S
) `  y )
) ) )
3118, 24, 303eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  (
( adjh `  S ) `  y ) ) ) )
325, 1bdopcoi 25655 . . . . . 6  |-  ( S  o.  T )  e.  BndLinOp
33 bdopadj 25639 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( S  o.  T )  e.  dom  adjh )
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( S  o.  T )  e. 
dom  adjh
35 adj2 25491 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  T
)  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T
) ) `  y
) ) )
3634, 35mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( S  o.  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T
) ) `  y
) ) )
3711, 31, 363eqtr2rd 2502 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  (
( adjh `  ( S  o.  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) ) )
3837rgen2a 2900 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )
39 adjbdln 25640 . . . 4  |-  ( ( S  o.  T )  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  ( S  o.  T )
)  e.  BndLinOp )
40 bdopf 25419 . . . 4  |-  ( (
adjh `  ( S  o.  T ) )  e.  BndLinOp 
->  ( adjh `  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H )
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) ) : ~H --> ~H
424, 8hocofi 25323 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) : ~H --> ~H
43 hoeq2 25388 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) : ~H --> ~H  /\  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( (
adjh `  ( S  o.  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) `  y ) )  <->  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) ) )
4441, 42, 43mp2an 672 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( adjh `  ( S  o.  T )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  T )  o.  ( adjh `  S
) ) `  y
) )  <->  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) ) )
4538, 44mpbi 208 1  |-  ( adjh `  ( S  o.  T
) )  =  ( ( adjh `  T
)  o.  ( adjh `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   dom cdm 4949    o. ccom 4953   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   ~Hchil 24474    .ih csp 24477   BndLinOpcbo 24503   adjhcado 24510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cc 8716  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hvcom 24556  ax-hvass 24557  ax-hv0cl 24558  ax-hvaddid 24559  ax-hfvmul 24560  ax-hvmulid 24561  ax-hvmulass 24562  ax-hvdistr1 24563  ax-hvdistr2 24564  ax-hvmul0 24565  ax-hfi 24634  ax-his1 24637  ax-his2 24638  ax-his3 24639  ax-his4 24640  ax-hcompl 24757
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-lm 18966  df-t1 19051  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cfil 20899  df-cau 20900  df-cmet 20901  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-subgo 23942  df-vc 24077  df-nv 24123  df-va 24126  df-ba 24127  df-sm 24128  df-0v 24129  df-vs 24130  df-nmcv 24131  df-ims 24132  df-dip 24249  df-ssp 24273  df-lno 24297  df-nmoo 24298  df-0o 24300  df-ph 24366  df-cbn 24417  df-hnorm 24523  df-hba 24524  df-hvsub 24526  df-hlim 24527  df-hcau 24528  df-sh 24762  df-ch 24777  df-oc 24808  df-ch0 24809  df-shs 24864  df-pjh 24951  df-h0op 25305  df-nmop 25396  df-cnop 25397  df-lnop 25398  df-bdop 25399  df-unop 25400  df-hmop 25401  df-nmfn 25402  df-nlfn 25403  df-cnfn 25404  df-lnfn 25405  df-adjh 25406
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  25758
  Copyright terms: Public domain W3C validator