Theorem adjcoi 11670

Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	|- S e. BndLinOp
nmoptri.2	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
adjcoi	|- (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S))

Proof of Theorem adjcoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.2	. . . . . . . . 9 |- T e. BndLinOp
2		adjbdln 11653	. . . . . . . . 9 |- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) e. BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (adjh` T) e. BndLinOp
4		bdopf 11426	. . . . . . . 8 |- ((adjh` T) e. BndLinOp -> (adjh` T):~H-->~H)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (adjh` T):~H-->~H
6		nmoptri.1	. . . . . . . . 9 |- S e. BndLinOp
7		adjbdln 11653	. . . . . . . . 9 |- (S e. BndLinOp -> (adjh` S) e. BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (adjh` S) e. BndLinOp
9		bdopf 11426	. . . . . . . 8 |- ((adjh` S) e. BndLinOp -> (adjh` S):~H-->~H)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (adjh` S):~H-->~H
11	5, 10	hocoi 11327	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> (((adjh` T) o. (adjh` S))` y) = ((adjh` T)` ((adjh` S)` y)))
12	11	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (y e. ~H -> (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
13	12	adantl 424	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
14		bdopf 11426	. . . . . . . . 9 |- (S e. BndLinOp -> S:~H-->~H)
15	6, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- S:~H-->~H
16		bdopf 11426	. . . . . . . . 9 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- T:~H-->~H
18	15, 17	hocoi 11327	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
19	18	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (((S o. T)` x) .ih y) = ((S` (T` x)) .ih y))
20	19	adantr 425	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((S o. T)` x) .ih y) = ((S` (T` x)) .ih y))
21		bdopadj 11652	. . . . . . . 8 |- (S e. BndLinOp -> S e. dom adjh)
22	6, 21	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- S e. dom adjh
23		adj2 11495	. . . . . . 7 |- ((S e. dom adjh /\ (T` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((S` (T` x)) .ih y) = ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)))
24	22, 23	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- (((T` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((S` (T` x)) .ih y) = ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)))
25	17	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (T` x) e. ~H)
26	24, 25	sylan 497	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((S` (T` x)) .ih y) = ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)))
27		bdopadj 11652	. . . . . . . 8 |- (T e. BndLinOp -> T e. dom adjh)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- T e. dom adjh
29		adj2 11495	. . . . . . 7 |- ((T e. dom adjh /\ x e. ~H /\ ((adjh` S)` y) e. ~H) -> ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
30	28, 29	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ ((adjh` S)` y) e. ~H) -> ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
31	10	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> ((adjh` S)` y) e. ~H)
32	30, 31	sylan2 500	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
33	20, 26, 32	3eqtrd 1929	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((S o. T)` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
34	6, 1	bdopcoi 11668	. . . . . 6 |- (S o. T) e. BndLinOp
35		bdopadj 11652	. . . . . 6 |- ((S o. T) e. BndLinOp -> (S o. T) e. dom adjh)
36	34, 35	ax-mp 7	. . . . 5 |- (S o. T) e. dom adjh
37		adj2 11495	. . . . 5 |- (((S o. T) e. dom adjh /\ x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((S o. T)` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)))
38	36, 37	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((S o. T)` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)))
39	13, 33, 38	3eqtr2rd 1933	. . 3 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)))
40	39	rgen2a 2160	. 2 |- A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y))
41		adjbdln 11653	. . . . 5 |- ((S o. T) e. BndLinOp -> (adjh` (S o. T)) e. BndLinOp)
42	34, 41	ax-mp 7	. . . 4 |- (adjh` (S o. T)) e. BndLinOp
43		bdopf 11426	. . . 4 |- ((adjh` (S o. T)) e. BndLinOp -> (adjh` (S o. T)):~H-->~H)
44	42, 43	ax-mp 7	. . 3 |- (adjh` (S o. T)):~H-->~H
45	5, 10	hocofi 11329	. . 3 |- ((adjh` T) o. (adjh` S)):~H-->~H
46		hoeq2 11394	. . 3 |- (((adjh` (S o. T)):~H-->~H /\ ((adjh` T) o. (adjh` S)):~H-->~H) -> (A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) <-> (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S))))
47	44, 45, 46	mp2an 761	. 2 |- (A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) <-> (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S)))
48	40, 47	mpbi 206	1 |- (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  dom cdm 3986   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  BndLinOpcbo 10449  adj_hcado 10456

This theorem is referenced by:  pjcmmul1i 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-0o 9747  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-cnop 11403  df-lnop 11404  df-bdop 11405  df-unop 11406  df-hmop 11407  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411  df-adjh 11412

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