HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjbdlnb Structured version   Unicode version

Theorem adjbdlnb 27119
Description: An operator is bounded and linear iff its adjoint is. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjbdlnb  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )

Proof of Theorem adjbdlnb
StepHypRef Expression
1 adjbdln 27118 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
2 bdopadj 27117 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
3 dmadjrnb 26941 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  <->  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh )
42, 3sylibr 212 . . 3  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
5 cnvadj 26927 . . . . . 6  |-  `' adjh  = 
adjh
65fveq1i 5775 . . . . 5  |-  ( `'
adjh `  ( adjh `  T ) )  =  ( adjh `  ( adjh `  T ) )
7 adj1o 26929 . . . . . 6  |-  adjh : dom  adjh -1-1-onto-> dom  adjh
8 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )  ->  T  e.  dom  adjh )
9 f1ocnvfv1 6083 . . . . . 6  |-  ( (
adjh : dom  adjh -1-1-onto-> dom  adjh  /\  T  e. 
dom  adjh )  ->  ( `' adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
107, 8, 9sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )  -> 
( `' adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
116, 10syl5eqr 2437 . . . 4  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )  -> 
( adjh `  ( adjh `  T ) )  =  T )
12 adjbdln 27118 . . . . 5  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  ( adjh `  ( adjh `  T ) )  e.  BndLinOp )
1312adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )  -> 
( adjh `  ( adjh `  T ) )  e.  BndLinOp )
1411, 13eqeltrrd 2471 . . 3  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )  ->  T  e.  BndLinOp )
154, 14mpancom 667 . 2  |-  ( (
adjh `  T )  e. 
BndLinOp  ->  T  e.  BndLinOp )
161, 15impbii 188 1  |-  ( T  e.  BndLinOp 
<->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496   BndLinOpcbo 25982   adjhcado 25989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvdistr1 26042  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119  ax-hcompl 26236
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-t1 19901  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cfil 21779  df-cau 21780  df-cmet 21781  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-subgo 25421  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611  df-dip 25728  df-ssp 25752  df-ph 25845  df-cbn 25896  df-hnorm 26002  df-hba 26003  df-hvsub 26005  df-hlim 26006  df-hcau 26007  df-sh 26241  df-ch 26256  df-oc 26287  df-ch0 26288  df-shs 26343  df-pjh 26430  df-h0op 26783  df-nmop 26874  df-cnop 26875  df-lnop 26876  df-bdop 26877  df-unop 26878  df-hmop 26879  df-nmfn 26880  df-nlfn 26881  df-cnfn 26882  df-lnfn 26883  df-adjh 26884
This theorem is referenced by:  adjbd1o  27120  nmopcoadji  27136
  Copyright terms: Public domain W3C validator