Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjbdln Unicode version

 Description: The adjoint of a bounded linear operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdopadj 23538 . . . 4
2 adjval 23346 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 cnlnadj 23535 . . . . . 6
5 lncnopbd 23493 . . . . . 6
6 lncnbd 23494 . . . . . . 7
76rexeqi 2869 . . . . . 6
84, 5, 73imtr3i 257 . . . . 5
9 bdopf 23318 . . . . . . . 8
10 bdopf 23318 . . . . . . . 8
11 adjsym 23289 . . . . . . . 8
129, 10, 11syl2an 464 . . . . . . 7
13 eqcom 2406 . . . . . . . 8
14132ralbii 2692 . . . . . . 7
1512, 14syl6bbr 255 . . . . . 6
1615rexbidva 2683 . . . . 5
178, 16mpbird 224 . . . 4
18 adjeu 23345 . . . . . 6
199, 18syl 16 . . . . 5
201, 19mpbid 202 . . . 4
21 ax-hilex 22455 . . . . . . . 8
2221, 21elmap 7001 . . . . . . 7
2310, 22sylibr 204 . . . . . 6
2423ssriv 3312 . . . . 5
25 id 20 . . . . . 6
2625rgenw 2733 . . . . 5
27 riotass2 6536 . . . . 5
2824, 26, 27mpanl12 664 . . . 4
2917, 20, 28syl2anc 643 . . 3
303, 29eqtr4d 2439 . 2
3124a1i 11 . . . 4
32 reuss 3582 . . . 4
3331, 17, 20, 32syl3anc 1184 . . 3
34 riotacl 6523 . . 3
3533, 34syl 16 . 2
3630, 35eqeltrd 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667  wreu 2668   cin 3279   wss 3280   cdm 4837  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  crio 6501   cmap 6977  chil 22375   csp 22378  ccop 22402  clo 22403  cbo 22404  cado 22411 This theorem is referenced by:  adjbdlnb  23540  adjbd1o  23541  nmopadjlem  23545  nmopadji  23546  adjcoi  23556  nmopcoadj2i  23558  nmopcoadj0i  23559 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-pjh 22850  df-h0op 23204  df-nmop 23295  df-cnop 23296  df-lnop 23297  df-bdop 23298  df-unop 23299  df-hmop 23300  df-nmfn 23301  df-nlfn 23302  df-cnfn 23303  df-lnfn 23304  df-adjh 23305
 Copyright terms: Public domain W3C validator