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Theorem adjbdln 23539
Description: The adjoint of a bounded linear operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjbdln  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )

Proof of Theorem adjbdln
Dummy variables  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdopadj 23538 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  dom  adjh )
2 adjval 23346 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  =  ( iota_ t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  =  ( iota_ t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
4 cnlnadj 23535 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
5 lncnopbd 23493 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <-> 
T  e.  BndLinOp )
6 lncnbd 23494 . . . . . . 7  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  =  BndLinOp
76rexeqi 2869 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  <->  E. t  e. 
BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )
84, 5, 73imtr3i 257 . . . . 5  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  E. t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
9 bdopf 23318 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
10 bdopf 23318 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  BndLinOp  ->  t : ~H --> ~H )
11 adjsym 23289 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
) )
129, 10, 11syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  BndLinOp  /\  t  e. 
BndLinOp )  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
) )
13 eqcom 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )  <->  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)
14132ralbii 2692 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
) )
1512, 14syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  BndLinOp  /\  t  e. 
BndLinOp )  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
1615rexbidva 2683 . . . . 5  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( E. t  e. 
BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  <->  E. t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
178, 16mpbird 224 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  E. t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )
18 adjeu 23345 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( T  e.  dom  adjh  <->  E! t  e.  ( ~H  ^m 
~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
199, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( T  e. 
dom  adjh  <->  E! t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
201, 19mpbid 202 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  E! t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )
21 ax-hilex 22455 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
2221, 21elmap 7001 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  t : ~H --> ~H )
2310, 22sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( t  e.  BndLinOp  ->  t  e.  ( ~H  ^m  ~H )
)
2423ssriv 3312 . . . . 5  |-  BndLinOp  C_  ( ~H  ^m  ~H )
25 id 20 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )
2625rgenw 2733 . . . . 5  |-  A. t  e. 
BndLinOp  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )
27 riotass2 6536 . . . . 5  |-  ( ( ( BndLinOp  C_  ( ~H  ^m  ~H )  /\  A. t  e. 
BndLinOp  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )  /\  ( E. t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y )  /\  E! t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )  ->  ( iota_ t  e.  BndLinOp A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  =  (
iota_ t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
2824, 26, 27mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( E. t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y )  /\  E! t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )  ->  ( iota_ t  e.  BndLinOp
A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  =  (
iota_ t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
2917, 20, 28syl2anc 643 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( iota_ t  e.  BndLinOp
A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  =  (
iota_ t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
303, 29eqtr4d 2439 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  =  ( iota_ t  e.  BndLinOp A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
3124a1i 11 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  BndLinOp  C_  ( ~H  ^m  ~H ) )
32 reuss 3582 . . . 4  |-  ( (
BndLinOp 
C_  ( ~H  ^m  ~H )  /\  E. t  e. 
BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
)  /\  E! t  e.  ( ~H  ^m  ~H ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  ->  E! t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )
3331, 17, 20, 32syl3anc 1184 . . 3  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  E! t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )
34 riotacl 6523 . . 3  |-  ( E! t  e.  BndLinOp  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y )  -> 
( iota_ t  e.  BndLinOp A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )  e.  BndLinOp )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( iota_ t  e.  BndLinOp
A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )  e.  BndLinOp )
3630, 35eqeltrd 2478 1  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( adjh `  T
)  e.  BndLinOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668    i^i cin 3279    C_ wss 3280   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501    ^m cmap 6977   ~Hchil 22375    .ih csp 22378   ConOpccop 22402   LinOpclo 22403   BndLinOpcbo 22404   adjhcado 22411
This theorem is referenced by:  adjbdlnb  23540  adjbd1o  23541  nmopadjlem  23545  nmopadji  23546  adjcoi  23556  nmopcoadj2i  23558  nmopcoadj0i  23559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-pjh 22850  df-h0op 23204  df-nmop 23295  df-cnop 23296  df-lnop 23297  df-bdop 23298  df-unop 23299  df-hmop 23300  df-nmfn 23301  df-nlfn 23302  df-cnfn 23303  df-lnfn 23304  df-adjh 23305
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