Theorem adjbdln 11653

Description: The adjoint of a bounded linear operator is a bounded linear operator.

Assertion

Ref	Expression
adjbdln	|- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) e. BndLinOp)

Proof of Theorem adjbdln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2112	. . . . . 6 |- {t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = {t | (t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))}
2		ax-hilex 10501	. . . . . . . . 9 |- ~H e. _V
3	2, 2	elmap 5393	. . . . . . . 8 |- (t e. (~H ^m ~H) <-> t:~H-->~H)
4	3	anbi1i 539	. . . . . . 7 |- ((t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))) <-> (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
5	4	abbii 2006	. . . . . 6 |- {t | (t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))} = {t | (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))}
6	1, 5	eqtri 1908	. . . . 5 |- {t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = {t | (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))}
7	6	unieqi 3187	. . . 4 |- U.{t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = U.{t | (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))}
8	7	a1i 8	. . 3 |- (T e. BndLinOp -> U.{t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = U.{t | (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))})
9		cnlnadj 11649	. . . . 5 |- (T e. (LinOp i^i ConOp) -> E.t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))
10		lncnopbd 11603	. . . . 5 |- (T e. (LinOp i^i ConOp) <-> T e. BndLinOp)
11		lncnbd 11604	. . . . . 6 |- (LinOp i^i ConOp) = BndLinOp
12		rexeq 2267	. . . . . 6 |- ((LinOp i^i ConOp) = BndLinOp -> (E.t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> E.t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- (E.t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> E.t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))
14	9, 10, 13	3imtr3i 235	. . . 4 |- (T e. BndLinOp -> E.t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))
15		adjmo 11395	. . . . 5 |- E*t(t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (T` y)) = ((t` x) .ih y))
16		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (T e. BndLinOp -> A.t T e. BndLinOp)
17		adjsym 11396	. . . . . . . . 9 |- ((T:~H-->~H /\ t:~H-->~H) -> (A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (T` y)) = ((t` x) .ih y) <-> A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (t` y)) = ((T` x) .ih y)))
18		bdopf 11426	. . . . . . . . 9 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
19	17, 18	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((T e. BndLinOp /\ t:~H-->~H) -> (A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (T` y)) = ((t` x) .ih y) <-> A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (t` y)) = ((T` x) .ih y)))
20	19	pm5.32da 711	. . . . . . 7 |- (T e. BndLinOp -> ((t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (T` y)) = ((t` x) .ih y)) <-> (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (t` y)) = ((T` x) .ih y))))
21		eqcom 1886	. . . . . . . . 9 |- (((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> (x .ih (t` y)) = ((T` x) .ih y))
22	21	2ralbii 2129	. . . . . . . 8 |- (A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (t` y)) = ((T` x) .ih y))
23	3, 22	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))) <-> (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (t` y)) = ((T` x) .ih y)))
24	20, 23	syl6rbbr 598	. . . . . 6 |- (T e. BndLinOp -> ((t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))) <-> (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (T` y)) = ((t` x) .ih y))))
25	16, 24	mobid 1800	. . . . 5 |- (T e. BndLinOp -> (E*t(t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))) <-> E*t(t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih (T` y)) = ((t` x) .ih y))))
26	15, 25	mpbiri 211	. . . 4 |- (T e. BndLinOp -> E*t(t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
27		bdopf 11426	. . . . . . 7 |- (t e. BndLinOp -> t:~H-->~H)
28	27, 3	sylibr 217	. . . . . 6 |- (t e. BndLinOp -> t e. (~H ^m ~H))
29	28	ssriv 2621	. . . . 5 |- BndLinOp C_ (~H ^m ~H)
30		mouniss 3816	. . . . 5 |- ((BndLinOp C_ (~H ^m ~H) /\ E.t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) /\ E*t(t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))) -> U.{t e. BndLinOp | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = U.{t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))})
31	29, 30	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((E.t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) /\ E*t(t e. (~H ^m ~H) /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))) -> U.{t e. BndLinOp | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = U.{t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))})
32	14, 26, 31	syl11anc 524	. . 3 |- (T e. BndLinOp -> U.{t e. BndLinOp | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} = U.{t e. (~H ^m ~H) | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))})
33		adjval2 11452	. . . 4 |- (T:~H-->~H -> (adjh` T) = U.{t | (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))})
34	18, 33	syl 12	. . 3 |- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) = U.{t | (t:~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))})
35	8, 32, 34	3eqtr4rd 1939	. 2 |- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) = U.{t e. BndLinOp | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))})
36		cnlnadjeu 11648	. . . 4 |- (T e. (LinOp i^i ConOp) -> E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))
37		reueq1 2268	. . . . 5 |- ((LinOp i^i ConOp) = BndLinOp -> (E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> E!t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))))
38	11, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- (E!t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) <-> E!t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))
39	36, 10, 38	3imtr3i 235	. . 3 |- (T e. BndLinOp -> E!t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)))
40		reucl 3213	. . 3 |- (E!t e. BndLinOp A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y)) -> U.{t e. BndLinOp | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} e. BndLinOp)
41	39, 40	syl 12	. 2 |- (T e. BndLinOp -> U.{t e. BndLinOp | A.x e. ~H A.y e. ~H ((T` x) .ih y) = (x .ih (t` y))} e. BndLinOp)
42	35, 41	eqeltrd 1971	1 |- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) e. BndLinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  ConOpcco 10447  LinOpclo 10448  BndLinOpcbo 10449  adj_hcado 10456

This theorem is referenced by:  adjbdlnb 11654  adjbd1o 11655  nmopadjlem 11659  nmopadji 11660  adjcoi 11670  nmopcoadj2i 11672  nmopcoadj0i 11673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-cnop 11403  df-lnop 11404  df-bdop 11405  df-unop 11406  df-hmop 11407  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411  df-adjh 11412

Copyright terms: Public domain