Theorem adjbd1o 10101

Description: The mapping of adjoints of bounded linear operators is one-to-one onto.

Assertion

Ref	Expression
adjbd1o	|- (adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->BndLinOp

Proof of Theorem adjbd1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1o 9901	. . . 4 |- adjh:dom adjh-1-1-onto->dom adjh
2		f1of1 3745	. . . 4 |- (adjh:dom adjh-1-1-onto->dom adjh -> adjh:dom adjh-1-1->dom adjh)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- adjh:dom adjh-1-1->dom adjh
4		bdopssadj 10097	. . 3 |- BndLinOp (_ dom adjh
5		f1ores 3760	. . 3 |- ((adjh:dom adjh-1-1->dom adjh /\ BndLinOp (_ dom adjh) -> (adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->(adjh"BndLinOp))
6	3, 4, 5	mp2an 709	. 2 |- (adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->(adjh"BndLinOp)
7		visset 1860	. . . . . 6 |- y e. V
8	7	elima 3465	. . . . 5 |- (y e. (adjh"BndLinOp) <-> E.x e. BndLinOp xadjhy)
9		bdopadj 10098	. . . . . . 7 |- (x e. BndLinOp -> x e. dom adjh)
10		f1ofn 3747	. . . . . . . . 9 |- (adjh:dom adjh-1-1-onto->dom adjh -> adjh Fn dom adjh)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- adjh Fn dom adjh
12	7	fnbrfvb 3810	. . . . . . . 8 |- ((adjh Fn dom adjh /\ x e. dom adjh) -> ((adjh` x) = y <-> xadjhy))
13	11, 12	mpan 707	. . . . . . 7 |- (x e. dom adjh -> ((adjh` x) = y <-> xadjhy))
14	9, 13	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. BndLinOp -> ((adjh` x) = y <-> xadjhy))
15	14	rexbiia 1721	. . . . 5 |- (E.x e. BndLinOp (adjh` x) = y <-> E.x e. BndLinOp xadjhy)
16		eleq1 1581	. . . . . . . . 9 |- ((adjh` x) = y -> ((adjh` x) e. BndLinOp <-> y e. BndLinOp))
17		adjbdlnb 10100	. . . . . . . . 9 |- (x e. BndLinOp <-> (adjh` x) e. BndLinOp)
18	16, 17	syl5bb 543	. . . . . . . 8 |- ((adjh` x) = y -> (x e. BndLinOp <-> y e. BndLinOp))
19	18	biimpcd 162	. . . . . . 7 |- (x e. BndLinOp -> ((adjh` x) = y -> y e. BndLinOp))
20	19	r19.23aiv 1790	. . . . . 6 |- (E.x e. BndLinOp (adjh` x) = y -> y e. BndLinOp)
21		fveq2 3781	. . . . . . . . 9 |- (x = (adjh` y) -> (adjh` x) = (adjh` (adjh` y)))
22	21	eqeq1d 1530	. . . . . . . 8 |- (x = (adjh` y) -> ((adjh` x) = y <-> (adjh` (adjh` y)) = y))
23	22	rcla4ev 1924	. . . . . . 7 |- (((adjh` y) e. BndLinOp /\ (adjh` (adjh` y)) = y) -> E.x e. BndLinOp (adjh` x) = y)
24		adjbdln 10099	. . . . . . 7 |- (y e. BndLinOp -> (adjh` y) e. BndLinOp)
25		bdopadj 10098	. . . . . . . 8 |- (y e. BndLinOp -> y e. dom adjh)
26		adjadj 9943	. . . . . . . 8 |- (y e. dom adjh -> (adjh` (adjh` y)) = y)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. BndLinOp -> (adjh` (adjh` y)) = y)
28	23, 24, 27	sylanc 482	. . . . . 6 |- (y e. BndLinOp -> E.x e. BndLinOp (adjh` x) = y)
29	20, 28	impbii 164	. . . . 5 |- (E.x e. BndLinOp (adjh` x) = y <-> y e. BndLinOp)
30	8, 15, 29	3bitr2i 186	. . . 4 |- (y e. (adjh"BndLinOp) <-> y e. BndLinOp)
31	30	eqriv 1519	. . 3 |- (adjh"BndLinOp) = BndLinOp
32		f1oeq3 3743	. . 3 |- ((adjh"BndLinOp) = BndLinOp -> ((adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->(adjh"BndLinOp) <-> (adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->BndLinOp))
33	31, 32	ax-mp 7	. 2 |- ((adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->(adjh"BndLinOp) <-> (adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->BndLinOp)
34	6, 33	mpbi 196	1 |- (adjh |` BndLinOp):BndLinOp-1-1-onto->BndLinOp

Syntax hints:   <-> wb 153   = wceq 997   e. wcel 999  E.wrex 1693   (_ wss 2098   class class class wbr 2674  dom cdm 3227   |` cres 3229  "cima 3230   Fn wfn 3234  -1-1->wf1 3236  -1-1-onto->wf1o 3238  ` cfv 3239  BndLinOpcbo 8900  adj_hcado 8907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806  ax-hilex 8952  ax-hfvadd 8953  ax-hvcom 8954  ax-hvass 8955  ax-hv0cl 8956  ax-hvaddid 8957  ax-hfvmul 8958  ax-hvmulid 8959  ax-hvmulass 8960  ax-hvdistr1 8961  ax-hvdistr2 8962  ax-hvmul0 8963  ax-hfi 9029  ax-his1 9032  ax-his2 9033  ax-his3 9034  ax-his4 9035  ax-hcompl 9154

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-r1 4705  df-rank 4706  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-clim 7065  df-sum 7070  df-top 7684  df-bases 7686  df-topgen 7687  df-cld 7748  df-ntr 7749  df-cls 7750  df-cn 7839  df-cnp 7840  df-haus 7867  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881  df-lm 8007  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-vs 8302  df-nm 8303  df-ims 8304  df-ip 8434  df-ph 8556  df-hnorm 8920  df-hvsub 8923  df-hlim 8924  df-hcau 8925  df-sh 9159  df-ch 9175  df-oc 9207  df-ch0 9208  df-pj 9320  df-h0op 9757  df-nmop 9848  df-cnop 9849  df-lnop 9850  df-bdop 9851  df-unop 9852  df-hmop 9853  df-nmfn 9854  df-nlfn 9855  df-cnfn 9856  df-lnfn 9857  df-adjh 9858

Copyright terms: Public domain