Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjadd Structured version   Unicode version

 Description: The adjoint of the sum of two operators. Theorem 3.11(iii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmadjop 27100 . . 3
2 dmadjop 27100 . . 3
3 hoaddcl 26970 . . 3
41, 2, 3syl2an 475 . 2
5 dmadjrn 27107 . . . 4
6 dmadjop 27100 . . . 4
75, 6syl 17 . . 3
8 dmadjrn 27107 . . . 4
9 dmadjop 27100 . . . 4
108, 9syl 17 . . 3
11 hoaddcl 26970 . . 3
127, 10, 11syl2an 475 . 2
13 adj2 27146 . . . . . . . 8
14133expb 1198 . . . . . . 7
1514adantlr 713 . . . . . 6
16 adj2 27146 . . . . . . . 8
17163expb 1198 . . . . . . 7
1817adantll 712 . . . . . 6
1915, 18oveq12d 6252 . . . . 5
201ffvelrnda 5965 . . . . . . 7
2120ad2ant2r 745 . . . . . 6
222ffvelrnda 5965 . . . . . . 7
2322ad2ant2lr 746 . . . . . 6
24 simprr 758 . . . . . 6
25 ax-his2 26294 . . . . . 6
2621, 23, 24, 25syl3anc 1230 . . . . 5
27 simprl 756 . . . . . 6
28 adjcl 27144 . . . . . . 7
2928ad2ant2rl 747 . . . . . 6
30 adjcl 27144 . . . . . . 7
3130ad2ant2l 744 . . . . . 6
32 his7 26301 . . . . . 6
3327, 29, 31, 32syl3anc 1230 . . . . 5
3419, 26, 333eqtr4rd 2454 . . . 4
357, 10anim12i 564 . . . . . . 7
36 hosval 26952 . . . . . . . 8
37363expa 1197 . . . . . . 7
3835, 37sylan 469 . . . . . 6
3938adantrl 714 . . . . 5
4039oveq2d 6250 . . . 4
411, 2anim12i 564 . . . . . . 7
42 hosval 26952 . . . . . . . 8
43423expa 1197 . . . . . . 7
4441, 43sylan 469 . . . . . 6
4544adantrr 715 . . . . 5
4645oveq1d 6249 . . . 4
4734, 40, 463eqtr4rd 2454 . . 3
4847ralrimivva 2824 . 2
49 adjeq 27147 . 2
504, 12, 48, 49syl3anc 1230 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753   cdm 4942  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6234   caddc 9445  chil 26130   cva 26131   csp 26133   chos 26149  cado 26166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-hilex 26210  ax-hfvadd 26211  ax-hvcom 26212  ax-hvass 26213  ax-hv0cl 26214  ax-hvaddid 26215  ax-hfvmul 26216  ax-hvmulid 26217  ax-hvdistr2 26220  ax-hvmul0 26221  ax-hfi 26290  ax-his1 26293  ax-his2 26294  ax-his3 26295  ax-his4 26296 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-2 10555  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-hvsub 26182  df-hosum 26942  df-adjh 27061 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator