Theorem adjadd 11663

Description: The adjoint of the sum of two operators. Theorem 3.11(iii) of [Beran] p. 106.

Assertion

Ref	Expression
adjadd	|- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (S +op T)) = ((adjh` S) +op (adjh` T)))

Proof of Theorem adjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoaddcl 11321	. . 3 |- ((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) -> (S +op T):~H-->~H)
2		dmadjop 11457	. . 3 |- (S e. dom adjh -> S:~H-->~H)
3		dmadjop 11457	. . 3 |- (T e. dom adjh -> T:~H-->~H)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. 2 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> (S +op T):~H-->~H)
5		hoaddcl 11321	. . 3 |- (((adjh` S):~H-->~H /\ (adjh` T):~H-->~H) -> ((adjh` S) +op (adjh` T)):~H-->~H)
6		dmadjrn 11458	. . . 4 |- (S e. dom adjh -> (adjh` S) e. dom adjh)
7		dmadjop 11457	. . . 4 |- ((adjh` S) e. dom adjh -> (adjh` S):~H-->~H)
8	6, 7	syl 12	. . 3 |- (S e. dom adjh -> (adjh` S):~H-->~H)
9		dmadjrn 11458	. . . 4 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. dom adjh)
10		dmadjop 11457	. . . 4 |- ((adjh` T) e. dom adjh -> (adjh` T):~H-->~H)
11	9, 10	syl 12	. . 3 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T):~H-->~H)
12	5, 8, 11	syl2an 503	. 2 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> ((adjh` S) +op (adjh` T)):~H-->~H)
13		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- ((S:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (S` x) e. ~H)
14	13, 2	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((S e. dom adjh /\ x e. ~H) -> (S` x) e. ~H)
15	14	ad2ant2r 445	. . . . . . . 8 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (S` x) e. ~H)
16		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
17	16, 3	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
18	17	ad2ant2lr 446	. . . . . . . 8 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (T` x) e. ~H)
19		simprr 451	. . . . . . . 8 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> y e. ~H)
20		ax-his2 10583	. . . . . . . 8 |- (((S` x) e. ~H /\ (T` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> (((S` x) +h (T` x)) .ih y) = (((S` x) .ih y) + ((T` x) .ih y)))
21	15, 18, 19, 20	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((S` x) +h (T` x)) .ih y) = (((S` x) .ih y) + ((T` x) .ih y)))
22		adj2 11495	. . . . . . . . . 10 |- ((S e. dom adjh /\ x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((S` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` S)` y)))
23	22	3expb 1068	. . . . . . . . 9 |- ((S e. dom adjh /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((S` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` S)` y)))
24	23	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((S` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` S)` y)))
25		adj2 11495	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. dom adjh /\ x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
26	25	3expb 1068	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
27	26	adantll 428	. . . . . . . 8 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
28	24, 27	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((S` x) .ih y) + ((T` x) .ih y)) = ((x .ih ((adjh` S)` y)) + (x .ih ((adjh` T)` y))))
29	21, 28	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((S` x) +h (T` x)) .ih y) = ((x .ih ((adjh` S)` y)) + (x .ih ((adjh` T)` y))))
30		hosvalOLD 11150	. . . . . . . . 9 |- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> ((S +op T)` x) = ((S` x) +h (T` x)))
31	2, 3	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> (S:~H-->~H /\ T:~H-->~H))
32	30, 31	sylan 497	. . . . . . . 8 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ x e. ~H) -> ((S +op T)` x) = ((S` x) +h (T` x)))
33	32	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((S +op T)` x) = ((S` x) +h (T` x)))
34	33	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((S +op T)` x) .ih y) = (((S` x) +h (T` x)) .ih y))
35		simprl 450	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> x e. ~H)
36		adjcl 11493	. . . . . . . 8 |- ((S e. dom adjh /\ y e. ~H) -> ((adjh` S)` y) e. ~H)
37	36	ad2ant2rl 447	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((adjh` S)` y) e. ~H)
38		adjcl 11493	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ y e. ~H) -> ((adjh` T)` y) e. ~H)
39	38	ad2ant2l 444	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((adjh` T)` y) e. ~H)
40		his7 10589	. . . . . . 7 |- ((x e. ~H /\ ((adjh` S)` y) e. ~H /\ ((adjh` T)` y) e. ~H) -> (x .ih (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y))) = ((x .ih ((adjh` S)` y)) + (x .ih ((adjh` T)` y))))
41	35, 37, 39, 40	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y))) = ((x .ih ((adjh` S)` y)) + (x .ih ((adjh` T)` y))))
42	29, 34, 41	3eqtr4d 1937	. . . . 5 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((S +op T)` x) .ih y) = (x .ih (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y))))
43		hosvalOLD 11150	. . . . . . . 8 |- ((((adjh` S):~H-->~H /\ (adjh` T):~H-->~H) /\ y e. ~H) -> (((adjh` S) +op (adjh` T))` y) = (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y)))
44	8, 11	anim12i 360	. . . . . . . 8 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> ((adjh` S):~H-->~H /\ (adjh` T):~H-->~H))
45	43, 44	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ y e. ~H) -> (((adjh` S) +op (adjh` T))` y) = (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y)))
46	45	adantrl 430	. . . . . 6 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((adjh` S) +op (adjh` T))` y) = (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y)))
47	46	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih (((adjh` S) +op (adjh` T))` y)) = (x .ih (((adjh` S)` y) +h ((adjh` T)` y))))
48	42, 47	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((S +op T)` x) .ih y) = (x .ih (((adjh` S) +op (adjh` T))` y)))
49	48	ex 402	. . 3 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((S +op T)` x) .ih y) = (x .ih (((adjh` S) +op (adjh` T))` y))))
50	49	r19.21aivv 2183	. 2 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> A.x e. ~H A.y e. ~H (((S +op T)` x) .ih y) = (x .ih (((adjh` S) +op (adjh` T))` y)))
51		adjeq 11496	. 2 |- (((S +op T):~H-->~H /\ ((adjh` S) +op (adjh` T)):~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (((S +op T)` x) .ih y) = (x .ih (((adjh` S) +op (adjh` T))` y))) -> (adjh` (S +op T)) = ((adjh` S) +op (adjh` T)))
52	4, 12, 50, 51	syl111anc 1100	1 |- ((S e. dom adjh /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (S +op T)) = ((adjh` S) +op (adjh` T)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   + caddc 6389  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .ih csp 10425   +op chos 10439  adj_hcado 10456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hvsub 10472  df-hosum 11139  df-adjh 11412

Copyright terms: Public domain