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Theorem adjadd 22503
Description: The adjoint of the sum of two operators. Theorem 3.11(iii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjadd  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )

Proof of Theorem adjadd
StepHypRef Expression
1 dmadjop 22298 . . 3  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  S : ~H --> ~H )
2 dmadjop 22298 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
3 hoaddcl 22168 . . 3  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( S  +op  T
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( S  +op  T ) : ~H --> ~H )
5 dmadjrn 22305 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  S )  e.  dom  adjh )
6 dmadjop 22298 . . . 4  |-  ( (
adjh `  S )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  S ) : ~H --> ~H )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( S  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  S ) : ~H --> ~H )
8 dmadjrn 22305 . . . 4  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
9 dmadjop 22298 . . . 4  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T ) : ~H --> ~H )
11 hoaddcl 22168 . . 3  |-  ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H )
127, 10, 11syl2an 465 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H )
13 adj2 22344 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) ) )
14133expb 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( S `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  S ) `  y ) ) )
1514adantlr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( S `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) ) )
16 adj2 22344 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
17163expb 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
1817adantll 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( adjh `  T ) `  y
) ) )
1915, 18oveq12d 5728 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S `
 x )  .ih  y )  +  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)  =  ( ( x  .ih  ( (
adjh `  S ) `  y ) )  +  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
20 ffvelrn 5515 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
211, 20sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H )  ->  ( S `  x
)  e.  ~H )
2221ad2ant2r 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( S `  x
)  e.  ~H )
23 ffvelrn 5515 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
242, 23sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
2524ad2ant2lr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( T `  x
)  e.  ~H )
26 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
y  e.  ~H )
27 ax-his2 21492 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( S `  x )  +h  ( T `  x )
)  .ih  y )  =  ( ( ( S `  x ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  x )  .ih  y
) ) )
2822, 25, 26, 27syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( S `  x
)  .ih  y )  +  ( ( T `
 x )  .ih  y ) ) )
29 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  x  e.  ~H )
30 adjcl 22342 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )
3130ad2ant2rl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H )
32 adjcl 22342 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
3332ad2ant2l 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( adjh `  T
) `  y )  e.  ~H )
34 his7 21499 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( adjh `  S
) `  y )  e.  ~H  /\  ( (
adjh `  T ) `  y )  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  ( ( adjh `  S ) `  y
) )  +  ( x  .ih  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3529, 31, 33, 34syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  =  ( ( x  .ih  (
( adjh `  S ) `  y ) )  +  ( x  .ih  (
( adjh `  T ) `  y ) ) ) )
3619, 28, 353eqtr4rd 2296 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )  =  ( ( ( S `  x )  +h  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
377, 10anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( ( adjh `  S ) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T
) : ~H --> ~H )
)
38 hosval 22002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y )  =  ( ( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )
39383expa 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( adjh `  S
) : ~H --> ~H  /\  ( adjh `  T ) : ~H --> ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) `
 y )  =  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
4037, 39sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y )  =  ( ( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) )
4140adantrl 699 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) `
 y )  =  ( ( ( adjh `  S ) `  y
)  +h  ( (
adjh `  T ) `  y ) ) )
4241oveq2d 5726 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  S
) `  y )  +h  ( ( adjh `  T
) `  y )
) ) )
431, 2anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( S : ~H
--> ~H  /\  T : ~H
--> ~H ) )
44 hosval 22002 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
45443expa 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( S  +op  T
) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4643, 45sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( S  +op  T
) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4746adantrr 700 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( S  +op  T ) `  x )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( T `  x
) ) )
4847oveq1d 5725 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S 
+op  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( ( S `  x
)  +h  ( T `
 x ) ) 
.ih  y ) )
4936, 42, 483eqtr4rd 2296 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )  -> 
( ( ( S 
+op  T ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
adjh `  S )  +op  ( adjh `  T
) ) `  y
) ) )
5049ralrimivva 2597 . 2  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( ( S  +op  T ) `  x ) 
.ih  y )  =  ( x  .ih  (
( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) ) )
51 adjeq 22345 . 2  |-  ( ( ( S  +op  T
) : ~H --> ~H  /\  ( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( ( S  +op  T ) `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( adjh `  S
)  +op  ( adjh `  T ) ) `  y ) ) )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )
524, 12, 50, 51syl3anc 1187 1  |-  ( ( S  e.  dom  adjh  /\  T  e.  dom  adjh )  ->  ( adjh `  ( S  +op  T ) )  =  ( ( adjh `  S )  +op  ( adjh `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   dom cdm 4580   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    + caddc 8620   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .ih csp 21332    +op chos 21348   adjhcado 21365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-hvsub 21381  df-hosum 21992  df-adjh 22259
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