MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubd Structured version   Unicode version

Theorem addsubd 9736
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addsubd  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )

Proof of Theorem addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addsub 9617 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  C )  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1213 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276    + caddc 9281    - cmin 9591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593
This theorem is referenced by:  lesub2  9830  fzoshftral  11632  modadd1  11741  discr  11997  bcp1n  12088  bcpasc  12093  revccat  12402  crre  12599  isercoll2  13142  binomlem  13288  climcndslem1  13308  pythagtriplem14  13891  vdwlem6  14043  gsumccat  15512  srgbinomlem3  16630  itgcnlem  21167  dvcvx  21392  dvfsumlem1  21398  dvfsumlem2  21399  plymullem1  21625  aaliou3lem2  21752  abelthlem2  21840  tangtx  21910  loglesqr  22139  dcubic1  22183  quart1lem  22193  quartlem1  22195  basellem3  22363  basellem5  22365  chtub  22494  logfaclbnd  22504  bcp1ctr  22561  lgsquad2lem1  22640  selberglem1  22737  selberg3  22751  selbergr  22760  selberg3r  22761  pntlemf  22797  pntlemo  22799  brbtwn2  23070  colinearalglem1  23071  colinearalglem2  23072  ltesubnnd  26008  ballotlemfp1  26788  subfacp1lem6  26987  binomfallfaclem2  27456  jm2.24nn  29211  jm2.18  29246  jm2.25  29257  cnambpcma  30077  cnapbmcpd  30078  clwwlkel  30364
  Copyright terms: Public domain W3C validator