MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubassd Structured version   Unicode version

Theorem addsubassd 9962
Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addsubassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( A  +  ( B  -  C ) ) )

Proof of Theorem addsubassd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addsubass 9842 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  C )  =  ( A  +  ( B  -  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( A  +  ( B  -  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502    + caddc 9507    - cmin 9817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819
This theorem is referenced by:  hashun3  12432  swrdccatin2  12692  incexclem  13628  gsumccat  15881  mndodconglem  16438  efgredleme  16634  ovollb2lem  21767  ovolunlem1  21776  ply1divex  22405  tangtx  22764  tanarg  22870  affineequiv  23023  chordthmlem4  23032  heron  23035  dquartlem2  23049  quart  23058  atanlogsublem  23112  chtublem  23352  bposlem9  23433  dchrisum0re  23564  mulog2sumlem1  23585  selberglem2  23597  selberg4  23612  selbergr  23619  selberg3r  23620  selberg34r  23622  brbtwn2  24031  ax5seglem2  24055  wwlkextwrd  24551  wwlkextinj  24553  lt2addrd  27386  archirngz  27557  fibp1  28165  bpoly4  29748  acongeq  30849  jm3.1lem2  30888  fzisoeu  31400  sumnnodd  31495  stoweidlem26  31649  wallispilem4  31691  wallispi2lem1  31694  wallispi2lem2  31695  fourierdlem26  31756  fourierdlem41  31771  fourierdlem42  31772  fourierdlem48  31778  fourierdlem54  31784  fourierdlem63  31793  fourierdlem101  31831  fourierdlem107  31837  assraddsubd  32667  bj-bary1lem  34152
  Copyright terms: Public domain W3C validator