MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubassd Structured version   Unicode version

Theorem addsubassd 9970
Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addsubassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( A  +  ( B  -  C ) ) )

Proof of Theorem addsubassd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addsubass 9849 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  C )  =  ( A  +  ( B  -  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  =  ( A  +  ( B  -  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   CCcc 9507    + caddc 9512    - cmin 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826
This theorem is referenced by:  hashun3  12455  swrdccatin2  12724  incexclem  13660  gsumccat  16136  mndodconglem  16692  efgredleme  16888  ovollb2lem  22025  ovolunlem1  22034  ply1divex  22663  tangtx  23024  tanarg  23130  affineequiv  23283  chordthmlem4  23292  heron  23295  dquartlem2  23309  quart  23318  atanlogsublem  23372  chtublem  23612  bposlem9  23693  dchrisum0re  23824  mulog2sumlem1  23845  selberglem2  23857  selberg4  23872  selbergr  23879  selberg3r  23880  selberg34r  23882  brbtwn2  24335  ax5seglem2  24359  wwlkextwrd  24855  wwlkextinj  24857  ex-ind-dvds  25297  lt2addrd  27720  archirngz  27893  fibp1  28537  bpoly4  30005  acongeq  31104  jm3.1lem2  31143  fzisoeu  31682  sumnnodd  31818  stoweidlem26  31990  wallispilem4  32032  wallispi2lem1  32035  wallispi2lem2  32036  fourierdlem26  32097  fourierdlem41  32112  fourierdlem42  32113  fourierdlem48  32119  fourierdlem63  32134  fourierdlem107  32178  assraddsubd  33308  bj-bary1lem  34801  inductionexd  38089
  Copyright terms: Public domain W3C validator