MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addresr Structured version   Unicode version

Theorem addresr 9415
Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem addresr
StepHypRef Expression
1 0r 9357 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 addcnsr 9412 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
32an4s 822 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
41, 1, 3mpanr12 685 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >. )
5 0idsr 9374 . . . 4  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
76opeq2i 4170 . 2  |-  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >.  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >.
84, 7syl6eq 2511 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3990  (class class class)co 6199   R.cnr 9144   0Rc0r 9145    +R cplr 9148    + caddc 9395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-ec 7212  df-qs 7216  df-ni 9151  df-pli 9152  df-mi 9153  df-lti 9154  df-plpq 9187  df-mpq 9188  df-ltpq 9189  df-enq 9190  df-nq 9191  df-erq 9192  df-plq 9193  df-mq 9194  df-1nq 9195  df-rq 9196  df-ltnq 9197  df-np 9260  df-1p 9261  df-plp 9262  df-ltp 9264  df-plpr 9334  df-enr 9336  df-nr 9337  df-plr 9338  df-0r 9341  df-c 9398  df-add 9403
This theorem is referenced by:  axaddrcl  9429  axi2m1  9436  axrnegex  9439  axpre-ltadd  9444
  Copyright terms: Public domain W3C validator