MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addresr Structured version   Unicode version

Theorem addresr 9504
Description: Addition of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem addresr
StepHypRef Expression
1 0r 9446 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 addcnsr 9501 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
32an4s 824 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R )
>. )
41, 1, 3mpanr12 683 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >. )
5 0idsr 9463 . . . 4  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
76opeq2i 4207 . 2  |-  <. ( A  +R  B ) ,  ( 0R  +R  0R ) >.  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >.
84, 7syl6eq 2511 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  +  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  +R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022  (class class class)co 6270   R.cnr 9232   0Rc0r 9233    +R cplr 9236    + caddc 9484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-mpq 9276  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-mq 9282  df-1nq 9283  df-rq 9284  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-1p 9349  df-plp 9350  df-ltp 9352  df-enr 9422  df-nr 9423  df-plr 9424  df-0r 9427  df-c 9487  df-add 9492
This theorem is referenced by:  axaddrcl  9518  axi2m1  9525  axrnegex  9528  axpre-ltadd  9533
  Copyright terms: Public domain W3C validator